登录
（2）在下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）。
A.角
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
A.角
B.等腰三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
答案
C
解析
【分析】
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形。接下来逐一分析每个选项对应的图形的性质，判断是否一定存在这样的对折直线即可：角、等腰三角形、等腰直角三角形都有固定的对称轴，而直角三角形只有是等腰直角的时候才是轴对称图形，普通直角三角形不是，因此不一定是轴对称的就是直角三角形。
【解析】
先明确轴对称图形的判定标准：平面内，沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
对各选项逐一判断：
A. 角的对称轴是角平分线所在的直线，沿该直线折叠角的两边可以完全重合，因此角一定是轴对称图形，不符合题意；
B. 等腰三角形的对称轴是底边中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线，沿该直线折叠等腰三角形的两部分可以完全重合，因此等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
C. 只有特殊的直角三角形（等腰直角三角形）是轴对称图形，内角为30°、60°、90°的普通直角三角形不存在能让两侧重合的对折直线，不是轴对称图形，因此直角三角形不一定是轴对称图形，符合题意；
D. 等腰直角三角形属于特殊的等腰三角形，对称轴是斜边上的高所在的直线，沿该直线折叠两部分可以完全重合，因此等腰直角三角形一定是轴对称图形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别；等腰三角形的性质；直角三角形的特征
【点评】
本题考查基础几何图形的轴对称性判断，解题核心是准确掌握轴对称图形的定义，同时要注意区分一般图形和特殊图形的性质差异，避免将特殊直角三角形的性质套用到所有直角三角形上。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确轴对称图形的定义：沿一条直线对折后，直线两侧的部分能完全重合的图形是轴对称图形。接下来逐一分析每个选项对应的图形的性质，判断是否一定存在这样的对折直线即可：角、等腰三角形、等腰直角三角形都有固定的对称轴，而直角三角形只有是等腰直角的时候才是轴对称图形，普通直角三角形不是，因此不一定是轴对称的就是直角三角形。
【解析】
先明确轴对称图形的判定标准：平面内，沿某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
对各选项逐一判断：
A. 角的对称轴是角平分线所在的直线，沿该直线折叠角的两边可以完全重合，因此角一定是轴对称图形，不符合题意；
B. 等腰三角形的对称轴是底边中线（或顶角平分线、底边上的高）所在的直线，沿该直线折叠等腰三角形的两部分可以完全重合，因此等腰三角形一定是轴对称图形，不符合题意；
C. 只有特殊的直角三角形（等腰直角三角形）是轴对称图形，内角为30°、60°、90°的普通直角三角形不存在能让两侧重合的对折直线，不是轴对称图形，因此直角三角形不一定是轴对称图形，符合题意；
D. 等腰直角三角形属于特殊的等腰三角形，对称轴是斜边上的高所在的直线，沿该直线折叠两部分可以完全重合，因此等腰直角三角形一定是轴对称图形，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形识别；等腰三角形的性质；直角三角形的特征
【点评】
本题考查基础几何图形的轴对称性判断，解题核心是准确掌握轴对称图形的定义，同时要注意区分一般图形和特殊图形的性质差异，避免将特殊直角三角形的性质套用到所有直角三角形上。
【难度系数】
0.8
（3）已知一个等腰三角形的两条边长分别为2,4,则这个等腰三角形的周长是().
A.6
B.8
C.10
D.8或10
A.6
B.8
C.10
D.8或10
答案
C
解析
【分析】
要计算等腰三角形的周长，首先根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的组合，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两条边长为2和4，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4
因为2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2
因为4+2＞4，4+4＞2，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时周长为4+4+2=10。
综上，这个等腰三角形的周长是10。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的常见基础题型，解题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接认为两种边长组合都成立，从而误选D。解答此类涉及三角形边长的问题时，分类讨论后一定要验证三边是否满足构成三角形的条件。
【难度系数】
0.6
要计算等腰三角形的周长，首先根据等腰三角形两腰相等的性质，分两种情况讨论腰长和底边长的组合，再根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断每种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形的两条边长为2和4，分两种情况讨论：
1. 若腰长为2，底边长为4，此时三角形三边长为2、2、4
因为2+2=4，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，该情况舍去；
2. 若腰长为4，底边长为2，此时三角形三边长为4、4、2
因为4+2＞4，4+4＞2，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时周长为4+4+2=10。
综上，这个等腰三角形的周长是10。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于等腰三角形的常见基础题型，解题的易错点是忽略对三角形三边关系的验证，直接认为两种边长组合都成立，从而误选D。解答此类涉及三角形边长的问题时，分类讨论后一定要验证三边是否满足构成三角形的条件。
【难度系数】
0.6
(1) 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=80°$，$∠ C=$ $°$，$∠ A=$ $°$;
答案
∠C=80°，∠A=20°。
解析
【分析】
首先根据题干给出的AB=AC，可判定△ABC为等腰三角形，回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，即可由已知∠B的度数直接得到∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去∠B和∠C的度数，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据“等边对等角”可得∠B=∠C，
∵∠B=80°，
∴∠C=80°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20°。
【答案】
80；20
【知识点】
等腰三角形等边对等角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等腰三角形的基础性质和三角形内角和定理的应用，解题关键是找准等腰三角形相等的边对应的底角，结合内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.9
首先根据题干给出的AB=AC，可判定△ABC为等腰三角形，回忆等腰三角形“等边对等角”的性质，即可由已知∠B的度数直接得到∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去∠B和∠C的度数，就能求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，根据“等边对等角”可得∠B=∠C，
∵∠B=80°，
∴∠C=80°，
又
∵三角形内角和为180°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-80°-80°=20°。
【答案】
80；20
【知识点】
等腰三角形等边对等角性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题型，核心考查等腰三角形的基础性质和三角形内角和定理的应用，解题关键是找准等腰三角形相等的边对应的底角，结合内角和公式计算即可。
【难度系数】
0.9
(2) 等腰三角形的一个外角等于$140°$，这个等腰三角形的顶角的度数是。
答案
解：分两种情况讨论：
① 若140°的外角是等腰三角形顶角的邻补角，
则顶角 = 180° - 140° = 40°；
② 若140°的外角是等腰三角形底角的邻补角，
则底角 = 180° - 140° = 40°，
由等腰三角形两底角相等，得顶角 = 180° - 2×40° = 100°。
综上，这个等腰三角形的顶角的度数是40°或100°。
① 若140°的外角是等腰三角形顶角的邻补角，
则顶角 = 180° - 140° = 40°；
② 若140°的外角是等腰三角形底角的邻补角，
则底角 = 180° - 140° = 40°，
由等腰三角形两底角相等，得顶角 = 180° - 2×40° = 100°。
综上，这个等腰三角形的顶角的度数是40°或100°。
解析
【分析】
题目未明确140°的外角是等腰三角形顶角的外角还是底角的外角，因此需要分类讨论两种情况：一是该外角为顶角的邻补角，二是该外角为底角的邻补角。再结合邻补角和为180°、等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别计算顶角度数，两种结果均符合三角形内角的取值要求，均有效。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若140°的外角是等腰三角形顶角的邻补角，
则顶角 = 180° - 140° = 40°；
② 若140°的外角是等腰三角形底角的邻补角，
则底角 = 180° - 140° = 40°，
由等腰三角形两底角相等，得顶角 = 180° - 2×40° = 100°。
综上，这个等腰三角形的顶角的度数是40°或100°。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略未明确的外角存在两种对应情况，导致漏解，做题时遇到未明确说明的等腰三角形角相关问题，要优先考虑是否需要分类讨论。
【难度系数】
0.7
题目未明确140°的外角是等腰三角形顶角的外角还是底角的外角，因此需要分类讨论两种情况：一是该外角为顶角的邻补角，二是该外角为底角的邻补角。再结合邻补角和为180°、等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质，分别计算顶角度数，两种结果均符合三角形内角的取值要求，均有效。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若140°的外角是等腰三角形顶角的邻补角，
则顶角 = 180° - 140° = 40°；
② 若140°的外角是等腰三角形底角的邻补角，
则底角 = 180° - 140° = 40°，
由等腰三角形两底角相等，得顶角 = 180° - 2×40° = 100°。
综上，这个等腰三角形的顶角的度数是40°或100°。
【答案】
40°或100°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题的易错点是忽略未明确的外角存在两种对应情况，导致漏解，做题时遇到未明确说明的等腰三角形角相关问题，要优先考虑是否需要分类讨论。
【难度系数】
0.7
4. (1) 如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.求证:BD=CD,∠BAD=∠CAD. 
[第4(1)题]
[第4(1)题]答案
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
解析
【分析】
要证明BD=CD、∠BAD=∠CAD，可先证明二者所在的△ABD与△ACD全等。首先由AD⊥BC可知△ABD和△ACD都是直角三角形，结合已知条件AB=AC，且AD是两个三角形的公共边，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
【答案】
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
【知识点】
HL全等判定
全等三角形的性质
垂直的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是利用全等三角形推导对应边、对应角相等，这类证明思路是后续几何推导的常用方法，需熟练掌握直角三角形全等的判定规则，理解全等三角形的性质。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CD、∠BAD=∠CAD，可先证明二者所在的△ABD与△ACD全等。首先由AD⊥BC可知△ABD和△ACD都是直角三角形，结合已知条件AB=AC，且AD是两个三角形的公共边，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应边相等、对应角相等，即可得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
【答案】
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴ △ABD和△ACD都是直角三角形。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\AD = AD\end{array} $
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ BD = CD，∠BAD = ∠CAD。
【知识点】
HL全等判定
全等三角形的性质
垂直的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是利用全等三角形推导对应边、对应角相等，这类证明思路是后续几何推导的常用方法，需熟练掌握直角三角形全等的判定规则，理解全等三角形的性质。
【难度系数】
0.8
(2) 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAD=∠ CAD$.求证:$AD⊥ BC$,$BD=CD$. 
答案
证明：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAD,\\AD=AD,\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）。
∴ $BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$。
又∵ $∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD⊥ BC$。
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAD,\\AD=AD,\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）。
∴ $BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$。
又∵ $∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD⊥ BC$。
解析
【分析】
要证明BD=CD和AD⊥BC，可先证明△ABD与△ACD全等：首先从已知条件入手，已知AB=AC，∠BAD=∠CAD，且AD是两个三角形的公共边，满足全等三角形的SAS判定条件，证得两三角形全等后，即可得到对应边BD=CD，对应角∠ADB=∠ADC；再结合∠ADB与∠ADC的和为平角180°，可推出两个角均为90°，即可证明AD⊥BC。
【解析】
证明：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAD,\\AD=AD,\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）。
∴ $BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$。
又
∵ $∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD⊥ BC$。
【答案】
AD⊥BC，BD=CD，得证。
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，是等腰三角形“三线合一”性质的推导过程，解题关键是找准两个三角形的公共边，结合已知条件判定三角形全等，掌握利用全等证明线段相等和垂直关系的常用思路。
【难度系数】
0.8
要证明BD=CD和AD⊥BC，可先证明△ABD与△ACD全等：首先从已知条件入手，已知AB=AC，∠BAD=∠CAD，且AD是两个三角形的公共边，满足全等三角形的SAS判定条件，证得两三角形全等后，即可得到对应边BD=CD，对应角∠ADB=∠ADC；再结合∠ADB与∠ADC的和为平角180°，可推出两个角均为90°，即可证明AD⊥BC。
【解析】
证明：
在$△ ABD$和$△ ACD$中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAD,\\AD=AD,\end{array} $
∴ $△ ABD ≌ △ ACD$（SAS）。
∴ $BD=CD$，$∠ ADB=∠ ADC$。
又
∵ $∠ ADB + ∠ ADC = 180°$，
∴ $∠ ADB = ∠ ADC = 90°$，
∴ $AD⊥ BC$。
【答案】
AD⊥BC，BD=CD，得证。
【知识点】
SAS全等判定、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是几何基础证明题，是等腰三角形“三线合一”性质的推导过程，解题关键是找准两个三角形的公共边，结合已知条件判定三角形全等，掌握利用全等证明线段相等和垂直关系的常用思路。
【难度系数】
0.8
（3）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD.求证：AD⊥BC，∠BAD=∠CAD. 
[第4(3)题]
[第4(3)题]答案
证明：
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）。
∴∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴AD ⊥ BC。
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）。
∴∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴AD ⊥ BC。
解析
【分析】
要证明AD⊥BC和∠BAD=∠CAD，可先证明△ABD与△ACD全等。观察已知条件：AB=AC，BD=CD，且AD是两个三角形的公共边，满足SSS全等的判定条件。先证两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAD=∠CAD以及∠ADB=∠ADC；最后结合∠ADB与∠ADC组成平角、和为180°，可推出两个角均为90°，即可证明AD⊥BC。
【解析】
证明：
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）。
∴∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴AD ⊥ BC。
【答案】
证明：
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）。
∴∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴AD ⊥ BC。
即AD⊥BC，∠BAD=∠CAD得证。
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，是等腰三角形三线合一性质的推导过程，解题的关键是挖掘公共边AD这个隐含条件，利用SSS判定三角形全等，再结合全等的性质推导角的关系，能够帮助学生巩固全等三角形的应用方法。
【难度系数】
0.9
要证明AD⊥BC和∠BAD=∠CAD，可先证明△ABD与△ACD全等。观察已知条件：AB=AC，BD=CD，且AD是两个三角形的公共边，满足SSS全等的判定条件。先证两三角形全等，再利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠BAD=∠CAD以及∠ADB=∠ADC；最后结合∠ADB与∠ADC组成平角、和为180°，可推出两个角均为90°，即可证明AD⊥BC。
【解析】
证明：
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）。
∴∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴AD ⊥ BC。
【答案】
证明：
在△ABD和△ACD中，
$\begin{cases}AB = AC, \\BD = CD, \\AD = AD,\end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）。
∴∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC。
∵∠ADB + ∠ADC = 180°，
∴∠ADB = ∠ADC = 90°，
∴AD ⊥ BC。
即AD⊥BC，∠BAD=∠CAD得证。
【知识点】
1. SSS判定三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题属于几何基础证明题，是等腰三角形三线合一性质的推导过程，解题的关键是挖掘公共边AD这个隐含条件，利用SSS判定三角形全等，再结合全等的性质推导角的关系，能够帮助学生巩固全等三角形的应用方法。
【难度系数】
0.9
