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基础知识·预习
问题1 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当x取何值时，y的值最大(或最小)？
问题2 学习过的图形面积公式有哪些？
问题1 对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，当x取何值时，y的值最大(或最小)？
问题2 学习过的图形面积公式有哪些？
答案
1. 当a＞0时，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最小值，最小值为$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；当a＜0时，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值，最大值为$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 常见的图形面积公式有：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长，三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$，平行四边形面积=底×高，梯形面积=$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，圆的面积=πr²等。
2. 常见的图形面积公式有：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长，三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$，平行四边形面积=底×高，梯形面积=$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，圆的面积=πr²等。
解析
【分析】
问题1：解决二次函数最值问题，首先回忆二次函数的图像性质：二次函数图像是抛物线，开口方向由二次项系数a的符号决定，抛物线顶点是函数的最值点。解题时先分a＞0和a＜0两种情况判断开口方向，再代入顶点横坐标公式得到取最值时的x值，最后代入顶点纵坐标公式得到最值即可。
问题2：本题是对已学平面图形面积公式的梳理回忆，只需将小学到初中阶段学过的常见平面图形的面积公式逐一罗列即可，是后续解决面积类应用题的基础。
【解析】
问题1解答：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像为抛物线：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值，顶点为最低点，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最小值，最小值为$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，顶点为最高点，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，最大值为$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
问题2解答：
学习过的常见图形面积公式有：
长方形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$
平行四边形面积=底×高
梯形面积=$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$
圆的面积=$π r^2$（$r$为圆的半径）
【答案】
1. 当a＞0时，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最小值，最小值为$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；当a＜0时，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值，最大值为$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 常见的图形面积公式有：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长，三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$，平行四边形面积=底×高，梯形面积=$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，圆的面积=πr²等。
【知识点】
二次函数的最值、常见图形面积公式
【点评】
本题属于基础预习类题目，是求解实际生活中最大高度、最大面积类应用题的前置知识，熟练掌握上述内容才能顺利解决后续的综合性应用问题。
【难度系数】
0.9
问题1：解决二次函数最值问题，首先回忆二次函数的图像性质：二次函数图像是抛物线，开口方向由二次项系数a的符号决定，抛物线顶点是函数的最值点。解题时先分a＞0和a＜0两种情况判断开口方向，再代入顶点横坐标公式得到取最值时的x值，最后代入顶点纵坐标公式得到最值即可。
问题2：本题是对已学平面图形面积公式的梳理回忆，只需将小学到初中阶段学过的常见平面图形的面积公式逐一罗列即可，是后续解决面积类应用题的基础。
【解析】
问题1解答：
二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图像为抛物线：
1. 当$a＞0$时，抛物线开口向上，函数有最小值，顶点为最低点，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最小值，最小值为$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；
2. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，函数有最大值，顶点为最高点，因此当$x=-\frac{b}{2a}$时，$y$取得最大值，最大值为$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
问题2解答：
学习过的常见图形面积公式有：
长方形面积=长×宽
正方形面积=边长×边长
三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$
平行四边形面积=底×高
梯形面积=$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$
圆的面积=$π r^2$（$r$为圆的半径）
【答案】
1. 当a＞0时，抛物线开口向上，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最小值，最小值为$y_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a}$；当a＜0时，抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，y取得最大值，最大值为$y_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a}$。
2. 常见的图形面积公式有：长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长，三角形面积=$\frac{1}{2}×底×高$，平行四边形面积=底×高，梯形面积=$\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，圆的面积=πr²等。
【知识点】
二次函数的最值、常见图形面积公式
【点评】
本题属于基础预习类题目，是求解实际生活中最大高度、最大面积类应用题的前置知识，熟练掌握上述内容才能顺利解决后续的综合性应用问题。
【难度系数】
0.9
【典型例题1】如图，
一个圆形喷水池的池中心竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷水头向外喷水，水柱在各个方向上均沿相同的抛物线路径落下，水柱的高度$y$(单位:m)与离池中心的水平距离$x$(单位:m)之间的解析式是$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}(x＞0)$。求水柱的最大高度。
【解】对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1$时，$y$有最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{-5 - 4}{-4}=\frac{9}{4}$。
因此，水柱的最大高度是$\frac{9}{4}$ m。
规律方法 用函数探究实际问题中的最值问题，一种是列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是建立二次函数模型，列出二次函数解析式，并变形成顶点式，函数最值应结合自变量的取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值。
【即学即练】
1. 在距离地面的高度为$h_0$(单位:m)处以初速度$v_0$(单位:m/s)竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度$h$(单位:m)与运动时间$t$(单位:s)之间的关系可近似用$h=h_0 + v_0t -5t^2$表示。若小明将一个小球从距离地面2 m的高度处以10 m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球能达到的离地面的最大高度为
一个圆形喷水池的池中心竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷水头向外喷水，水柱在各个方向上均沿相同的抛物线路径落下，水柱的高度$y$(单位:m)与离池中心的水平距离$x$(单位:m)之间的解析式是$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}(x＞0)$。求水柱的最大高度。【解】对于二次函数$y=-x^2+2x+\frac{5}{4}$，当$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{-2}=1$时，$y$有最大值$\frac{4ac - b^2}{4a}=\frac{-5 - 4}{-4}=\frac{9}{4}$。
因此，水柱的最大高度是$\frac{9}{4}$ m。
规律方法 用函数探究实际问题中的最值问题，一种是列出一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是建立二次函数模型，列出二次函数解析式，并变形成顶点式，函数最值应结合自变量的取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值。
【即学即练】
1. 在距离地面的高度为$h_0$(单位:m)处以初速度$v_0$(单位:m/s)竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度$h$(单位:m)与运动时间$t$(单位:s)之间的关系可近似用$h=h_0 + v_0t -5t^2$表示。若小明将一个小球从距离地面2 m的高度处以10 m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球能达到的离地面的最大高度为
7
m.答案
1. 7
解析
【分析】
首先根据题目给出的高度与运动时间的关系式，将已知的初始高度$h_0=2\mathrm{m}$、初速度$v_0=10\mathrm{m/s}$代入关系式，得到$h$关于$t$的二次函数解析式。由于二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处$h$取得最大值，再根据二次函数求最值的方法计算最大值即可，注意验证顶点横坐标是否符合实际运动时间的取值范围。
【解析】
解：由题意得$h_0=2$，$v_0=10$，代入公式$h=h_0 + v_0t -5t^2$可得：
$h=-5t^2+10t+2$
该函数为二次函数，且$a=-5＜0$，因此$h$存在最大值。
计算顶点横坐标：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-5)}=1$，$t=1＞0$，符合运动时间的实际意义。
将$t=1$代入解析式得：
$h=-5×1^2+10×1+2=7$
【答案】
7
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的应用，解题关键是先代入已知参数得到正确的二次函数解析式，再结合二次函数的性质求最值，求解过程中要注意判断自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的高度与运动时间的关系式，将已知的初始高度$h_0=2\mathrm{m}$、初速度$v_0=10\mathrm{m/s}$代入关系式，得到$h$关于$t$的二次函数解析式。由于二次项系数为负，函数图象开口向下，在顶点处$h$取得最大值，再根据二次函数求最值的方法计算最大值即可，注意验证顶点横坐标是否符合实际运动时间的取值范围。
【解析】
解：由题意得$h_0=2$，$v_0=10$，代入公式$h=h_0 + v_0t -5t^2$可得：
$h=-5t^2+10t+2$
该函数为二次函数，且$a=-5＜0$，因此$h$存在最大值。
计算顶点横坐标：$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2×(-5)}=1$，$t=1＞0$，符合运动时间的实际意义。
将$t=1$代入解析式得：
$h=-5×1^2+10×1+2=7$
【答案】
7
【知识点】
二次函数的最值，二次函数的实际应用
【点评】
本题是二次函数在实际运动场景中的应用，解题关键是先代入已知参数得到正确的二次函数解析式，再结合二次函数的性质求最值，求解过程中要注意判断自变量的取值是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
