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3. 如图，在$△ ABC$中，$AB＜AC$，边$BC$的垂直平分线$DE$与$BC$相交于点$D$，与$AC$相交于点$E$，$AC=8$，$△ ABE$的周长是14。求$AB$的长。
答案
解：
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ △ABE的周长是14，
∴ AB + BE + AE = 14，
将BE=CE代入得：AB + CE + AE = 14，
又∵ CE + AE = AC，AC=8，
∴ AB + AC = 14，
∴ AB = 14 - 8 = 6。
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ △ABE的周长是14，
∴ AB + BE + AE = 14，
将BE=CE代入得：AB + CE + AE = 14，
又∵ CE + AE = AC，AC=8，
∴ AB + AC = 14，
∴ AB = 14 - 8 = 6。
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，看到有BC的垂直平分线DE，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得BE=CE。接下来分析△ABE的周长组成，其周长为AB+BE+AE，我们可以将BE替换为和它相等的CE，此时式子变为AB+CE+AE，而CE+AE恰好是AC的长度，这样就把未知的周长表达式转化为包含已知AC的式子，最后代入已知的AC长度和△ABE的周长，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ △ABE的周长是14，
∴ AB + BE + AE = 14，
将BE=CE代入得：AB + CE + AE = 14，
又
∵ CE + AE = AC，且AC=8，
∴ AB + AC = 14，
∴ AB = 14 - 8 = 6。
【答案】
AB的长为6。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质实现相等线段的代换，将无法直接计算的三角形周长转化为已知边与未知边的和，从而快速求解。熟练掌握线段垂直平分线的性质、灵活运用等量代换是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题干条件，看到有BC的垂直平分线DE，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，由此可得BE=CE。接下来分析△ABE的周长组成，其周长为AB+BE+AE，我们可以将BE替换为和它相等的CE，此时式子变为AB+CE+AE，而CE+AE恰好是AC的长度，这样就把未知的周长表达式转化为包含已知AC的式子，最后代入已知的AC长度和△ABE的周长，即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵ DE是BC的垂直平分线，
∴ BE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ △ABE的周长是14，
∴ AB + BE + AE = 14，
将BE=CE代入得：AB + CE + AE = 14，
又
∵ CE + AE = AC，且AC=8，
∴ AB + AC = 14，
∴ AB = 14 - 8 = 6。
【答案】
AB的长为6。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是利用线段垂直平分线的性质实现相等线段的代换，将无法直接计算的三角形周长转化为已知边与未知边的和，从而快速求解。熟练掌握线段垂直平分线的性质、灵活运用等量代换是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D，E. 求证：AB=AC.
答案
证明：
连接BC。
∵ D是AB的中点，CD⊥AB，
∴ CD是线段AB的垂直平分线。
∴ AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ E是AC的中点，BE⊥AC，
∴ BE是线段AC的垂直平分线。
∴ AB = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ AB = AC。
连接BC。
∵ D是AB的中点，CD⊥AB，
∴ CD是线段AB的垂直平分线。
∴ AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ E是AC的中点，BE⊥AC，
∴ BE是线段AC的垂直平分线。
∴ AB = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ AB = AC。
解析
【分析】
要证明AB=AC，可通过寻找中间等量的方式转化推导。观察已知条件：D是AB中点且CD⊥AB，E是AC中点且BE⊥AC，均符合线段垂直平分线的判定特征。因此我们可以连接BC，利用线段垂直平分线的性质，分别证明AC与BC相等、AB与BC相等，再通过等量代换即可得到AB=AC的结论。
【解析】
证明：
连接BC。
∵ D是AB的中点，CD⊥AB，
∴ CD是线段AB的垂直平分线。
∴ AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ E是AC的中点，BE⊥AC，
∴ BE是线段AC的垂直平分线。
∴ AB = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ AB = AC。
【答案】
证明过程如上述解析所示。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考察线段垂直平分线的判定与性质的应用，解题关键是通过连接公共边BC作为中间量，快速建立待证边的等量关系，掌握“中点+垂直可得垂直平分线”的判定规律能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要证明AB=AC，可通过寻找中间等量的方式转化推导。观察已知条件：D是AB中点且CD⊥AB，E是AC中点且BE⊥AC，均符合线段垂直平分线的判定特征。因此我们可以连接BC，利用线段垂直平分线的性质，分别证明AC与BC相等、AB与BC相等，再通过等量代换即可得到AB=AC的结论。
【解析】
证明：
连接BC。
∵ D是AB的中点，CD⊥AB，
∴ CD是线段AB的垂直平分线。
∴ AC = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ E是AC的中点，BE⊥AC，
∴ BE是线段AC的垂直平分线。
∴ AB = BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ AB = AC。
【答案】
证明过程如上述解析所示。
【知识点】
线段垂直平分线的判定、线段垂直平分线的性质、等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，核心考察线段垂直平分线的判定与性质的应用，解题关键是通过连接公共边BC作为中间量，快速建立待证边的等量关系，掌握“中点+垂直可得垂直平分线”的判定规律能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在$△ ABC$中,分别画出边$AB$,$BC$的垂直平分线$l_1$和$l_2$,并相交于点$O$.求证:点$O$在边$AC$的垂直平分线上.
答案
证明：
连接OA，OB，OC。
∵ 点O在AB的垂直平分线$l_1$上，
∴ $OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 点O在BC的垂直平分线$l_2$上，
∴ $OB = OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ $OA = OC$。
∴ 点O在边AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
连接OA，OB，OC。
∵ 点O在AB的垂直平分线$l_1$上，
∴ $OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 点O在BC的垂直平分线$l_2$上，
∴ $OB = OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ $OA = OC$。
∴ 点O在边AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
解析
【分析】
要证明点O在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明OA=OC即可。我们可以先连接OA、OB、OC，结合已知O在AB、BC的垂直平分线上，利用线段垂直平分线的性质，分别得到OA=OB、OB=OC，再通过等量代换得到OA=OC，即可完成证明。
【解析】
证明：
连接OA，OB，OC。
∵ 点O在AB的垂直平分线$l_1$上，
∴ $OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 点O在BC的垂直平分线$l_2$上，
∴ $OB = OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ $OA = OC$。
∴ 点O在边AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明：
连接OA，OB，OC。
∵ 点O在AB的垂直平分线$l_1$上，
∴ $OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 点O在BC的垂直平分线$l_2$上，
∴ $OB = OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ $OA = OC$。
∴ 点O在边AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关定理的基础应用，解题的核心是明确性质和判定的适用场景：已知点在垂直平分线上时用性质推导线段相等，要证明点在垂直平分线上时先证线段相等再用判定推导，掌握两者的区别与联系就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
要证明点O在AC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的判定定理，只需证明OA=OC即可。我们可以先连接OA、OB、OC，结合已知O在AB、BC的垂直平分线上，利用线段垂直平分线的性质，分别得到OA=OB、OB=OC，再通过等量代换得到OA=OC，即可完成证明。
【解析】
证明：
连接OA，OB，OC。
∵ 点O在AB的垂直平分线$l_1$上，
∴ $OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 点O在BC的垂直平分线$l_2$上，
∴ $OB = OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ $OA = OC$。
∴ 点O在边AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【答案】
证明：
连接OA，OB，OC。
∵ 点O在AB的垂直平分线$l_1$上，
∴ $OA = OB$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ 点O在BC的垂直平分线$l_2$上，
∴ $OB = OC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∴ $OA = OC$。
∴ 点O在边AC的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线相关定理的基础应用，解题的核心是明确性质和判定的适用场景：已知点在垂直平分线上时用性质推导线段相等，要证明点在垂直平分线上时先证线段相等再用判定推导，掌握两者的区别与联系就能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
