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5. 如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC. 求证：∠1=∠2.
答案
证明：
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°。
在△BDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠BDO = ∠CEO \\∠BOD = ∠COE \\OB = OC\end{array} $
∴ △BDO ≌ △CEO（AAS），
∴ OD = OE。
又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠2。
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°。
在△BDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠BDO = ∠CEO \\∠BOD = ∠COE \\OB = OC\end{array} $
∴ △BDO ≌ △CEO（AAS），
∴ OD = OE。
又∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠2。
解析
【分析】
要证明∠1=∠2，本质是证明AO平分∠BAC。根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点O到AB、AC的距离相等，即OD=OE。观察图形可知OD、OE分别在△BDO和△CEO中，已知OB=OC，结合CD⊥AB、BE⊥AC可得一组直角相等，再加上对顶角∠BOD=∠COE，可通过AAS证明△BDO≌△CEO，从而得到OD=OE，即可推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°。
在△BDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠BDO = ∠CEO \\∠BOD = ∠COE \\OB = OC\end{array} $
∴ △BDO ≌ △CEO（AAS），
∴ OD = OE。
又
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将全等三角形证明与角平分线判定结合考查，解题时可采用逆向思维，从待证结论出发倒推所需条件，再结合已知信息逐步推导，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.7
要证明∠1=∠2，本质是证明AO平分∠BAC。根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此只需证明点O到AB、AC的距离相等，即OD=OE。观察图形可知OD、OE分别在△BDO和△CEO中，已知OB=OC，结合CD⊥AB、BE⊥AC可得一组直角相等，再加上对顶角∠BOD=∠COE，可通过AAS证明△BDO≌△CEO，从而得到OD=OE，即可推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵ CD⊥AB，BE⊥AC，
∴ ∠BDO = ∠CEO = 90°。
在△BDO和△CEO中，
$\{\begin{array}{l}∠BDO = ∠CEO \\∠BOD = ∠COE \\OB = OC\end{array} $
∴ △BDO ≌ △CEO（AAS），
∴ OD = OE。
又
∵ OD⊥AB，OE⊥AC，
∴ 点O在∠BAC的平分线上（在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AO平分∠BAC，
∴ ∠1 = ∠2。
【答案】
∠1=∠2
【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将全等三角形证明与角平分线判定结合考查，解题时可采用逆向思维，从待证结论出发倒推所需条件，再结合已知信息逐步推导，需要熟练掌握全等三角形的判定方法和角平分线的判定定理。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$∠ B=∠ C=90°$，$E$是$BC$的中点，$DE$平分$∠ ADC$.求证:$AE$是$∠ DAB$的平分线.
答案
证明：
过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。
过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。
解析
【分析】
要证明AE是∠DAB的平分线，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此需要证明点E到AD和AB的距离相等。结合已知条件，我们先过点E作AD的垂线EF，先利用角平分线的性质得到E到DC的距离EC等于E到AD的距离EF，再结合E是BC中点的条件，推出EF等于E到AB的距离EB，即可满足角平分线的判定条件，完成证明。
【解析】
证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又
∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。
【答案】
证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又
∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；中点的定义
【点评】
本题属于角平分线相关的基础常考题，解题的关键是合理作出辅助线构造点到角两边的距离，熟练掌握角平分线的性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明AE是∠DAB的平分线，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，因此需要证明点E到AD和AB的距离相等。结合已知条件，我们先过点E作AD的垂线EF，先利用角平分线的性质得到E到DC的距离EC等于E到AD的距离EF，再结合E是BC中点的条件，推出EF等于E到AB的距离EB，即可满足角平分线的判定条件，完成证明。
【解析】
证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又
∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。
【答案】
证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F。
∵ ∠C=90°，
∴ EC⊥DC。
∵ DE平分∠ADC，EF⊥AD，
∴ EC = EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ E是BC的中点，
∴ EC = EB，
∴ EF = EB。
又
∵ ∠B=90°，
∴ EB⊥AB，
∴ 点E在∠DAB的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上），
即AE是∠DAB的平分线。
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定；中点的定义
【点评】
本题属于角平分线相关的基础常考题，解题的关键是合理作出辅助线构造点到角两边的距离，熟练掌握角平分线的性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. 如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. F是OC上的另一点，连接DF，EF. 求证：DF=EF.
答案
证明：
∵ OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDO = ∠PEO = 90°。
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PD=PE \end{array} $
∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL），
∴ OD = OE。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ DF = EF。
∵ OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDO = ∠PEO = 90°。
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PD=PE \end{array} $
∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL），
∴ OD = OE。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ DF = EF。
解析
【分析】
要证明DF=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到DF、EF分别在△ODF和△OEF中，只需证明这两个三角形全等即可。首先利用角平分线的性质得到PD=PE，结合公共边OP可先证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得到OD=OE；再结合角平分线得到的∠DOF=∠EOF，以及公共边OF，即可证明△ODF≌△OEF，进而推出DF=EF。
【解析】
证明：
∵ OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDO = ∠PEO = 90°。
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PD=PE \end{array} $
∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL），
∴ OD = OE。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ DF = EF。
【答案】
DF=EF
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合基础题，解题关键是先通过角平分线性质得到等线段，再借助两次全等推导待证结论，掌握全等三角形的判定定理和角平分线性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
要证明DF=EF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先观察到DF、EF分别在△ODF和△OEF中，只需证明这两个三角形全等即可。首先利用角平分线的性质得到PD=PE，结合公共边OP可先证明Rt△OPD≌Rt△OPE，得到OD=OE；再结合角平分线得到的∠DOF=∠EOF，以及公共边OF，即可证明△ODF≌△OEF，进而推出DF=EF。
【解析】
证明：
∵ OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE，∠PDO = ∠PEO = 90°。
在Rt△OPD和Rt△OPE中，
$\{\begin{array}{l} OP=OP \\ PD=PE \end{array} $
∴ Rt△OPD ≌ Rt△OPE（HL），
∴ OD = OE。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ DF = EF。
【答案】
DF=EF
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质与全等三角形的综合基础题，解题关键是先通过角平分线性质得到等线段，再借助两次全等推导待证结论，掌握全等三角形的判定定理和角平分线性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
