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9.如图,一次函数$y=x-3$的图象与二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象交于点$A,B$,且点$A$在$x$轴上,则关于$x$的不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$的解集为
$x＜0$或$x＞3$
.答案
9. $x＜0$或$x＞3$
解析
【分析】
解题时先将所求不等式变形，转化为已知的两个函数值的大小比较问题。首先把不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项得到$ax^2+bx+c＞x-3$，即二次函数值大于一次函数值时x的取值范围就是不等式的解集。接下来先求两个函数的交点坐标：利用点A在x轴上的特征，代入一次函数求出A点横坐标；再结合图象可知两函数交于y轴上的B点，代入x=0求出B点横坐标，得到两个交点的横坐标后，结合二次函数开口向上的图象特征，就能直接确定解集。
【解析】
1. 不等式变形：
将$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项整理得$ax^2+bx+c ＞ x-3$，该不等式的解集即二次函数$y=ax^2+bx+c$图象在一次函数$y=x-3$图象上方时对应的x的取值范围。
2. 求交点A的坐标：
点A在x轴上且在一次函数$y=x-3$上，令$y=0$，得$0=x-3$，解得$x=3$，即$x=3$时两个函数值相等。
3. 求交点B的坐标：
由图象可知两函数交于y轴上的B点，令$x=0$，代入$y=x-3$得$y=-3$，即$x=0$时两个函数值相等。
4. 结合图象确定解集：
二次函数开口向上，观察图象可得，当$x＜0$或$x＞3$时，二次函数图象在一次函数图象上方，满足$ax^2+bx+c ＞ x-3$，即原不等式成立。
【答案】
$x＜0$或$x＞3$
【知识点】
函数图象与不等式、一次函数与二次函数综合
【点评】
本题的关键是将陌生不等式转化为熟悉的两个函数值的大小比较问题，结合图象交点和开口方向直接得到解集，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先将所求不等式变形，转化为已知的两个函数值的大小比较问题。首先把不等式$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项得到$ax^2+bx+c＞x-3$，即二次函数值大于一次函数值时x的取值范围就是不等式的解集。接下来先求两个函数的交点坐标：利用点A在x轴上的特征，代入一次函数求出A点横坐标；再结合图象可知两函数交于y轴上的B点，代入x=0求出B点横坐标，得到两个交点的横坐标后，结合二次函数开口向上的图象特征，就能直接确定解集。
【解析】
1. 不等式变形：
将$ax^2+(b-1)x+c+3＞0$移项整理得$ax^2+bx+c ＞ x-3$，该不等式的解集即二次函数$y=ax^2+bx+c$图象在一次函数$y=x-3$图象上方时对应的x的取值范围。
2. 求交点A的坐标：
点A在x轴上且在一次函数$y=x-3$上，令$y=0$，得$0=x-3$，解得$x=3$，即$x=3$时两个函数值相等。
3. 求交点B的坐标：
由图象可知两函数交于y轴上的B点，令$x=0$，代入$y=x-3$得$y=-3$，即$x=0$时两个函数值相等。
4. 结合图象确定解集：
二次函数开口向上，观察图象可得，当$x＜0$或$x＞3$时，二次函数图象在一次函数图象上方，满足$ax^2+bx+c ＞ x-3$，即原不等式成立。
【答案】
$x＜0$或$x＞3$
【知识点】
函数图象与不等式、一次函数与二次函数综合
【点评】
本题的关键是将陌生不等式转化为熟悉的两个函数值的大小比较问题，结合图象交点和开口方向直接得到解集，考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
10.已知$m,n$是方程$x^2 -6x +5=0$的两个实数根，且$m ＜ n$，抛物线$y=-x^2 +bx +c$经过点$A(m,0),B(0,n)$，如图所示.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式.
(2)设(1)中的抛物线与$x$轴的另一个公共点为$C$，抛物线的顶点为$D$，试求出点$C,D$的坐标和$△ BCD$的面积.
(3)若$P$是线段$OC$上的一点(不与端点重合)，过点$P$作$PH ⊥ x$轴，与抛物线交于点$H$，$BC$所在直线把$△ PCH$分成面积之比为$2:3$的两部分，请求出点$P$的坐标.
(1)求这条抛物线对应的函数解析式.
(2)设(1)中的抛物线与$x$轴的另一个公共点为$C$，抛物线的顶点为$D$，试求出点$C,D$的坐标和$△ BCD$的面积.
(3)若$P$是线段$OC$上的一点(不与端点重合)，过点$P$作$PH ⊥ x$轴，与抛物线交于点$H$，$BC$所在直线把$△ PCH$分成面积之比为$2:3$的两部分，请求出点$P$的坐标.
答案
10.【解】(1)解方程$x^2 -6x +5=0$,得$x_1=5$,$x_2=1$.
由$m＜n$,可知$m=1$,$n=5$,
$\therefore$点$A$,$B$的坐标分别为$(1,0)$,$(0,5)$.
将$(1,0)$,$(0,5)$分别代入$y=-x^2 +bx +c$,得$\begin{cases}-1 +b +c=0,\\c=5.\end{cases}$ 解这个方程组,得$\begin{cases}b=-4,\\c=5.\end{cases}$
$\therefore$抛物线对应的函数解析式为$y=-x^2 -4x +5$.
(2)对于$y=-x^2 -4x +5$,令$y=0$,得$-x^2 -4x +5=0$.解这个方程,得$x_1=-5$,$x_2=1$.
$\therefore$点$C$的坐标为$(-5,0)$.
由顶点坐标公式计算得点$D$的坐标为$(-2,9)$.
如图,过点$D$作$DM⊥ x$轴,垂足为$M$.
则$S_{△ DMC}=\dfrac{1}{2}×9×|-5 -(-2)|=\dfrac{27}{2}$,$S_{\mathrm{梯形}MDBO}=\dfrac{1}{2}×2×(9+5)=14$,$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×5×5=\dfrac{25}{2}$.
$\therefore S_{△ BCD}=S_{\mathrm{梯形}MDBO}+S_{△ DMC}-S_{△ BOC}=14+\dfrac{27}{2}-\dfrac{25}{2}=15$.
(3)设点$P$的坐标为$(a,0)(-5＜a＜0)$.
$\because B(0,5)$,$C(-5,0)$,
$\therefore BC$所在直线对应的函数解析式为$y=x+5$.
设$PH$与$BC$所在直线的交点为$E$,点$E$的坐标为$(a,a+5)$,点$H$的坐标为$(a,-a^2 -4a +5)$.
$\because BC$所在直线把$△ PCH$分成面积之比为$2:3$的两部分,
$\therefore EH=\dfrac{3}{2}EP$或$EH=\dfrac{2}{3}EP$.
①当$EH=\dfrac{3}{2}EP$时,$(-a^2 -4a +5)-(a+5)=\dfrac{3}{2}(a+5)$.
解这个方程,得$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=-5$(舍去).
②当$EH=\dfrac{2}{3}EP$时,$(-a^2 -4a +5)-(a+5)=\dfrac{2}{3}(a+5)$.
解这个方程,得$a=-\dfrac{2}{3}$或$a=-5$(舍去).
$\therefore$点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{2}{3},0)$.
解析
【分析】
(1) 首先求解一元二次方程$x^2-6x+5=0$，结合$m＜n$的条件得到$m、n$的值，确定点$A、B$的坐标，再将两点坐标代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组求出系数$b、c$，即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 求抛物线与$x$轴的交点$C$，只需令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到除点$A$外的根，即为点$C$的横坐标；顶点$D$的坐标可通过顶点坐标公式直接计算得到。求$△ BCD$的面积时采用割补法，过$D$作$DM⊥ x$轴，将图形拆分为梯形$MDBO$和$△ DMC$，减去$△ BOC$的面积即可得到$△ BCD$的面积。
(3) 先利用待定系数法求出直线$BC$的解析式，设点$P$的坐标为$(a,0)$（$-5＜a＜0$），则$PH$与直线$BC$的交点$E$、与抛物线的交点$H$的横坐标均为$a$，分别代入对应解析式得到两点纵坐标。由于直线$BC$分割得到的两个三角形同高，面积比等于底$EP$与$EH$的比，分面积比为$2:3$和$3:2$两种情况列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到点$P$的坐标。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -6x +5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=1$。
由$m＜n$，得$m=1$，$n=5$，因此点$A(1,0)$，$B(0,5)$。
将$A(1,0)$、$B(0,5)$代入$y=-x^2 +bx +c$，得：
$\begin{cases}-1 +b +c=0\\c=5\end{cases}$
将$c=5$代入第一个方程，解得$b=-4$，因此抛物线解析式为$y=-x^2 -4x +5$。
(2) 令$y=-x^2 -4x +5$中$y=0$，得$-x^2 -4x +5=0$，整理得$x^2+4x-5=0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=1$，因此点$C$的坐标为$(-5,0)$。
根据顶点坐标公式，对于$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，代入解析式得$y=-(-2)^2-4×(-2)+5=9$，因此顶点$D(-2,9)$。
过点$D$作$DM⊥ x$轴，垂足为$M$。
则$S_{△ DMC}=\dfrac{1}{2}×9×|-5 -(-2)|=\dfrac{27}{2}$，
$S_{\mathrm{梯形}MDBO}=\dfrac{1}{2}×2×(9+5)=14$，
$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×5×5=\dfrac{25}{2}$，
因此$S_{△ BCD}=S_{\mathrm{梯形}MDBO}+S_{△ DMC}-S_{△ BOC}=14+\dfrac{27}{2}-\dfrac{25}{2}=15$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,0)$，其中$-5＜a＜0$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,5)$、$C(-5,0)$，得$\begin{cases}b=5\\-5k+b=0\end{cases}$，解得$k=1$，$b=5$，因此直线$BC$的解析式为$y=x+5$。
$PH⊥ x$轴，因此$PH$与直线$BC$的交点$E(a,a+5)$，与抛物线的交点$H(a,-a^2 -4a +5)$。
由于分割得到的两个三角形同高，面积比等于底的比，因此分两种情况：
① 当$S_{△ PCE}:S_{△ ECH}=2:3$时，$EH=\frac{3}{2}EP$，列方程得：
$(-a^2 -4a +5)-(a+5)=\dfrac{3}{2}(a+5)$
整理得$2a^2+13a+15=0$，解得$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=-5$（舍去，不符合$-5＜a＜0$）。
② 当$S_{△ PCE}:S_{△ ECH}=3:2$时，$EH=\frac{2}{3}EP$，列方程得：
$(-a^2 -4a +5)-(a+5)=\dfrac{2}{3}(a+5)$
整理得$3a^2+17a+10=0$，解得$a=-\dfrac{2}{3}$或$a=-5$（舍去）。
因此点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{2}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=-x^2 -4x +5$
(2) $C(-5,0)$，$D(-2,9)$，$△ BCD$的面积为$15$
(3) $(-\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
解一元二次方程，待定系数法求解析式，二次函数综合应用
【点评】
本题属于二次函数综合题，融合了方程求解、函数解析式确定、不规则图形面积计算、比例分类讨论等考点，重点考查割补法求面积和分类讨论的数学思想，对学生的综合运算能力和几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
(1) 首先求解一元二次方程$x^2-6x+5=0$，结合$m＜n$的条件得到$m、n$的值，确定点$A、B$的坐标，再将两点坐标代入抛物线解析式，通过解二元一次方程组求出系数$b、c$，即可得到抛物线的函数解析式。
(2) 求抛物线与$x$轴的交点$C$，只需令抛物线解析式中$y=0$，解方程得到除点$A$外的根，即为点$C$的横坐标；顶点$D$的坐标可通过顶点坐标公式直接计算得到。求$△ BCD$的面积时采用割补法，过$D$作$DM⊥ x$轴，将图形拆分为梯形$MDBO$和$△ DMC$，减去$△ BOC$的面积即可得到$△ BCD$的面积。
(3) 先利用待定系数法求出直线$BC$的解析式，设点$P$的坐标为$(a,0)$（$-5＜a＜0$），则$PH$与直线$BC$的交点$E$、与抛物线的交点$H$的横坐标均为$a$，分别代入对应解析式得到两点纵坐标。由于直线$BC$分割得到的两个三角形同高，面积比等于底$EP$与$EH$的比，分面积比为$2:3$和$3:2$两种情况列方程求解，舍去不符合取值范围的解即可得到点$P$的坐标。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -6x +5=0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=1$。
由$m＜n$，得$m=1$，$n=5$，因此点$A(1,0)$，$B(0,5)$。
将$A(1,0)$、$B(0,5)$代入$y=-x^2 +bx +c$，得：
$\begin{cases}-1 +b +c=0\\c=5\end{cases}$
将$c=5$代入第一个方程，解得$b=-4$，因此抛物线解析式为$y=-x^2 -4x +5$。
(2) 令$y=-x^2 -4x +5$中$y=0$，得$-x^2 -4x +5=0$，整理得$x^2+4x-5=0$，因式分解得$(x+5)(x-1)=0$，解得$x_1=-5$，$x_2=1$，因此点$C$的坐标为$(-5,0)$。
根据顶点坐标公式，对于$y=ax^2+bx+c$，顶点横坐标为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2×(-1)}=-2$，代入解析式得$y=-(-2)^2-4×(-2)+5=9$，因此顶点$D(-2,9)$。
过点$D$作$DM⊥ x$轴，垂足为$M$。
则$S_{△ DMC}=\dfrac{1}{2}×9×|-5 -(-2)|=\dfrac{27}{2}$，
$S_{\mathrm{梯形}MDBO}=\dfrac{1}{2}×2×(9+5)=14$，
$S_{△ BOC}=\dfrac{1}{2}×5×5=\dfrac{25}{2}$，
因此$S_{△ BCD}=S_{\mathrm{梯形}MDBO}+S_{△ DMC}-S_{△ BOC}=14+\dfrac{27}{2}-\dfrac{25}{2}=15$。
(3) 设点$P$的坐标为$(a,0)$，其中$-5＜a＜0$。
设直线$BC$的解析式为$y=kx+b$，代入$B(0,5)$、$C(-5,0)$，得$\begin{cases}b=5\\-5k+b=0\end{cases}$，解得$k=1$，$b=5$，因此直线$BC$的解析式为$y=x+5$。
$PH⊥ x$轴，因此$PH$与直线$BC$的交点$E(a,a+5)$，与抛物线的交点$H(a,-a^2 -4a +5)$。
由于分割得到的两个三角形同高，面积比等于底的比，因此分两种情况：
① 当$S_{△ PCE}:S_{△ ECH}=2:3$时，$EH=\frac{3}{2}EP$，列方程得：
$(-a^2 -4a +5)-(a+5)=\dfrac{3}{2}(a+5)$
整理得$2a^2+13a+15=0$，解得$a=-\dfrac{3}{2}$或$a=-5$（舍去，不符合$-5＜a＜0$）。
② 当$S_{△ PCE}:S_{△ ECH}=3:2$时，$EH=\frac{2}{3}EP$，列方程得：
$(-a^2 -4a +5)-(a+5)=\dfrac{2}{3}(a+5)$
整理得$3a^2+17a+10=0$，解得$a=-\dfrac{2}{3}$或$a=-5$（舍去）。
因此点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{2}{3},0)$。
【答案】
(1) $y=-x^2 -4x +5$
(2) $C(-5,0)$，$D(-2,9)$，$△ BCD$的面积为$15$
(3) $(-\dfrac{3}{2},0)$或$(-\dfrac{2}{3},0)$
【知识点】
解一元二次方程，待定系数法求解析式，二次函数综合应用
【点评】
本题属于二次函数综合题，融合了方程求解、函数解析式确定、不规则图形面积计算、比例分类讨论等考点，重点考查割补法求面积和分类讨论的数学思想，对学生的综合运算能力和几何分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
11.某数学兴趣小组对函数$y=x^2 - 2|x|$的图象和性质进行了探究,请补充完整下面的探究过程.
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数,$x$与$y$的几组对应值列表如下,其中$m=$
(2)根据表中数据,该小组在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条该函数的性质.
(4)进一步观察函数图象发现:
①关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=0$的实数根为
②当关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时,$a$的取值范围是
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数,$x$与$y$的几组对应值列表如下,其中$m=$
0
.(2)根据表中数据,该小组在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象,写出两条该函数的性质.
(4)进一步观察函数图象发现:
①关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=0$的实数根为
$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$
.②当关于$x$的方程$x^2 - 2|x|=a$有4个实数根时,$a$的取值范围是
$-1＜a＜0$
.答案
11.【解】(1)0
(2)如图.
(3)答案不唯一,示例:
①函数图象关于$y$轴对称.
②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)①$x_1=-2$,$x_2=0$,$x_3=2$
②$-1＜a＜0$
解析
【分析】
(1) 求m的值时，可直接将x=2代入函数解析式计算，也可利用函数含|x|的特征：自变量取互为相反数的两个数时函数值相等，由x=-2时的函数值直接得到x=2时的y值。
(2) 函数解析式中x带绝对值，将x替换为-x时函数值不变，因此图象关于y轴对称，只需将已画出的一侧图象沿y轴翻折就能得到完整图象。
(3) 观察函数图象可从对称性、增减性、最值、与坐标轴交点等角度总结性质，表述合理即可。
(4) ①方程$x^2-2|x|=0$的实数根对应函数$y=x^2-2|x|$与x轴交点的横坐标，直接读图可得结果；②方程$x^2-2|x|=a$的实根个数等价于函数$y=x^2-2|x|$与直线$y=a$的交点个数，观察图象找到交点为4个时a的取值范围即可。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$y=x^2-2|x|$，得$y=2^2-2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$。
(2) 函数图象关于y轴对称，将已绘制的y轴右侧图象沿y轴翻折即可得到完整图象，如下图：
(3) 观察图象可总结多条性质，例如：①函数图象关于y轴对称；②函数的最小值为-1；③当x＞1时，y随x的增大而增大，任选两条即可。
(4) ①方程$x^2-2|x|=0$的解是函数$y=x^2-2|x|$与x轴交点的横坐标，由图象可知交点为$(-2,0),(0,0),(2,0)$，因此实数根为$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$。
②方程$x^2-2|x|=a$的实根个数即$y=x^2-2|x|$与直线$y=a$的交点个数：观察图象得，当$-1＜a＜0$时，两个图象有4个交点，对应方程有4个实数根。
【答案】
(1)0
(2)如图.
(3)答案不唯一,示例:
①函数图象关于$y$轴对称.
②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)①$x_1=-2$,$x_2=0$,$x_3=2$
②$-1＜a＜0$
【知识点】
绝对值函数性质，函数与方程，二次函数性质
【点评】
本题是典型的函数探究类问题，结合含绝对值的二次函数考查了图象绘制、性质总结、方程根与函数交点的转化，核心是数形结合思想的运用，能有效锻炼读图和问题转化的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求m的值时，可直接将x=2代入函数解析式计算，也可利用函数含|x|的特征：自变量取互为相反数的两个数时函数值相等，由x=-2时的函数值直接得到x=2时的y值。
(2) 函数解析式中x带绝对值，将x替换为-x时函数值不变，因此图象关于y轴对称，只需将已画出的一侧图象沿y轴翻折就能得到完整图象。
(3) 观察函数图象可从对称性、增减性、最值、与坐标轴交点等角度总结性质，表述合理即可。
(4) ①方程$x^2-2|x|=0$的实数根对应函数$y=x^2-2|x|$与x轴交点的横坐标，直接读图可得结果；②方程$x^2-2|x|=a$的实根个数等价于函数$y=x^2-2|x|$与直线$y=a$的交点个数，观察图象找到交点为4个时a的取值范围即可。
【解析】
(1) 把$x=2$代入$y=x^2-2|x|$，得$y=2^2-2×|2|=4-4=0$，因此$m=0$。
(2) 函数图象关于y轴对称，将已绘制的y轴右侧图象沿y轴翻折即可得到完整图象，如下图：
(3) 观察图象可总结多条性质，例如：①函数图象关于y轴对称；②函数的最小值为-1；③当x＞1时，y随x的增大而增大，任选两条即可。
(4) ①方程$x^2-2|x|=0$的解是函数$y=x^2-2|x|$与x轴交点的横坐标，由图象可知交点为$(-2,0),(0,0),(2,0)$，因此实数根为$x_1=-2,x_2=0,x_3=2$。
②方程$x^2-2|x|=a$的实根个数即$y=x^2-2|x|$与直线$y=a$的交点个数：观察图象得，当$-1＜a＜0$时，两个图象有4个交点，对应方程有4个实数根。
【答案】
(1)0
(2)如图.
(3)答案不唯一,示例:
①函数图象关于$y$轴对称.
②当$x＞1$时,$y$随$x$的增大而增大.
(4)①$x_1=-2$,$x_2=0$,$x_3=2$
②$-1＜a＜0$
【知识点】
绝对值函数性质，函数与方程，二次函数性质
【点评】
本题是典型的函数探究类问题，结合含绝对值的二次函数考查了图象绘制、性质总结、方程根与函数交点的转化，核心是数形结合思想的运用，能有效锻炼读图和问题转化的能力。
【难度系数】
0.7
