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如图1-16，电信部门要在S区修建一座信号发射塔.按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，该发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置.
答案
解：
作法：
1. 连接点A、B，作线段AB的垂直平分线；
2. 作直线m、n所夹的位于S区域内的角的角平分线；
两条线的交点即为所求发射塔的位置，将该点标记为P。
根据线段垂直平分线的性质，点P到城镇A、B的距离相等；根据角平分线的性质，点P到两条高速公路m、n的距离相等，因此点P就是符合所有设计要求的发射塔修建位置。
作法：
1. 连接点A、B，作线段AB的垂直平分线；
2. 作直线m、n所夹的位于S区域内的角的角平分线；
两条线的交点即为所求发射塔的位置，将该点标记为P。
根据线段垂直平分线的性质，点P到城镇A、B的距离相等；根据角平分线的性质，点P到两条高速公路m、n的距离相等，因此点P就是符合所有设计要求的发射塔修建位置。
解析
【分析】
要确定发射塔的位置，需同时满足两个设计要求：一是到城镇A、B的距离相等，二是到高速公路m、n的距离相等且位于S区内。我们可以分别定位满足单个条件的点的集合：根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，因此满足第一个条件的点都在AB的垂直平分线上；根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此满足第二个条件的点在m、n所夹且位于S区内的角的平分线上。两个线的交点可同时满足两个条件，即为所求位置。
【解析】
1. 首先连接点A、B，使用尺规作图作出线段AB的垂直平分线；
2. 再作出直线m、n相交所形成的、位于S区域内的角的角平分线；
3. 两条线的交点记为P，就是发射塔的修建位置：线段垂直平分线上的点到A、B距离相等，角平分线上的点到m、n的距离相等，且交点位于S区内，完全符合设计要求。
【答案】
作法：
1. 连接点A、B，作线段AB的垂直平分线；
2. 作直线m、n所夹的位于S区域内的角的角平分线；
两条线的交点即为所求发射塔的位置，将该点标记为P。
根据线段垂直平分线的性质，点P到城镇A、B的距离相等；根据角平分线的性质，点P到两条高速公路m、n的距离相等，因此点P就是符合所有设计要求的发射塔修建位置。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题关键是将实际需求转化为数学中的点定位问题，通过分别确定满足单个条件的点的轨迹，取交点得到同时符合所有要求的位置，能够锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
要确定发射塔的位置，需同时满足两个设计要求：一是到城镇A、B的距离相等，二是到高速公路m、n的距离相等且位于S区内。我们可以分别定位满足单个条件的点的集合：根据线段垂直平分线的性质，到线段两端点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，因此满足第一个条件的点都在AB的垂直平分线上；根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此满足第二个条件的点在m、n所夹且位于S区内的角的平分线上。两个线的交点可同时满足两个条件，即为所求位置。
【解析】
1. 首先连接点A、B，使用尺规作图作出线段AB的垂直平分线；
2. 再作出直线m、n相交所形成的、位于S区域内的角的角平分线；
3. 两条线的交点记为P，就是发射塔的修建位置：线段垂直平分线上的点到A、B距离相等，角平分线上的点到m、n的距离相等，且交点位于S区内，完全符合设计要求。
【答案】
作法：
1. 连接点A、B，作线段AB的垂直平分线；
2. 作直线m、n所夹的位于S区域内的角的角平分线；
两条线的交点即为所求发射塔的位置，将该点标记为P。
根据线段垂直平分线的性质，点P到城镇A、B的距离相等；根据角平分线的性质，点P到两条高速公路m、n的距离相等，因此点P就是符合所有设计要求的发射塔修建位置。
【知识点】
线段垂直平分线的性质、角平分线的性质
【点评】
本题是几何性质的实际应用类题目，解题关键是将实际需求转化为数学中的点定位问题，通过分别确定满足单个条件的点的轨迹，取交点得到同时符合所有要求的位置，能够锻炼将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.8
例1 如图1-17，在$△ ABC$中，AD是角平分线，$BD=CD$，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，垂足分别为E，F.求证：$BE=CF$.
图1-17
图1-17
答案
证明：
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ DEB = ∠ DFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $BE = CF$。
∵ AD是△ABC的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ DEB = ∠ DFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $BE = CF$。
解析
【分析】
要证明$BE=CF$，可通过证明$BE$、$CF$所在的$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$全等来推导。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知$AD$是角平分线，$DE⊥AB$、$DF⊥AC$，可得$DE=DF$；再结合题目给出的$BD=CD$，两个三角形均为直角三角形，即可用HL定理证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到$BE=CF$。
【解析】
证明：
∵ AD是$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ DEB = ∠ DFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $BE = CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是将待证的边相等转化为证明边所在的三角形全等，解题关键是利用角平分线的性质得到全等所需的等边，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要证明$BE=CF$，可通过证明$BE$、$CF$所在的$\mathrm{Rt}△BDE$和$\mathrm{Rt}△CDF$全等来推导。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知$AD$是角平分线，$DE⊥AB$、$DF⊥AC$，可得$DE=DF$；再结合题目给出的$BD=CD$，两个三角形均为直角三角形，即可用HL定理证明两个直角三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得到$BE=CF$。
【解析】
证明：
∵ AD是$△ ABC$的角平分线，$DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE = DF$，$∠ DEB = ∠ DFC = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\DE = DF\end{array} $
∴ $\mathrm{Rt}△ BDE ≌ \mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$，
∴ $BE = CF$。
【答案】
$BE=CF$
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是将待证的边相等转化为证明边所在的三角形全等，解题关键是利用角平分线的性质得到全等所需的等边，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
例2 如图1-18，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高。直线AD是线段EF的垂直平分线吗？为什么？
图1-18
图1-18
答案
解：直线AD是线段EF的垂直平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ 点D在线段EF的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DE=DF \end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD（HL）。
∴ AE = AF。
∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AD是线段EF的垂直平分线。
∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ 点D在线段EF的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DE=DF \end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD（HL）。
∴ AE = AF。
∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AD是线段EF的垂直平分线。
解析
【分析】
要判断直线AD是否为线段EF的垂直平分线，可依据线段垂直平分线的判定思路：若能证明直线上有两个点都在线段EF的垂直平分线上，结合“两点确定一条直线”即可得证。首先从已知条件出发，AD是角平分线、DE和DF是高，可先利用角平分线的性质得到DE=DF，推出点D在EF的垂直平分线上；再通过证明Rt△AED和Rt△AFD全等得到AE=AF，推出点A也在EF的垂直平分线上，最终即可得出结论。
【解析】
直线AD是线段EF的垂直平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ 点D在线段EF的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DE=DF \end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD（HL）。
∴ AE = AF。
∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AD是线段EF的垂直平分线。
【答案】
直线AD是线段EF的垂直平分线，理由如上。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是紧扣线段垂直平分线的判定逻辑，结合角平分线性质、全等三角形判定逐步推导，解题思路清晰，是巩固相关基础定理的典型习题。
【难度系数】
0.7
要判断直线AD是否为线段EF的垂直平分线，可依据线段垂直平分线的判定思路：若能证明直线上有两个点都在线段EF的垂直平分线上，结合“两点确定一条直线”即可得证。首先从已知条件出发，AD是角平分线、DE和DF是高，可先利用角平分线的性质得到DE=DF，推出点D在EF的垂直平分线上；再通过证明Rt△AED和Rt△AFD全等得到AE=AF，推出点A也在EF的垂直平分线上，最终即可得出结论。
【解析】
直线AD是线段EF的垂直平分线，理由如下：
∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∴ 点D在线段EF的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
$\{\begin{array}{l} AD=AD \\ DE=DF \end{array} $
∴ Rt△AED ≌ Rt△AFD（HL）。
∴ AE = AF。
∴ 点A在线段EF的垂直平分线上。
∵ 两点确定一条直线，
∴ 直线AD是线段EF的垂直平分线。
【答案】
直线AD是线段EF的垂直平分线，理由如上。
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是紧扣线段垂直平分线的判定逻辑，结合角平分线性质、全等三角形判定逐步推导，解题思路清晰，是巩固相关基础定理的典型习题。
【难度系数】
0.7
