登录
我们已经知道线段和角都是轴对称图形，多边形是否也具有轴对称性？举例说明。
答案
解：多边形不都具有轴对称性，部分多边形是轴对称图形，部分多边形不是轴对称图形，举例说明：
1. 具有轴对称性的多边形举例：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（即底边上的高、底边上的中线所在的直线），沿这条直线对折，直线两侧的部分可以完全重合；
除此之外，等边三角形、矩形、正方形、等腰梯形、正五边形等正多边形也都是轴对称图形，都具备轴对称性。
2. 不具有轴对称性的多边形举例：
三边长均不相等的不等边三角形，不存在能让它沿直线对折后两侧完全重合的对称轴，不具有轴对称性；
普通的非等腰平行四边形，也找不到符合要求的对称轴，同样不具有轴对称性。
1. 具有轴对称性的多边形举例：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（即底边上的高、底边上的中线所在的直线），沿这条直线对折，直线两侧的部分可以完全重合；
除此之外，等边三角形、矩形、正方形、等腰梯形、正五边形等正多边形也都是轴对称图形，都具备轴对称性。
2. 不具有轴对称性的多边形举例：
三边长均不相等的不等边三角形，不存在能让它沿直线对折后两侧完全重合的对称轴，不具有轴对称性；
普通的非等腰平行四边形，也找不到符合要求的对称轴，同样不具有轴对称性。
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。要判断多边形是否具有轴对称性，不能得出统一的“是”或“否”的结论，需分两类讨论：分别列举出具有轴对称性的多边形、不具有轴对称性的多边形，结合轴对称图形的定义说明即可完成论证。
【解析】
多边形不都具有轴对称性，部分多边形是轴对称图形，部分多边形不是轴对称图形，举例说明：
1. 具有轴对称性的多边形举例：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（即底边上的高、底边上的中线所在的直线），沿这条直线对折，直线两侧的部分可以完全重合；
除此之外，等边三角形、矩形、正方形、等腰梯形、正五边形等正多边形也都是轴对称图形，都具备轴对称性。
2. 不具有轴对称性的多边形举例：
三边长均不相等的不等边三角形，不存在能让它沿直线对折后两侧完全重合的对称轴，不具有轴对称性；
普通的非等腰平行四边形，也找不到符合要求的对称轴，同样不具有轴对称性。
【答案】
多边形不都具有轴对称性，部分多边形是轴对称图形，部分多边形不是轴对称图形，举例说明：
1. 具有轴对称性的多边形举例：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（即底边上的高、底边上的中线所在的直线），沿这条直线对折，直线两侧的部分可以完全重合；
除此之外，等边三角形、矩形、正方形、等腰梯形、正五边形等正多边形也都是轴对称图形，都具备轴对称性。
2. 不具有轴对称性的多边形举例：
三边长均不相等的不等边三角形，不存在能让它沿直线对折后两侧完全重合的对称轴，不具有轴对称性；
普通的非等腰平行四边形，也找不到符合要求的对称轴，同样不具有轴对称性。
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 多边形对称性识别
【点评】
本题考查对轴对称图形概念的理解与应用，需要通过正反举例的方式论证结论，有助于学生区分不同多边形的轴对称性质，强化对轴对称相关知识的掌握。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形。要判断多边形是否具有轴对称性，不能得出统一的“是”或“否”的结论，需分两类讨论：分别列举出具有轴对称性的多边形、不具有轴对称性的多边形，结合轴对称图形的定义说明即可完成论证。
【解析】
多边形不都具有轴对称性，部分多边形是轴对称图形，部分多边形不是轴对称图形，举例说明：
1. 具有轴对称性的多边形举例：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（即底边上的高、底边上的中线所在的直线），沿这条直线对折，直线两侧的部分可以完全重合；
除此之外，等边三角形、矩形、正方形、等腰梯形、正五边形等正多边形也都是轴对称图形，都具备轴对称性。
2. 不具有轴对称性的多边形举例：
三边长均不相等的不等边三角形，不存在能让它沿直线对折后两侧完全重合的对称轴，不具有轴对称性；
普通的非等腰平行四边形，也找不到符合要求的对称轴，同样不具有轴对称性。
【答案】
多边形不都具有轴对称性，部分多边形是轴对称图形，部分多边形不是轴对称图形，举例说明：
1. 具有轴对称性的多边形举例：
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线（即底边上的高、底边上的中线所在的直线），沿这条直线对折，直线两侧的部分可以完全重合；
除此之外，等边三角形、矩形、正方形、等腰梯形、正五边形等正多边形也都是轴对称图形，都具备轴对称性。
2. 不具有轴对称性的多边形举例：
三边长均不相等的不等边三角形，不存在能让它沿直线对折后两侧完全重合的对称轴，不具有轴对称性；
普通的非等腰平行四边形，也找不到符合要求的对称轴，同样不具有轴对称性。
【知识点】
1. 轴对称图形的定义
2. 多边形对称性识别
【点评】
本题考查对轴对称图形概念的理解与应用，需要通过正反举例的方式论证结论，有助于学生区分不同多边形的轴对称性质，强化对轴对称相关知识的掌握。
【难度系数】
0.7
例1 等腰三角形的周长为20，其中一条边长为6，求另外两条边的长。
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当长为6的边是等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{20-6}{2}=7$，
此时三角形三边长为6、7、7，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
2. 当长为6的边是等腰三角形的腰时，
底边长为 $20 - 6×2=8$，
此时三角形三边长为6、6、8，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
综上，另外两条边的长为7和7，或6和8。
1. 当长为6的边是等腰三角形的底边时，
腰长为 $\frac{20-6}{2}=7$，
此时三角形三边长为6、7、7，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
2. 当长为6的边是等腰三角形的腰时，
底边长为 $20 - 6×2=8$，
此时三角形三边长为6、6、8，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
综上，另外两条边的长为7和7，或6和8。
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形的特征：两条腰长度相等，题目仅给出一条边长为6，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算另外两条边的长度；其次，三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况计算完成后，需要验证三边长是否符合三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【解析】
解：因为未明确长度为6的边是等腰三角形的腰还是底边，故分两种情况讨论：
1. 当长为6的边是等腰三角形的底边时：
腰长为 $\frac{20-6}{2}=7$，
此时三角形三边长为6、7、7，验证得 $6+7＞7$、$7+7＞6$，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
2. 当长为6的边是等腰三角形的腰时：
底边长为 $20 - 6×2=8$，
此时三角形三边长为6、6、8，验证得 $6+6＞8$、$6+8＞6$，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
综上，另外两条边的长为7和7，或6和8。
【答案】
另外两条边的长为7和7或6和8
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的常规考题，解题的关键是要有分类讨论的意识，避免遗漏已知边为腰或底边的情况，同时计算完成后要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，防止出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确等腰三角形的特征：两条腰长度相等，题目仅给出一条边长为6，未说明该边是腰还是底边，因此需要分两种情况分别计算另外两条边的长度；其次，三角形的三边必须满足“任意两边之和大于第三边”，因此每种情况计算完成后，需要验证三边长是否符合三边关系，排除无法构成三角形的情况。
【解析】
解：因为未明确长度为6的边是等腰三角形的腰还是底边，故分两种情况讨论：
1. 当长为6的边是等腰三角形的底边时：
腰长为 $\frac{20-6}{2}=7$，
此时三角形三边长为6、7、7，验证得 $6+7＞7$、$7+7＞6$，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
2. 当长为6的边是等腰三角形的腰时：
底边长为 $20 - 6×2=8$，
此时三角形三边长为6、6、8，验证得 $6+6＞8$、$6+8＞6$，满足三角形任意两边之和大于第三边，符合三边关系。
综上，另外两条边的长为7和7，或6和8。
【答案】
另外两条边的长为7和7或6和8
【知识点】
等腰三角形性质、三角形三边关系、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的常规考题，解题的关键是要有分类讨论的意识，避免遗漏已知边为腰或底边的情况，同时计算完成后要注意验证三边是否满足三角形的构成条件，防止出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.7
例2 如图1-19，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点D在边AC上，$BD=BC=AD$. 求$△ ABC$的各内角的度数. 
答案
解：
设∠A = x。
∵ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x。
∵ BD = BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 2x。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 2x。
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°。
∴ ∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°。
设∠A = x。
∵ AD = BD，
∴ ∠ABD = ∠A = x，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠ABD = 2x。
∵ BD = BC，
∴ ∠C = ∠BDC = 2x。
∵ AB = AC，
∴ ∠ABC = ∠C = 2x。
在△ABC中，∠A + ∠ABC + ∠C = 180°，
即 x + 2x + 2x = 180°，
解得 x = 36°。
∴ ∠A = 36°，∠ABC = ∠C = 72°。
解析
【分析】
本题给出多个等腰三角形的边相等的条件，求解三角形内角，可按以下思路解题：1. 观察图形可知∠A是最小的角，先设∠A的度数为x，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠ABD的度数；2. 借助三角形外角的性质，推导得出∠BDC的度数，再结合BD=BC的条件，推出∠C的度数；3. 利用AB=AC的条件，得到∠ABC和∠C相等，将∠ABC也用含x的式子表示；4. 最后根据三角形内角和为180°列方程求解x，即可得到△ABC各内角的度数。
【解析】
设$∠ A = x$。
$\because AD = BD$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ A = x$，
根据三角形外角的性质，$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 2x$。
$\because BD = BC$，
$\therefore ∠ C = ∠ BDC = 2x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ C = 2x$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，
即 $x + 2x + 2x = 180°$，
解得 $x = 36°$。
$\therefore ∠ A = 36°$，$∠ ABC = 2×36°=72°$，$∠ C = 72°$。
【答案】
$∠ A=36°$，$∠ ABC=72°$，$∠ C=72°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型基础题，解题过程运用了方程思想，将几何角度计算转化为代数方程求解，需要熟练掌握等腰三角形等边对等角的边角转化规律，以及三角形内角和、外角的相关性质。
【难度系数】
0.7
本题给出多个等腰三角形的边相等的条件，求解三角形内角，可按以下思路解题：1. 观察图形可知∠A是最小的角，先设∠A的度数为x，利用等腰三角形“等边对等角”的性质得到∠ABD的度数；2. 借助三角形外角的性质，推导得出∠BDC的度数，再结合BD=BC的条件，推出∠C的度数；3. 利用AB=AC的条件，得到∠ABC和∠C相等，将∠ABC也用含x的式子表示；4. 最后根据三角形内角和为180°列方程求解x，即可得到△ABC各内角的度数。
【解析】
设$∠ A = x$。
$\because AD = BD$，
$\therefore ∠ ABD = ∠ A = x$，
根据三角形外角的性质，$∠ BDC = ∠ A + ∠ ABD = 2x$。
$\because BD = BC$，
$\therefore ∠ C = ∠ BDC = 2x$。
$\because AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ C = 2x$。
在$△ ABC$中，根据三角形内角和定理，$∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180°$，
即 $x + 2x + 2x = 180°$，
解得 $x = 36°$。
$\therefore ∠ A = 36°$，$∠ ABC = 2×36°=72°$，$∠ C = 72°$。
【答案】
$∠ A=36°$，$∠ ABC=72°$，$∠ C=72°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题是等腰三角形性质应用的典型基础题，解题过程运用了方程思想，将几何角度计算转化为代数方程求解，需要熟练掌握等腰三角形等边对等角的边角转化规律，以及三角形内角和、外角的相关性质。
【难度系数】
0.7
1.（1）等腰三角形的相等.
如图，∵ AB=AC，
∴ = .
（2）等腰三角形、及重合.
如图，∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ ，.
∵ AB=AC，BD=CD，
∴ ，.
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴ ，.
如图，∵ AB=AC，
∴ = .
（2）等腰三角形、及重合.
如图，∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ ，.
∵ AB=AC，BD=CD，
∴ ，.
∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD，
∴ ，.
答案
解：
（1）等腰三角形的两个底角相等.
如图，∵ $AB=AC$，
∴ $\boldsymbol{∠ B}$ = $\boldsymbol{∠ C}$.
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合.
如图，∵ $AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴ $\boldsymbol{BD=CD}$，$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$.
∵ $AB=AC$，$BD=CD$，
∴ $\boldsymbol{AD⊥ BC}$，$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$.
∵ $AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，
∴ $\boldsymbol{AD⊥ BC}$，$\boldsymbol{BD=CD}$.
（1）等腰三角形的两个底角相等.
如图，∵ $AB=AC$，
∴ $\boldsymbol{∠ B}$ = $\boldsymbol{∠ C}$.
（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合.
如图，∵ $AB=AC$，$AD⊥ BC$，
∴ $\boldsymbol{BD=CD}$，$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$.
∵ $AB=AC$，$BD=CD$，
∴ $\boldsymbol{AD⊥ BC}$，$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$.
∵ $AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，
∴ $\boldsymbol{AD⊥ BC}$，$\boldsymbol{BD=CD}$.
解析
【分析】
本题考查等腰三角形的基础性质，解题时先回忆等腰三角形的两个核心性质：①等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等；②三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。第一问已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，直接用等边对等角的性质填写底角即可；第二问的三个小问分别给出了三线中的一类条件，结合AB=AC的等腰三角形前提，用三线合一的性质推出另外两个对应结论即可。
【解析】
（1）根据等腰三角形等边对等角的性质，等腰三角形的两个底角相等。
已知$AB=AC$，△ABC为等腰三角形，∠B和∠C是等腰三角形的两个底角，因此$∠ B=∠ C$。
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合。
已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，即AD是底边上的高，由三线合一可得AD同时是底边上的中线和顶角平分线，因此$BD=CD$，$∠ BAD=∠ CAD$。
已知$AB=AC$，$BD=CD$，即AD是底边上的中线，由三线合一可得AD同时是底边上的高和顶角平分线，因此$AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$。
已知$AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，即AD是顶角的平分线，由三线合一可得AD同时是底边上的高和底边上的中线，因此$AD⊥ BC$，$BD=CD$。
【答案】
（1）两个底角；$\boldsymbol{∠ B}$；$\boldsymbol{∠ C}$
（2）顶角的平分线；底边上的中线；底边上的高；
$\boldsymbol{BD=CD}$；$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；
$\boldsymbol{AD⊥ BC}$；$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；
$\boldsymbol{AD⊥ BC}$；$\boldsymbol{BD=CD}$
【知识点】
等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础概念题，主要考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握等边对等角和三线合一的内容及适用条件是解题的关键，这两个性质也是等腰三角形相关证明和计算的常用依据，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查等腰三角形的基础性质，解题时先回忆等腰三角形的两个核心性质：①等边对等角，即等腰三角形的两个底角相等；②三线合一，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。第一问已知AB=AC，说明△ABC是等腰三角形，直接用等边对等角的性质填写底角即可；第二问的三个小问分别给出了三线中的一类条件，结合AB=AC的等腰三角形前提，用三线合一的性质推出另外两个对应结论即可。
【解析】
（1）根据等腰三角形等边对等角的性质，等腰三角形的两个底角相等。
已知$AB=AC$，△ABC为等腰三角形，∠B和∠C是等腰三角形的两个底角，因此$∠ B=∠ C$。
（2）根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高重合。
已知$AB=AC$，$AD⊥ BC$，即AD是底边上的高，由三线合一可得AD同时是底边上的中线和顶角平分线，因此$BD=CD$，$∠ BAD=∠ CAD$。
已知$AB=AC$，$BD=CD$，即AD是底边上的中线，由三线合一可得AD同时是底边上的高和顶角平分线，因此$AD⊥ BC$，$∠ BAD=∠ CAD$。
已知$AB=AC$，$∠ BAD=∠ CAD$，即AD是顶角的平分线，由三线合一可得AD同时是底边上的高和底边上的中线，因此$AD⊥ BC$，$BD=CD$。
【答案】
（1）两个底角；$\boldsymbol{∠ B}$；$\boldsymbol{∠ C}$
（2）顶角的平分线；底边上的中线；底边上的高；
$\boldsymbol{BD=CD}$；$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；
$\boldsymbol{AD⊥ BC}$；$\boldsymbol{∠ BAD=∠ CAD}$；
$\boldsymbol{AD⊥ BC}$；$\boldsymbol{BD=CD}$
【知识点】
等边对等角；等腰三角形三线合一
【点评】
本题是基础概念题，主要考查等腰三角形的核心性质，熟练掌握等边对等角和三线合一的内容及适用条件是解题的关键，这两个性质也是等腰三角形相关证明和计算的常用依据，需要牢固掌握。
【难度系数】
0.9
（1）下列长度的3条线段，能组成等腰三角形的是()。
A.2 cm,2 cm,4 cm
B.3 cm,4 cm,6 cm
C.3 cm,3 cm,8 cm
D.4 cm,4 cm,5 cm
A.2 cm,2 cm,4 cm
B.3 cm,4 cm,6 cm
C.3 cm,3 cm,8 cm
D.4 cm,4 cm,5 cm
答案
D
解析
【分析】
要判断能组成等腰三角形的线段组，需同时满足两个条件：①符合等腰三角形的定义，即3条线段中有2条长度相等；②满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，实际判断时可直接计算两条较短边的和是否大于最长边，简化运算。解题时先筛选出有等长边的选项，再验证三边关系即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 线段长2cm，2cm，4cm，虽有两条等长边，但2+2=4，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合要求；
B. 线段长3cm，4cm，6cm，三条边长度均不相等，不是等腰三角形，不符合要求；
C. 线段长3cm，3cm，8cm，虽有两条等长边，但3+3=6＜8，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合要求；
D. 线段长4cm，4cm，5cm，有两条长度相等的边，且4+4=8＞5，满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是基础概念应用题，解题时容易忽略三角形三边关系的限制，仅根据有两条等长边就误选A、C选项，做这类题时要牢记构成三角形是前提，再结合等腰的特征判断。
【难度系数】
0.8
要判断能组成等腰三角形的线段组，需同时满足两个条件：①符合等腰三角形的定义，即3条线段中有2条长度相等；②满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，实际判断时可直接计算两条较短边的和是否大于最长边，简化运算。解题时先筛选出有等长边的选项，再验证三边关系即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 线段长2cm，2cm，4cm，虽有两条等长边，但2+2=4，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合要求；
B. 线段长3cm，4cm，6cm，三条边长度均不相等，不是等腰三角形，不符合要求；
C. 线段长3cm，3cm，8cm，虽有两条等长边，但3+3=6＜8，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，不符合要求；
D. 线段长4cm，4cm，5cm，有两条长度相等的边，且4+4=8＞5，满足三角形三边关系，可以构成等腰三角形，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的定义；三角形三边关系
【点评】
本题是基础概念应用题，解题时容易忽略三角形三边关系的限制，仅根据有两条等长边就误选A、C选项，做这类题时要牢记构成三角形是前提，再结合等腰的特征判断。
【难度系数】
0.8
