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6. 如图,在$△ ABC$中,边BC的垂直平分线DE分别与边AB,BC交于点D,E.求证:AB＞AC.
答案
证明：
连接DC。
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AB = AD + DB，
∴ AB = AD + DC。
在△ADC中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
AD + DC ＞ AC，
∴ AB ＞ AC。
连接DC。
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AB = AD + DB，
∴ AB = AD + DC。
在△ADC中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
AD + DC ＞ AC，
∴ AB ＞ AC。
解析
【分析】
要证明AB＞AC，首先结合已知的BC的垂直平分线DE，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此先作辅助线连接DC，可得到DB=DC，将AB拆分为AD+DB后可替换为AD+DC，再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即可推导出AB与AC的大小关系。
【解析】
证明：
连接DC。
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AB = AD + DB，
∴ AB = AD + DC。
在△ADC中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
AD + DC ＞ AC，
∴ AB ＞ AC。
【答案】
证明：
连接DC。
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AB = AD + DB，
∴ AB = AD + DC。
在△ADC中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
AD + DC ＞ AC，
∴ AB ＞ AC。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过构造辅助线，利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，再结合三角形三边关系完成不等关系的证明，这类题目能帮助学生掌握几何中“等线代换”的常用思路。
【难度系数】
0.8
要证明AB＞AC，首先结合已知的BC的垂直平分线DE，回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此先作辅助线连接DC，可得到DB=DC，将AB拆分为AD+DB后可替换为AD+DC，再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边”，即可推导出AB与AC的大小关系。
【解析】
证明：
连接DC。
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AB = AD + DB，
∴ AB = AD + DC。
在△ADC中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
AD + DC ＞ AC，
∴ AB ＞ AC。
【答案】
证明：
连接DC。
∵ DE是BC的垂直平分线，点D在DE上，
∴ DB = DC（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵ AB = AD + DB，
∴ AB = AD + DC。
在△ADC中，由三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
AD + DC ＞ AC，
∴ AB ＞ AC。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是基础几何证明题，解题关键是通过构造辅助线，利用线段垂直平分线的性质实现线段的等量转化，再结合三角形三边关系完成不等关系的证明，这类题目能帮助学生掌握几何中“等线代换”的常用思路。
【难度系数】
0.8
7. 如图，已知直线$ l $及在其两侧的点$ A,B $.
（1）在直线$ l $上求作一点$ O $，使点$ O $到$ A,B $两点的距离之和最短；
（2）在直线$ l $上求作一点$ P $，使$ PA=PB $；
（3）在直线$ l $上求作一点$ Q $，使$ l $平分$ ∠ AQB $.
（1）在直线$ l $上求作一点$ O $，使点$ O $到$ A,B $两点的距离之和最短；
（2）在直线$ l $上求作一点$ P $，使$ PA=PB $；
（3）在直线$ l $上求作一点$ Q $，使$ l $平分$ ∠ AQB $.
答案
解：
(1) 连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求的点O。
由两点之间线段最短可知，此时OA+OB=AB，为点O到A、B两点的距离之和的最小值。
(2) ① 连接AB，分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点；
② 过这两个交点作直线，该直线为线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为所求的点P。
由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB。
(3) ① 作点A关于直线l的对称点$A'$；
② 连接$BA'$，直线$BA'$与直线l的交点即为所求的点Q。
由点A、$A'$关于直线l对称，得l平分$∠ AQA'$，结合B、Q、$A'$三点共线，可得l平分$∠ AQB$。
(1) 连接A、B两点，线段AB与直线l的交点即为所求的点O。
由两点之间线段最短可知，此时OA+OB=AB，为点O到A、B两点的距离之和的最小值。
(2) ① 连接AB，分别以点A、B为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点；
② 过这两个交点作直线，该直线为线段AB的垂直平分线，它与直线l的交点即为所求的点P。
由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得PA=PB。
(3) ① 作点A关于直线l的对称点$A'$；
② 连接$BA'$，直线$BA'$与直线l的交点即为所求的点Q。
由点A、$A'$关于直线l对称，得l平分$∠ AQA'$，结合B、Q、$A'$三点共线，可得l平分$∠ AQB$。
解析
【分析】
（1）已知点A、B在直线l的两侧，要使直线l上的点O到A、B的距离之和最短，根据“两点之间线段最短”，连接AB得到的线段是A到B的最短路径，因此线段AB与直线l的交点就是满足条件的点O。
（2）要使直线l上的点P满足PA=PB，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只需要作出线段AB的垂直平分线，它和直线l的交点即为所求的点P。
（3）要使直线l平分∠AQB，说明直线l是∠AQB的角平分线，根据轴对称的性质，角的两边关于角平分线对称，因此点A关于直线l的对称点一定在射线QB上，因此先作A关于l的对称点$A'$，连接$BA'$，$BA'$与直线l的交点就是所求的点Q。
【解析】
(1) 连接A、B两点，线段AB与直线$ l $的交点即为所求的点$ O $。
由两点之间线段最短可知，此时$ OA+OB=AB $，为点$ O $到$ A,B $两点的距离之和的最小值。
(2) ① 连接$ AB $，分别以点$ A、B $为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点；
② 过这两个交点作直线，该直线为线段$ AB $的垂直平分线，它与直线$ l $的交点即为所求的点$ P $。
由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$ PA=PB $。
(3) ① 作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $；
② 连接$ BA' $，直线$ BA' $与直线$ l $的交点即为所求的点$ Q $。
由点$ A、A' $关于直线$ l $对称，得$ l $平分$ ∠ AQA' $，结合$ B、Q、A' $三点共线，可得$ l $平分$ ∠ AQB $。
【答案】
(1) 连接A、B，线段AB与直线l的交点即为点O；
(2) 线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为点P；
(3) 点A关于直线l的对称点$A'$与点B的连线和直线l的交点即为点Q。
【知识点】
两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础几何作图题，分别对应最短路径、等距点、角平分线三类常见作图需求，解题核心是将所求点满足的条件对应到相关几何性质，理解作图的原理才能避免混淆不同类型的作图方法，灵活解决同类问题。
【难度系数】
0.7
（1）已知点A、B在直线l的两侧，要使直线l上的点O到A、B的距离之和最短，根据“两点之间线段最短”，连接AB得到的线段是A到B的最短路径，因此线段AB与直线l的交点就是满足条件的点O。
（2）要使直线l上的点P满足PA=PB，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只需要作出线段AB的垂直平分线，它和直线l的交点即为所求的点P。
（3）要使直线l平分∠AQB，说明直线l是∠AQB的角平分线，根据轴对称的性质，角的两边关于角平分线对称，因此点A关于直线l的对称点一定在射线QB上，因此先作A关于l的对称点$A'$，连接$BA'$，$BA'$与直线l的交点就是所求的点Q。
【解析】
(1) 连接A、B两点，线段AB与直线$ l $的交点即为所求的点$ O $。
由两点之间线段最短可知，此时$ OA+OB=AB $，为点$ O $到$ A,B $两点的距离之和的最小值。
(2) ① 连接$ AB $，分别以点$ A、B $为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧交于两个不同的点；
② 过这两个交点作直线，该直线为线段$ AB $的垂直平分线，它与直线$ l $的交点即为所求的点$ P $。
由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$ PA=PB $。
(3) ① 作点$ A $关于直线$ l $的对称点$ A' $；
② 连接$ BA' $，直线$ BA' $与直线$ l $的交点即为所求的点$ Q $。
由点$ A、A' $关于直线$ l $对称，得$ l $平分$ ∠ AQA' $，结合$ B、Q、A' $三点共线，可得$ l $平分$ ∠ AQB $。
【答案】
(1) 连接A、B，线段AB与直线l的交点即为点O；
(2) 线段AB的垂直平分线与直线l的交点即为点P；
(3) 点A关于直线l的对称点$A'$与点B的连线和直线l的交点即为点Q。
【知识点】
两点之间线段最短；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础几何作图题，分别对应最短路径、等距点、角平分线三类常见作图需求，解题核心是将所求点满足的条件对应到相关几何性质，理解作图的原理才能避免混淆不同类型的作图方法，灵活解决同类问题。
【难度系数】
0.7
