登录
1.（1）角平分线上的点到相等.
如图，∵点P在∠AOB的平分线上，⊥，⊥，
∴=.
（2）角的内部到相等的点在角的平分线上.
如图，∵⊥，⊥，=，
∴点P在∠AOB的平分线上.
[第2(1)题]
[第2(2)题]
如图，∵点P在∠AOB的平分线上，⊥，⊥，
∴=.
（2）角的内部到相等的点在角的平分线上.
如图，∵⊥，⊥，=，
∴点P在∠AOB的平分线上.
[第2(1)题]
[第2(2)题]
答案
解：
(1) 角平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上，$\boldsymbol{PD}⊥\boldsymbol{OA}$，$\boldsymbol{PE}⊥\boldsymbol{OB}$，
∴ $\boldsymbol{PD}=\boldsymbol{PE}$.
(2) 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
如图，∵ $\boldsymbol{PD}⊥\boldsymbol{OA}$，$\boldsymbol{PE}⊥\boldsymbol{OB}$，$\boldsymbol{PD}=\boldsymbol{PE}$，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
(1) 角平分线上的点到角的两边的距离相等.
如图，∵ 点 P 在∠AOB 的平分线上，$\boldsymbol{PD}⊥\boldsymbol{OA}$，$\boldsymbol{PE}⊥\boldsymbol{OB}$，
∴ $\boldsymbol{PD}=\boldsymbol{PE}$.
(2) 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
如图，∵ $\boldsymbol{PD}⊥\boldsymbol{OA}$，$\boldsymbol{PE}⊥\boldsymbol{OB}$，$\boldsymbol{PD}=\boldsymbol{PE}$，
∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
解析
【分析】
本题考查角平分线的性质定理与判定定理的基础应用，解题思路如下：
1. 第(1)问对应角平分线的性质定理：首先回忆定理内容，角平分线上的点到角两边的距离相等，使用该定理时必须满足“点在角平分线上”+“点向角的两边作垂线段”两个前提，才能推出两条垂线段长度相等，因此对应填垂直条件和线段相等的结论即可。
2. 第(2)问对应角平分线的判定定理，是性质定理的逆用：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，使用该判定时需要满足“点向角的两边作垂线段”+“两条垂线段长度相等”两个前提，即可推出点在角的平分线上，按要求填写条件即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的性质定理填写内容：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
结合图形的几何条件，
∵点P在∠AOB的平分线上，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，
∴$PD=PE$。
(2) 根据角平分线的判定定理填写内容：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
结合图形的几何条件，
∵$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，$PD=PE$，
∴点P在∠AOB的平分线上。
【答案】
(1) 角的两边的距离；$PD$，$OA$，$PE$，$OB$；$PD$，$PE$
(2) 角的两边的距离；$PD$，$OA$，$PE$，$OB$，$PD$，$PE$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查角平分线性质和判定定理的识记与基础应用，解题的核心是注意两个定理的使用都需要以“点向角的两边作垂线段”为前提，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查角平分线的性质定理与判定定理的基础应用，解题思路如下：
1. 第(1)问对应角平分线的性质定理：首先回忆定理内容，角平分线上的点到角两边的距离相等，使用该定理时必须满足“点在角平分线上”+“点向角的两边作垂线段”两个前提，才能推出两条垂线段长度相等，因此对应填垂直条件和线段相等的结论即可。
2. 第(2)问对应角平分线的判定定理，是性质定理的逆用：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，使用该判定时需要满足“点向角的两边作垂线段”+“两条垂线段长度相等”两个前提，即可推出点在角的平分线上，按要求填写条件即可。
【解析】
(1) 根据角平分线的性质定理填写内容：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
结合图形的几何条件，
∵点P在∠AOB的平分线上，$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，
∴$PD=PE$。
(2) 根据角平分线的判定定理填写内容：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
结合图形的几何条件，
∵$PD⊥OA$，$PE⊥OB$，$PD=PE$，
∴点P在∠AOB的平分线上。
【答案】
(1) 角的两边的距离；$PD$，$OA$，$PE$，$OB$；$PD$，$PE$
(2) 角的两边的距离；$PD$，$OA$，$PE$，$OB$，$PD$，$PE$
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查角平分线性质和判定定理的识记与基础应用，解题的核心是注意两个定理的使用都需要以“点向角的两边作垂线段”为前提，熟练掌握定理内容即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. (1) 如图，$∠ C=90°$，$∠ 1=∠ 2$，已知$BC=10$，$BD=6$，则点$D$到$AB$的距离为；
(2) 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=4$，$BC=6$，$AP$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$P$，则$S_{△ ABP}:S_{△ ACP}=$，$BP$的长为。
(2) 如图，在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=4$，$BC=6$，$AP$平分$∠ BAC$，交$BC$于点$P$，则$S_{△ ABP}:S_{△ ACP}=$，$BP$的长为。
答案
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{5:4}$，$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$。
解析
【分析】
(1) 本题考查角平分线的性质应用，解题思路：首先明确角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°，则DC是点D到AC的距离，要求点D到AB的距离，只需证明该距离与DC相等，先计算DC的长度即可得到结果。
(2) 本题结合角平分线性质考查三角形面积比与线段比的转化，解题思路：第一步，利用角平分线性质得到点P到AB、AC的距离相等，两个三角形等高时面积比等于底边长的比，直接得到面积比；第二步，△ABP和△ACP以BC边上的高为公共高，因此面积比也等于BP与PC的长度比，结合BC的总长度即可求出BP的长。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC，
又
∵ ∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC。
∵ DC=BC-BD=10-6=4，
∴ DE=4，即点D到AB的距离为4。
(2) ① 过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∵ AP平分∠BAC，
∴ PM=PN（角平分线的性质），
∵ $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PM$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×PN$，
∴ $S_{△ABP}:S_{△ACP}=(\frac{1}{2}×5×PM):(\frac{1}{2}×4×PN)=5:4$。
② 过点A作AH⊥BC于H，
则 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×BP×AH$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×PC×AH$，
∴ $S_{△ABP}:S_{△ACP}=BP:PC=5:4$，
设BP=5k，PC=4k，
∵ BP+PC=BC=6，
∴ 5k+4k=6，解得$k=\frac{2}{3}$，
∴ $BP=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{5:4}$，$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，核心是利用角平分线得到相等的垂线段，将其转化为三角形的高，进而建立面积比与线段比的关系，解题时注意灵活运用等高三角形面积比等于底边长之比的规律，可简化计算。
【难度系数】
0.7
(1) 本题考查角平分线的性质应用，解题思路：首先明确角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°，则DC是点D到AC的距离，要求点D到AB的距离，只需证明该距离与DC相等，先计算DC的长度即可得到结果。
(2) 本题结合角平分线性质考查三角形面积比与线段比的转化，解题思路：第一步，利用角平分线性质得到点P到AB、AC的距离相等，两个三角形等高时面积比等于底边长的比，直接得到面积比；第二步，△ABP和△ACP以BC边上的高为公共高，因此面积比也等于BP与PC的长度比，结合BC的总长度即可求出BP的长。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥AC，
又
∵ ∠1=∠2，即AD平分∠BAC，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得DE=DC。
∵ DC=BC-BD=10-6=4，
∴ DE=4，即点D到AB的距离为4。
(2) ① 过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，
∵ AP平分∠BAC，
∴ PM=PN（角平分线的性质），
∵ $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×PM$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×AC×PN$，
∴ $S_{△ABP}:S_{△ACP}=(\frac{1}{2}×5×PM):(\frac{1}{2}×4×PN)=5:4$。
② 过点A作AH⊥BC于H，
则 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}×BP×AH$，$S_{△ACP}=\frac{1}{2}×PC×AH$，
∴ $S_{△ABP}:S_{△ACP}=BP:PC=5:4$，
设BP=5k，PC=4k，
∵ BP+PC=BC=6，
∴ 5k+4k=6，解得$k=\frac{2}{3}$，
∴ $BP=5×\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$；(2) $\boldsymbol{5:4}$，$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比例计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，核心是利用角平分线得到相等的垂线段，将其转化为三角形的高，进而建立面积比与线段比的关系，解题时注意灵活运用等高三角形面积比等于底边长之比的规律，可简化计算。
【难度系数】
0.7
3. 如图，用直尺和圆规在直线$ l $上找到一点$ P $，使点$ P $到$ ∠ O $的两边$ OA $，$ OB $的距离相等。
答案
解：作法如下：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
根据角平分线的性质定理的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P满足到OA、OB的距离相等。
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
根据角平分线的性质定理的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P满足到OA、OB的距离相等。
解析
【分析】
要找到直线l上到∠O两边OA、OB距离相等的点，首先结合角平分线的判定定理思考：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此所求点P既要在∠AOB的角平分线上，又要在直线l上，只需用尺规作出∠AOB的角平分线，角平分线与直线l的交点就是满足条件的点P，后续按尺规作角平分线的规范步骤操作即可。
【解析】
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据角平分线性质的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，点P在∠AOB的角平分线OE上，因此满足到OA、OB的距离相等，同时点P在直线l上，符合题目要求。
【答案】
作法如下：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
根据角平分线的性质定理的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P满足到OA、OB的距离相等。
【知识点】
角平分线的判定，尺规作角平分线
【点评】
本题是尺规作图的基础应用题，解题核心是利用角平分线的判定将找点的问题转化为作角平分线与已知直线的交点，需熟练掌握尺规作角平分线的操作步骤和相关原理。
【难度系数】
0.8
要找到直线l上到∠O两边OA、OB距离相等的点，首先结合角平分线的判定定理思考：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此所求点P既要在∠AOB的角平分线上，又要在直线l上，只需用尺规作出∠AOB的角平分线，角平分线与直线l的交点就是满足条件的点P，后续按尺规作角平分线的规范步骤操作即可。
【解析】
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
原理：根据角平分线性质的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，点P在∠AOB的角平分线OE上，因此满足到OA、OB的距离相等，同时点P在直线l上，符合题目要求。
【答案】
作法如下：
1. 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点C，交OB于点D；
2. 分别以点C、D为圆心，大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点E；
3. 作射线OE，射线OE与直线l的交点即为所求的点P。
根据角平分线的性质定理的逆定理，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此点P满足到OA、OB的距离相等。
【知识点】
角平分线的判定，尺规作角平分线
【点评】
本题是尺规作图的基础应用题，解题核心是利用角平分线的判定将找点的问题转化为作角平分线与已知直线的交点，需熟练掌握尺规作角平分线的操作步骤和相关原理。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在$△ ABC$中,AD是角平分线,点P在AD上,$PE// AB$,交BC于点E,$PF// AC$,交BC于点F.求证:点D到PE和PF的距离相等.
答案
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠BAD = ∠EPD。
∵ PF//AC，
∴ ∠CAD = ∠FPD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到PE和PF的距离相等。
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠BAD = ∠EPD。
∵ PF//AC，
∴ ∠CAD = ∠FPD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，
即PD平分∠EPF。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到PE和PF的距离相等。
解析
【分析】
要证明点D到PE和PF的距离相等，结合角平分线的性质可知，只需证明PD是∠EPF的角平分线，即证∠EPD=∠FPD。首先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再结合PE//AB、PF//AC的条件，利用平行线的性质可将∠BAD、∠CAD分别转化为∠EPD、∠FPD，进而推出∠EPD=∠FPD，得到PD平分∠EPF，最后利用角平分线的性质即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠BAD = ∠EPD。
∵ PF//AC，
∴ ∠CAD = ∠FPD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即PD平分∠EPF。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到PE和PF的距离相等。
【答案】
点D到PE和PF的距离相等，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过平行线的性质完成角的等量代换，将已知的角平分线条件转化为PD平分∠EPF的结论，再结合角平分线的性质即可得证，侧重考察基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明点D到PE和PF的距离相等，结合角平分线的性质可知，只需证明PD是∠EPF的角平分线，即证∠EPD=∠FPD。首先根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再结合PE//AB、PF//AC的条件，利用平行线的性质可将∠BAD、∠CAD分别转化为∠EPD、∠FPD，进而推出∠EPD=∠FPD，得到PD平分∠EPF，最后利用角平分线的性质即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，
∴ ∠BAD = ∠CAD。
∵ PE//AB，
∴ ∠BAD = ∠EPD。
∵ PF//AC，
∴ ∠CAD = ∠FPD。
∴ ∠EPD = ∠FPD，即PD平分∠EPF。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 点D到PE和PF的距离相等。
【答案】
点D到PE和PF的距离相等，证明过程如上。
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；角平分线的性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是通过平行线的性质完成角的等量代换，将已知的角平分线条件转化为PD平分∠EPF的结论，再结合角平分线的性质即可得证，侧重考察基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
