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7.“文明其精神，野蛮其体魄”，为进一步提升学生体质健康水平，某市某校计划用640元购买12个体育用品，备选体育用品及单价如表5-3-1所示：
表5-3-1
备选体育用品 足球 篮球 排球
单价/元
60 40
（1）若640元全部用来购买足球和排球共12个，求足球和排球各购买多少个；
（2）学校先用一部分资金购买m个排球，再用剩下的资金购买足球和篮球，此时正好剩余40元，若购买的足球和篮球数量相同，求m的值。
表5-3-1
备选体育用品 足球 篮球 排球
单价/元
60 40（1）若640元全部用来购买足球和排球共12个，求足球和排球各购买多少个；
（2）学校先用一部分资金购买m个排球，再用剩下的资金购买足球和篮球，此时正好剩余40元，若购买的足球和篮球数量相同，求m的值。
答案
7. 解:(1)设购买足球$x$个,则购买排球$(12-x)$个,
依题意得$80x+40(12-x)=640$,
解得$x=4$,
所以$12-x=12-4=8$。
所以购买足球4个、排球8个。
(2)因为该市该校计划用640元购买12个体育用品,先用一部分资金购买$m$个排球,再用剩下的资金购买相同数量的足球和篮球,
所以购买足球和篮球的数量均为$\frac{12-m}{2}$个。
依题意得$40m+80×\frac{12-m}{2}+60×\frac{12-m}{2}=640-40$,解得$m=8$,
所以$m$的值为8。
依题意得$80x+40(12-x)=640$,
解得$x=4$,
所以$12-x=12-4=8$。
所以购买足球4个、排球8个。
(2)因为该市该校计划用640元购买12个体育用品,先用一部分资金购买$m$个排球,再用剩下的资金购买相同数量的足球和篮球,
所以购买足球和篮球的数量均为$\frac{12-m}{2}$个。
依题意得$40m+80×\frac{12-m}{2}+60×\frac{12-m}{2}=640-40$,解得$m=8$,
所以$m$的值为8。
解析
【分析】
（1）本小问已知足球和排球的总购买数量、总花费，我们可以通过设其中一种球的数量为未知数，利用“总费用=足球总费用+排球总费用”的等量关系列一元一次方程求解，即可分别得到两种球的购买数量。
（2）本小问涉及三种体育用品的购买，已知购买排球的数量为m个，且足球和篮球数量相同，我们可以先表示出足球和篮球的数量，再结合“总花费=计划金额-剩余金额”的关系，根据总费用的等量关系列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设购买足球$x$个，则购买排球的数量为$(12-x)$个，
依题意列方程：
$80x+40(12-x)=640$
展开计算得：$80x + 480 - 40x = 640$
合并同类项得：$40x = 160$
解得：$x=4$
则排球的购买数量为$12-x=12-4=8$（个）。
(2) 已知总购买数量为12个，购买排球$m$个，且足球和篮球数量相同，因此足球和篮球的购买数量均为$\frac{12-m}{2}$个，
本次实际总花费为$640-40=600$元，依题意列方程：
$40m + 80×\frac{12-m}{2} + 60×\frac{12-m}{2} = 600$
化简得：$40m + 40(12-m) + 30(12-m) = 600$
展开计算得：$40m + 480 - 40m + 360 - 30m = 600$
合并同类项得：$840 - 30m = 600$
移项计算得：$30m = 240$
解得：$m=8$。
【答案】
（1）购买足球4个，排球8个；（2）$m$的值为8。
【知识点】
一元一次方程的应用、总价=单价×数量
【点评】
本题是典型的一元一次方程实际应用类题目，解题的关键是准确梳理不同物品的数量、单价与总费用之间的等量关系，合理设未知数列式求解，掌握此类题型能够有效提升将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.8
（1）本小问已知足球和排球的总购买数量、总花费，我们可以通过设其中一种球的数量为未知数，利用“总费用=足球总费用+排球总费用”的等量关系列一元一次方程求解，即可分别得到两种球的购买数量。
（2）本小问涉及三种体育用品的购买，已知购买排球的数量为m个，且足球和篮球数量相同，我们可以先表示出足球和篮球的数量，再结合“总花费=计划金额-剩余金额”的关系，根据总费用的等量关系列方程求解即可得到m的值。
【解析】
(1) 设购买足球$x$个，则购买排球的数量为$(12-x)$个，
依题意列方程：
$80x+40(12-x)=640$
展开计算得：$80x + 480 - 40x = 640$
合并同类项得：$40x = 160$
解得：$x=4$
则排球的购买数量为$12-x=12-4=8$（个）。
(2) 已知总购买数量为12个，购买排球$m$个，且足球和篮球数量相同，因此足球和篮球的购买数量均为$\frac{12-m}{2}$个，
本次实际总花费为$640-40=600$元，依题意列方程：
$40m + 80×\frac{12-m}{2} + 60×\frac{12-m}{2} = 600$
化简得：$40m + 40(12-m) + 30(12-m) = 600$
展开计算得：$40m + 480 - 40m + 360 - 30m = 600$
合并同类项得：$840 - 30m = 600$
移项计算得：$30m = 240$
解得：$m=8$。
【答案】
（1）购买足球4个，排球8个；（2）$m$的值为8。
【知识点】
一元一次方程的应用、总价=单价×数量
【点评】
本题是典型的一元一次方程实际应用类题目，解题的关键是准确梳理不同物品的数量、单价与总费用之间的等量关系，合理设未知数列式求解，掌握此类题型能够有效提升将数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.8
8. 一个密封的瓶子里装着一些水(如图5-3-5所示),已知瓶子的底面积为$10\ \mathrm{cm}^2$,瓶子的容积是(
图5-3-5
A.$80\ \mathrm{cm}^3$
B.$70\ \mathrm{cm}^3$
C.$60\ \mathrm{cm}^3$
D.$50\ \mathrm{cm}^3$
C
)。图5-3-5
A.$80\ \mathrm{cm}^3$
B.$70\ \mathrm{cm}^3$
C.$60\ \mathrm{cm}^3$
D.$50\ \mathrm{cm}^3$
答案
8.C
解析
【分析】
要计算密封瓶的容积，可利用倒置前后水的体积不变的特点，用转化法求解：首先正放时水为规则圆柱，可直接计算水的体积；倒置后空置的部分也为规则圆柱，计算出空置部分的体积，两者相加就是瓶子的总容积。已知瓶子底面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，正放时水高$4\ \mathrm{cm}$，瓶子总高度为$7\ \mathrm{cm}$，倒置时水高$5\ \mathrm{cm}$，由此可算出空置部分的高度为$7-5=2\ \mathrm{cm}$。
【解析】
解：根据圆柱体积公式$V = S× h$：
1. 计算水的体积：
$V_{\mathrm{水}} = 10\mathrm{cm}^2 × 4\mathrm{cm} = 40\mathrm{cm}^3$
2. 计算倒置后空置部分的高度：
$h_{\mathrm{空}} = 7\mathrm{cm} - 5\mathrm{cm} = 2\mathrm{cm}$
3. 计算空置部分的体积：
$V_{\mathrm{空}} = 10\mathrm{cm}^2 × 2\mathrm{cm} = 20\mathrm{cm}^3$
4. 计算瓶子总容积：
$V = V_{\mathrm{水}} + V_{\mathrm{空}} = 40\mathrm{cm}^3 + 20\mathrm{cm}^3 = 60\mathrm{cm}^3$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算、容积计算、转化法解题
【点评】
本题是不规则容器容积计算的典型题型，核心是抓住液体体积不变的特点，将不规则的空置部分转化为规则的圆柱体进行计算，化繁为简，解题时要注意找准各部分对应的高度。
【难度系数】
0.7
要计算密封瓶的容积，可利用倒置前后水的体积不变的特点，用转化法求解：首先正放时水为规则圆柱，可直接计算水的体积；倒置后空置的部分也为规则圆柱，计算出空置部分的体积，两者相加就是瓶子的总容积。已知瓶子底面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，正放时水高$4\ \mathrm{cm}$，瓶子总高度为$7\ \mathrm{cm}$，倒置时水高$5\ \mathrm{cm}$，由此可算出空置部分的高度为$7-5=2\ \mathrm{cm}$。
【解析】
解：根据圆柱体积公式$V = S× h$：
1. 计算水的体积：
$V_{\mathrm{水}} = 10\mathrm{cm}^2 × 4\mathrm{cm} = 40\mathrm{cm}^3$
2. 计算倒置后空置部分的高度：
$h_{\mathrm{空}} = 7\mathrm{cm} - 5\mathrm{cm} = 2\mathrm{cm}$
3. 计算空置部分的体积：
$V_{\mathrm{空}} = 10\mathrm{cm}^2 × 2\mathrm{cm} = 20\mathrm{cm}^3$
4. 计算瓶子总容积：
$V = V_{\mathrm{水}} + V_{\mathrm{空}} = 40\mathrm{cm}^3 + 20\mathrm{cm}^3 = 60\mathrm{cm}^3$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱体积计算、容积计算、转化法解题
【点评】
本题是不规则容器容积计算的典型题型，核心是抓住液体体积不变的特点，将不规则的空置部分转化为规则的圆柱体进行计算，化繁为简，解题时要注意找准各部分对应的高度。
【难度系数】
0.7
9. 如今越来越多的人使用某软件钱包，把该软件钱包账户里的钱转到银行卡叫作提现。
该软件钱包提现的手续费收取标准如下：
a. 每位用户终身享受1 000元免费提现额度，即不超过1 000元不会收取提现手续费；
b. 超出1 000元免费提现额度的部分按银行费率收取手续费，费率为0.1%，每笔最少收0.1元。
如：王阿姨第一次用该软件钱包提现1 200元，需支付手续费$(1200 - 1000)×0.1\% = 0.2$(元)，
第二次提现800元，则需支付手续费$800×0.1\% = 0.8$(元)。
(1)小深使用该软件钱包至今，共从中提现两次，提现金额均为1 900元，小深这两次提现共需支付手续费
(2)小圳使用该软件钱包至今，共从中提现三次，每次支付的手续费如表5-3-2所示：
表5-3-2
①小圳第三次的提现金额为
②若小圳第三次提现金额恰好等于前两次提现相差的金额，求小圳第一次的提现金额。
该软件钱包提现的手续费收取标准如下：
a. 每位用户终身享受1 000元免费提现额度，即不超过1 000元不会收取提现手续费；
b. 超出1 000元免费提现额度的部分按银行费率收取手续费，费率为0.1%，每笔最少收0.1元。
如：王阿姨第一次用该软件钱包提现1 200元，需支付手续费$(1200 - 1000)×0.1\% = 0.2$(元)，
第二次提现800元，则需支付手续费$800×0.1\% = 0.8$(元)。
(1)小深使用该软件钱包至今，共从中提现两次，提现金额均为1 900元，小深这两次提现共需支付手续费
2.8
元。(2)小圳使用该软件钱包至今，共从中提现三次，每次支付的手续费如表5-3-2所示：
表5-3-2
①小圳第三次的提现金额为
1 400
元；②若小圳第三次提现金额恰好等于前两次提现相差的金额，求小圳第一次的提现金额。
答案
9. 解:(1)2.8
解析:$(1\ 900×2-1\ 000)×0.1\%=2\ 800×0.1\%=2.8$(元),
所以小深这两次提现共需支付手续费2.8元。
(2)1 400 解析:①$1.4÷0.1\%=1\ 400$(元),
所以小圳第三次的提现金额为1 400元。
②设小圳第一次的提现金额为$x$元,
因为小圳第三次的提现金额恰好等于前两次提现相差的金额,
所以小圳第二次的提现金额为$(x+1\ 400)$元。
根据题意得$0.1\%(x+1\ 400+x-1\ 000)=1.2$,
解得$x=400$,
所以小圳第一次的提现金额为400元。
解析:$(1\ 900×2-1\ 000)×0.1\%=2\ 800×0.1\%=2.8$(元),
所以小深这两次提现共需支付手续费2.8元。
(2)1 400 解析:①$1.4÷0.1\%=1\ 400$(元),
所以小圳第三次的提现金额为1 400元。
②设小圳第一次的提现金额为$x$元,
因为小圳第三次的提现金额恰好等于前两次提现相差的金额,
所以小圳第二次的提现金额为$(x+1\ 400)$元。
根据题意得$0.1\%(x+1\ 400+x-1\ 000)=1.2$,
解得$x=400$,
所以小圳第一次的提现金额为400元。
解析
【分析】
（1）第一问需先明确每位用户终身仅享有1000元免费提现额度，计算两次提现的总金额后，减去1000元免费额度，剩余需收费部分乘以费率0.1%即可得到总手续费。
（2）① 第二问第①小题，由第一次手续费为0可知第一次提现未占用完免费额度，第二次已产生手续费说明免费额度已用完，因此第三次提现金额全部按0.1%计费，用手续费除以费率即可求出提现金额。
② 第②小题先设第一次提现金额为x元，由第一次手续费为0可得x≤1000；再结合第三次提现金额是前两次的差额，可推出第二次提现金额的表达式；最后根据第二次的手续费为1.2元建立一元一次方程，求解后验证解是否符合题意即可。
【解析】
(1) 两次提现总金额为$1900 × 2 = 3800$元
扣除1000元免费提现额度后，需计费的金额为$3800 - 1000 = 2800$元
总手续费为$2800 × 0.1\% = 2.8$元
(2) ① 第三次提现时免费额度已全部用完，因此提现金额 = 手续费÷费率，即：
$1.4 ÷ 0.1\% = 1400$元
② 设小圳第一次的提现金额为$x$元，由第一次手续费为0可知$x ≤ 1000$。
已知第三次提现金额1400元是前两次提现的差额，且第二次提现需支付手续费，说明第二次提现金额大于第一次，因此第二次提现金额为$(x + 1400)$元。
根据第二次手续费为1.2元，可列方程：
$0.1\% × (x + x + 1400 - 1000) = 1.2$
化简得：$0.001(2x + 400) = 1.2$
两边同时除以0.001：$2x + 400 = 1200$
解得：$x = 400$，满足$x ≤ 1000$，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{2.8}$
(2) ① $\boxed{1400}$；② $\boxed{400}$元
【知识点】
分段计费问题，百分数计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的提现收费场景出题，解题的核心是理解终身仅1000元免费额度的规则，理清每次提现时免费额度的使用情况，找准等量关系列方程即可解决问题，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需先明确每位用户终身仅享有1000元免费提现额度，计算两次提现的总金额后，减去1000元免费额度，剩余需收费部分乘以费率0.1%即可得到总手续费。
（2）① 第二问第①小题，由第一次手续费为0可知第一次提现未占用完免费额度，第二次已产生手续费说明免费额度已用完，因此第三次提现金额全部按0.1%计费，用手续费除以费率即可求出提现金额。
② 第②小题先设第一次提现金额为x元，由第一次手续费为0可得x≤1000；再结合第三次提现金额是前两次的差额，可推出第二次提现金额的表达式；最后根据第二次的手续费为1.2元建立一元一次方程，求解后验证解是否符合题意即可。
【解析】
(1) 两次提现总金额为$1900 × 2 = 3800$元
扣除1000元免费提现额度后，需计费的金额为$3800 - 1000 = 2800$元
总手续费为$2800 × 0.1\% = 2.8$元
(2) ① 第三次提现时免费额度已全部用完，因此提现金额 = 手续费÷费率，即：
$1.4 ÷ 0.1\% = 1400$元
② 设小圳第一次的提现金额为$x$元，由第一次手续费为0可知$x ≤ 1000$。
已知第三次提现金额1400元是前两次提现的差额，且第二次提现需支付手续费，说明第二次提现金额大于第一次，因此第二次提现金额为$(x + 1400)$元。
根据第二次手续费为1.2元，可列方程：
$0.1\% × (x + x + 1400 - 1000) = 1.2$
化简得：$0.001(2x + 400) = 1.2$
两边同时除以0.001：$2x + 400 = 1200$
解得：$x = 400$，满足$x ≤ 1000$，符合题意。
【答案】
(1) $\boxed{2.8}$
(2) ① $\boxed{1400}$；② $\boxed{400}$元
【知识点】
分段计费问题，百分数计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活中的提现收费场景出题，解题的核心是理解终身仅1000元免费额度的规则，理清每次提现时免费额度的使用情况，找准等量关系列方程即可解决问题，贴近生活实用性较强。
【难度系数】
0.7
