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8. 某校开展“书香校园”读书活动，七(1)班推荐了一本科普读物。小明在阅读过程中发现：第一天读的页数比全书的页数的$\frac{1}{3}$多10页，第二天读的页数比全书的页数的$\frac{1}{4}$少5页，两天恰好一共读了110页。设全书的页数为$x$页，请列出方程并求出$x$的值。
答案
8. 解:根据题意,得$(\frac{1}{3}x+10)+(\frac{1}{4}x-5)=110$,
解得$x=180$,
所以全书的页数为180页。
解得$x=180$,
所以全书的页数为180页。
解析
【分析】
解题时首先要找到题干中的核心等量关系：第一天读的页数+第二天读的页数=两天一共读的110页。接下来用含x的式子分别表示两天的阅读页数：全书共x页，第一天读的页数是全书的$\frac{1}{3}$多10页，即$\frac{1}{3}x+10$；第二天读的页数是全书的$\frac{1}{4}$少5页，即$\frac{1}{4}x-5$。将两个表达式相加等于110即可列出方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算就能得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程：
$(\frac{1}{3}x + 10) + (\frac{1}{4}x - 5) = 110$
去括号得：$\frac{1}{3}x + 10 + \frac{1}{4}x - 5 = 110$
合并同类项得：$\frac{7}{12}x + 5 = 110$
移项得：$\frac{7}{12}x = 110 - 5$
计算得：$\frac{7}{12}x = 105$
系数化为1得：$x = 105 × \frac{12}{7} = 180$
【答案】
所列方程为$(\frac{1}{3}x + 10) + (\frac{1}{4}x - 5) = 110$，$x$的值为180。
【知识点】
列一元一次方程；一元一次方程的解法；和差倍分问题
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系，将文字描述转化为数学表达式，计算时注意分数运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要找到题干中的核心等量关系：第一天读的页数+第二天读的页数=两天一共读的110页。接下来用含x的式子分别表示两天的阅读页数：全书共x页，第一天读的页数是全书的$\frac{1}{3}$多10页，即$\frac{1}{3}x+10$；第二天读的页数是全书的$\frac{1}{4}$少5页，即$\frac{1}{4}x-5$。将两个表达式相加等于110即可列出方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算就能得到x的值。
【解析】
解：根据题意列方程：
$(\frac{1}{3}x + 10) + (\frac{1}{4}x - 5) = 110$
去括号得：$\frac{1}{3}x + 10 + \frac{1}{4}x - 5 = 110$
合并同类项得：$\frac{7}{12}x + 5 = 110$
移项得：$\frac{7}{12}x = 110 - 5$
计算得：$\frac{7}{12}x = 105$
系数化为1得：$x = 105 × \frac{12}{7} = 180$
【答案】
所列方程为$(\frac{1}{3}x + 10) + (\frac{1}{4}x - 5) = 110$，$x$的值为180。
【知识点】
列一元一次方程；一元一次方程的解法；和差倍分问题
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题关键是准确提取题干中的等量关系，将文字描述转化为数学表达式，计算时注意分数运算的准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
二、拓展性作业
9. 小华解关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$，在去分母时，方程右边的$-1$没有乘6，求得的方程的解为 $ x = 2 $。
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求原方程的解。
9. 小华解关于 $ x $ 的方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$，在去分母时，方程右边的$-1$没有乘6，求得的方程的解为 $ x = 2 $。
(1)求 $ a $ 的值；
(2)求原方程的解。
答案
9. 解:(1)因为在去分母时,方程右边的$-1$没有乘6,求得的方程的解为$x=2$,
所以方程$2(2x-1)=3(x+a)-1$的解为$x=2$,
所以$a=\frac{1}{3}$。
(2)方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$两边同时乘6,
得$2(2x-1)=3(x+a)-6$,
化简得$x=3a-4$。
因为$a=\frac{1}{3}$,
所以$x=-3$,
所以原方程的解为$x=-3$。
所以方程$2(2x-1)=3(x+a)-1$的解为$x=2$,
所以$a=\frac{1}{3}$。
(2)方程$\frac{2x-1}{3}=\frac{x+a}{2}-1$两边同时乘6,
得$2(2x-1)=3(x+a)-6$,
化简得$x=3a-4$。
因为$a=\frac{1}{3}$,
所以$x=-3$,
所以原方程的解为$x=-3$。
解析
【分析】
(1) 求a的值时，首先明确小华的错误操作：去分母时仅方程右边的-1未乘6，先写出小华去分母后得到的错误方程，已知x=2是这个错误方程的解，将x=2代入错误方程即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。
(2) 求原方程的解时，把第(1)问求出的a的值代入原方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 由题意可知，小华去分母后得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
因为$x=2$是该错误方程的解，将$x=2$代入上式：
$2×(2×2 - 1)=3×(2 + a)-1$
计算左边得$2×3=6$，因此：
$6=6+3a-1$
整理得$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
(2) 将$a=\frac{1}{3}$代入原方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$，方程两边同时乘6去分母，得：
$2(2x-1)=3(x+a)-6$
化简得$x=3a-4$，把$a=\frac{1}{3}$代入得：
$x=3×\frac{1}{3}-4=-3$
【答案】
(1) $a=\frac{1}{3}$；(2) 原方程的解为$x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解类题型，核心是利用错误操作得到的解反求参数，易错点是去分母时漏乘不含分母的项，解题时要注意区分错误变形后的方程和原方程的差异，掌握解一元一次方程的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值时，首先明确小华的错误操作：去分母时仅方程右边的-1未乘6，先写出小华去分母后得到的错误方程，已知x=2是这个错误方程的解，将x=2代入错误方程即可得到关于a的一元一次方程，求解就能得到a的值。
(2) 求原方程的解时，把第(1)问求出的a的值代入原方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）计算，就能得到原方程的正确解。
【解析】
(1) 由题意可知，小华去分母后得到的错误方程为：
$2(2x-1)=3(x+a)-1$
因为$x=2$是该错误方程的解，将$x=2$代入上式：
$2×(2×2 - 1)=3×(2 + a)-1$
计算左边得$2×3=6$，因此：
$6=6+3a-1$
整理得$3a=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。
(2) 将$a=\frac{1}{3}$代入原方程$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{2} - 1$，方程两边同时乘6去分母，得：
$2(2x-1)=3(x+a)-6$
化简得$x=3a-4$，把$a=\frac{1}{3}$代入得：
$x=3×\frac{1}{3}-4=-3$
【答案】
(1) $a=\frac{1}{3}$；(2) 原方程的解为$x=-3$
【知识点】
一元一次方程的解，解一元一次方程，去分母法则
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解类题型，核心是利用错误操作得到的解反求参数，易错点是去分母时漏乘不含分母的项，解题时要注意区分错误变形后的方程和原方程的差异，掌握解一元一次方程的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
10. 我们把解相同的两个方程称为同解方程。
例如:方程$2x=6$与方程$4x=12$的解都为$x=3$，所以它们为同解方程。
(1)若方程$2x - 3 = 11$与关于$x$的方程$4x + 5 = 3k$是同解方程，求$k$的值；
(2)若关于$x$的方程$x - 2(x - m) = 4$和$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$是同解方程，求$m$的值。
例如:方程$2x=6$与方程$4x=12$的解都为$x=3$，所以它们为同解方程。
(1)若方程$2x - 3 = 11$与关于$x$的方程$4x + 5 = 3k$是同解方程，求$k$的值；
(2)若关于$x$的方程$x - 2(x - m) = 4$和$\frac{x + m}{2} - \frac{x}{3} = 1$是同解方程，求$m$的值。
答案
10. 解:(1)由$2x-3=11$,解得$x=7$。
因为方程$2x-3=11$与关于$x$的方程$4x+5=3k$是同解方程,
所以$4×7+5=3k$,解得$k=11$。
(2)因为$x-2(x-m)=4$,所以$x=2m-4$。
因为关于$x$的方程$x-2(x-m)=4$和$\frac{x+m}{2}-\frac{x}{3}=1$是同解方程,
所以$\frac{2m-4+m}{2}-\frac{2m-4}{3}=1$,解得$m=2$。
因为方程$2x-3=11$与关于$x$的方程$4x+5=3k$是同解方程,
所以$4×7+5=3k$,解得$k=11$。
(2)因为$x-2(x-m)=4$,所以$x=2m-4$。
因为关于$x$的方程$x-2(x-m)=4$和$\frac{x+m}{2}-\frac{x}{3}=1$是同解方程,
所以$\frac{2m-4+m}{2}-\frac{2m-4}{3}=1$,解得$m=2$。
解析
【分析】
本题围绕同解方程的定义展开求解，解题思路清晰：
(1) 同解方程的解完全相同，因此先求解不含参数的方程$2x-3=11$得到$x$的取值，再把$x$的值代入含参数$k$的方程$4x+5=3k$，即可得到只含$k$的一元一次方程，求解即可得$k$的值。
(2) 两个方程都含有参数$m$，先将第一个方程中的$x$用含$m$的代数式表示，再根据同解的性质把该代数式代入第二个方程，得到只含$m$的一元一次方程，求解即可得$m$的值。
【解析】
(1) 解方程$2x-3=11$：
移项得$2x=11+3$，
合并同类项得$2x=14$，
系数化为1得$x=7$。
因为两方程是同解方程，所以$x=7$也是$4x+5=3k$的解，代入得：
$4×7+5=3k$，
计算得$33=3k$，
解得$k=11$。
(2) 解方程$x-2(x-m)=4$：
去括号得$x-2x+2m=4$，
合并同类项得$-x+2m=4$，
移项得$x=2m-4$。
因为两方程是同解方程，把$x=2m-4$代入$\frac{x+m}{2}-\frac{x}{3}=1$得：
$\frac{2m-4+m}{2}-\frac{2m-4}{3}=1$，
化简得$\frac{3m-4}{2}-\frac{2m-4}{3}=1$，
去分母（两边同乘6）得$3(3m-4)-2(2m-4)=6$，
去括号得$9m-12-4m+8=6$，
合并同类项得$5m-4=6$，
移项得$5m=10$，
解得$m=2$。
【答案】
(1) $k=11$；(2) $m=2$
【知识点】
同解方程的定义，解一元一次方程，代入法求参数
【点评】
本题重点考查同解方程性质的应用，核心是抓住“解相同”的特点，通过代入消元的思路求解未知参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键，属于一元一次方程章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
本题围绕同解方程的定义展开求解，解题思路清晰：
(1) 同解方程的解完全相同，因此先求解不含参数的方程$2x-3=11$得到$x$的取值，再把$x$的值代入含参数$k$的方程$4x+5=3k$，即可得到只含$k$的一元一次方程，求解即可得$k$的值。
(2) 两个方程都含有参数$m$，先将第一个方程中的$x$用含$m$的代数式表示，再根据同解的性质把该代数式代入第二个方程，得到只含$m$的一元一次方程，求解即可得$m$的值。
【解析】
(1) 解方程$2x-3=11$：
移项得$2x=11+3$，
合并同类项得$2x=14$，
系数化为1得$x=7$。
因为两方程是同解方程，所以$x=7$也是$4x+5=3k$的解，代入得：
$4×7+5=3k$，
计算得$33=3k$，
解得$k=11$。
(2) 解方程$x-2(x-m)=4$：
去括号得$x-2x+2m=4$，
合并同类项得$-x+2m=4$，
移项得$x=2m-4$。
因为两方程是同解方程，把$x=2m-4$代入$\frac{x+m}{2}-\frac{x}{3}=1$得：
$\frac{2m-4+m}{2}-\frac{2m-4}{3}=1$，
化简得$\frac{3m-4}{2}-\frac{2m-4}{3}=1$，
去分母（两边同乘6）得$3(3m-4)-2(2m-4)=6$，
去括号得$9m-12-4m+8=6$，
合并同类项得$5m-4=6$，
移项得$5m=10$，
解得$m=2$。
【答案】
(1) $k=11$；(2) $m=2$
【知识点】
同解方程的定义，解一元一次方程，代入法求参数
【点评】
本题重点考查同解方程性质的应用，核心是抓住“解相同”的特点，通过代入消元的思路求解未知参数，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键，属于一元一次方程章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
