一、基础性作业
1. 根据图5-3-1中给出的信息，可得正确的方程是（）。


A.$π × (\dfrac{8}{2})^2 x = π × (\dfrac{6}{2})^2 (x+5)$
B.$π × 8^2 x = π × 6^2 × 5$
C.$π × (\dfrac{8}{2})^2 x = π × (\dfrac{6}{2})^2 (x-5)$
D.$π × 8^2 x = π × 6^2 (x-5)$

1.A

【分析】
解题的核心是抓住“两个杯子水量相同”这一等量关系，结合圆柱体积公式列方程。首先回忆圆柱体积=底面积×高，底面积=π×半径²，半径为直径的一半。先分别表示出大、小两个杯子中水的体积，再根据体积相等列出等式，对应选项即可。
【解析】
首先明确等量关系：大杯中水的体积=小杯中水的体积。
1. 计算左侧大杯的水体积：大杯直径为8cm，半径为$\frac{8}{2}$cm，水的高度为$x$ cm，根据圆柱体积公式，体积为$π×(\frac{8}{2})^2 x$。
2. 计算右侧小杯的水体积：小杯直径为6cm，半径为$\frac{6}{2}$cm，水的高度比大杯高5cm，即高度为$(x+5)$ cm，体积为$π×(\frac{6}{2})^2 (x+5)$。
3. 由两杯水体积相等，可列方程：$π × (\dfrac{8}{2})^2 x = π × (\dfrac{6}{2})^2 (x+5)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程应用，等积变形
【点评】
本题是典型的等积变形类应用题，解题关键是准确找到不变的量（水的体积），结合基础几何公式列出方程，有助于提升学生找等量关系、结合几何知识列方程的能力。
【难度系数】
0.8

2. 如图5-3-2,在长为a cm的木条上钻4个圆孔,每个圆孔的直径为3 cm,则x= cm。

2. $\dfrac{a-12}{5}$

【分析】
解题思路：首先明确木条总长度的构成，总长度等于所有长度为x的空白段的总长度加上4个圆孔的直径总和。第一步先数出空白段x的总个数，第二步计算4个圆孔的总直径，第三步根据总长度的等量关系列出等式，最后求解x即可。
【解析】
解：由图可得，4个圆孔的两侧以及相邻圆孔之间一共有5个长度为x的空白段。
每个圆孔的直径为3cm，4个圆孔的总长度为：$4×3=12\ \mathrm{cm}$
已知木条总长度为$a\ \mathrm{cm}$，根据总长度的等量关系可列等式：
$5x + 12 = a$
移项得：$5x = a - 12$
两边同时除以5，解得：$x=\dfrac{a-12}{5}$
【答案】
$\dfrac{a-12}{5}$
【知识点】
线段和差计算、列代数式、一元一次方程的应用
【点评】
本题考查从图形中提取数量关系的能力，解题核心是准确数出空白段x的数量，结合总长度建立等量关系即可求解，解题时需注意不要数错x的个数。
【难度系数】
0.8

3. 已知长方形的长与宽的比是3：2，且它的周长是20 cm，则它的面积是 $\mathrm{cm}^2$

3. 24

【分析】
遇到已知两个量的比和相关等量关系的问题，可先设每份的量为未知数，再用含未知数的式子表示两个量；本题中先根据长与宽的比3:2，设每份长度为x，分别表示出长和宽，再结合长方形周长公式列一元一次方程，求解得到x的值后算出长、宽，最后用长方形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：设长方形长与宽的每份长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则长方形的长为$ 3x \, \mathrm{cm} $，宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，列方程得：
$ 2×(3x + 2x) = 20 $
化简得：$ 10x = 20 $
解得：$ x = 2 $
所以长方形的长为$ 3×2 = 6 \, \mathrm{cm} $，宽为$ 2×2 = 4 \, \mathrm{cm} $
则长方形的面积为$ 6×4 = 24 \, \mathrm{cm}^2 $
【答案】
24
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形周长与面积计算；比的应用
【点评】
本题是基础的方程应用题，核心考察按比例设未知数的方法，以及长方形周长、面积公式的灵活运用，解题的关键是找到周长对应的等量关系列方程求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

4. 如图5-3-3，相同的8块小长方形地砖拼成一块大长方形地砖，每块小长方形地砖的面积是。

4. $27\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
解题时先观察图形，找到两个关键等量关系：①3个小长方形的宽之和等于1个小长方形的长；②小长方形的长与宽的和等于大长方形竖直方向的总长度12cm。我们可以设小长方形的宽为未知数，根据等量关系列一元一次方程，求出长和宽后再计算面积。
【解析】
设每块小长方形地砖的宽为$x\ \mathrm{cm}$，由图形可知小长方形的长为$3x\ \mathrm{cm}$。
根据大长方形竖直总高度为$12\ \mathrm{cm}$，可列方程：
$x + 3x = 12$
解得：$x=3$
则小长方形的长为$3×3=9\ \mathrm{cm}$
每块小长方形地砖的面积为$9×3=27\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$27\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形面积计算，图形等量分析
【点评】
本题属于数形结合类应用题，解题核心是通过观察图形准确梳理出小长方形长和宽的数量关系，再结合已知条件列方程求解，能锻炼学生的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.6

5. 如图5-3-4，若在左边水桶中放入15个球，水桶中的水位升高到64 cm，求放入大球的数量。

图5-3-4

5. 解:由已知得,在左边水桶中放入1个小球后水桶中的水位上升$\frac{32-26}{3}=2(\mathrm{cm})$,放入1个大球后水桶中的水位上升$\frac{32-26}{2}=3(\mathrm{cm})$。
设左边水桶中放入$x$个大球,则放入$(15-x)$个小球,
根据题意得$3x+2(15-x)=64-26$,解得$x=8$,
所以放入8个大球。

【分析】
解题时首先从题图中提取基础信息：原有水位高度为26cm，放入3个相同小球后水位升至32cm，放入2个相同大球后水位也升至32cm。第一步先计算单个小球、单个大球分别能让水位上升的高度：水位总上升高度为32-26=6cm，因此1个小球使水位上升6÷3=2cm，1个大球使水位上升6÷2=3cm。接下来结合题目条件：共放入15个球后水位升至64cm，可得出水位总上升高度为64-26=38cm。设大球数量为x个，则小球数量为(15-x)个，根据“大球贡献的水位上升总高度+小球贡献的水位上升总高度=水位总上升高度”的等量关系列一元一次方程，求解即可得到大球的数量。
【解析】
解：先计算单个球使水位上升的高度：
放入1个小球后水位上升：$\frac{32-26}{3}=2(\mathrm{cm})$
放入1个大球后水位上升：$\frac{32-26}{2}=3(\mathrm{cm})$
设放入大球的数量为$x$个，则放入小球的数量为$(15-x)$个。
水位总共上升高度为：$64-26=38(\mathrm{cm})$
根据题意列方程：
$3x+2(15-x)=38$
展开得：$3x+30-2x=38$
合并同类项解得：$x=8$
【答案】
放入8个大球
【知识点】
一元一次方程应用，等量关系构建
【点评】
本题结合生活中的水位变化场景，需要先从图示中提取有效信息计算单个大、小球对水位的影响，再根据总水位变化构建等量关系列方程求解，解题核心是找准总上升高度与两类球数量的对应关系，能很好地锻炼信息提取和方程应用的能力。
【难度系数】
0.7

6. 小华买了一杯圆柱形奶茶，底面半径为4 cm，高为12 cm。他把奶茶全部倒入一个底面为正方形(边长为8 cm)的长方体容器中。设倒入后奶茶的高度为h cm，请你列方程并求出h的值。(π取3)

6. 解:$π ×4^2 ×12=8×8h$,
解得$h=9$,
所以倒入后奶茶的高度为9 cm。

【分析】
解题的核心是抓住“奶茶倒入前后体积不变”这一等量关系。首先回忆两种几何体的体积公式：圆柱体积=π×底面半径²×高，长方体体积=底面积×高。因为奶茶全部倒入无溢出，所以圆柱形容器内奶茶的体积等于长方体容器内奶茶的体积，根据这个等量关系列出关于h的一元一次方程，代入π=3计算即可求出h的值。
【解析】
解：根据奶茶体积不变，可得等量关系：圆柱形奶茶的体积 = 长方体容器中奶茶的体积。
列方程得：$π × 4^2 × 12 = 8 × 8h$
将$π=3$代入方程：
$3× 16× 12 = 64h$
计算得：$576=64h$
解得：$h=9$
【答案】
$h=9\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 等积变形问题
2. 圆柱体积计算
3. 列方程解应用题
【点评】
本题是等积变形类的基础应用题，解题关键是明确物体形状改变时体积不变的核心规律，以此搭建等量关系列方程求解，主要考查常见几何体体积公式的掌握情况和用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8