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3.二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象如图所示.若方程$2x^2+4x-1=0$的一个根的近似值是$-2.2$,则该方程的另一个根的近似值为
0.2
.(结果保留小数点后一位)答案
3. 0.2
解析
【分析】
解题时首先要明确一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，而二次函数图象与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根的平均值等于对称轴的横坐标。我们可以先求出抛物线的对称轴，再结合已知的一个根，利用对称性列方程求解另一个根。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+4x-1$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×2}=-1$
一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两个根是二次函数$y=2x^2+4x-1$图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴$x=-1$对称。
设另一个根为$x_1$，根据对称性可得：$\frac{x_1 + (-2.2)}{2}=-1$
解方程：
$x_1 - 2.2 = -2$
$x_1 = 2.2 - 2 = 0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 二次函数对称轴公式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用二次函数图象的对称性求解方程的根，解题的关键是理解二次函数与对应一元二次方程根的联系，掌握抛物线对称轴的计算方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标，而二次函数图象与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此两个根的平均值等于对称轴的横坐标。我们可以先求出抛物线的对称轴，再结合已知的一个根，利用对称性列方程求解另一个根。
【解析】
对于二次函数$y=2x^2+4x-1$，其对称轴公式为$x=-\frac{b}{2a}$，代入$a=2$，$b=4$得：
$x=-\frac{4}{2×2}=-1$
一元二次方程$2x^2+4x-1=0$的两个根是二次函数$y=2x^2+4x-1$图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴$x=-1$对称。
设另一个根为$x_1$，根据对称性可得：$\frac{x_1 + (-2.2)}{2}=-1$
解方程：
$x_1 - 2.2 = -2$
$x_1 = 2.2 - 2 = 0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
1. 二次函数的对称性
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 二次函数对称轴公式
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心是利用二次函数图象的对称性求解方程的根，解题的关键是理解二次函数与对应一元二次方程根的联系，掌握抛物线对称轴的计算方法。
【难度系数】
0.8
1. 当抛物线$y=x^2 -bx +1$与$x$轴有唯一的公共点时，$b$的值是 （
A.0
B.2
C.$-2$
D.$\pm2$
D
）A.0
B.2
C.$-2$
D.$\pm2$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系：抛物线与x轴有唯一公共点，等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。接下来我们只需要从抛物线解析式中提取二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列方程，求解即可得到b的值，计算时注意对应系数的符号即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -bx +1$与x轴有唯一的公共点
∴ 关于x的一元二次方程$x^2 -bx +1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$
该方程中二次项系数为1，一次项系数为$-b$，常数项为1，代入判别式公式得：
$\Delta = (-b)^2 - 4×1×1 = 0$
化简得$b^2 - 4 = 0$，解得$b=\pm2$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记对应规则、准确代入系数计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的情况的对应关系：抛物线与x轴有唯一公共点，等价于对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即判别式Δ=0。接下来我们只需要从抛物线解析式中提取二次项系数、一次项系数、常数项，代入判别式公式列方程，求解即可得到b的值，计算时注意对应系数的符号即可。
【解析】
∵ 抛物线$y=x^2 -bx +1$与x轴有唯一的公共点
∴ 关于x的一元二次方程$x^2 -bx +1=0$有两个相等的实数根，即判别式$\Delta=0$
该方程中二次项系数为1，一次项系数为$-b$，常数项为1，代入判别式公式得：
$\Delta = (-b)^2 - 4×1×1 = 0$
化简得$b^2 - 4 = 0$，解得$b=\pm2$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴交点的判定；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础常考题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记对应规则、准确代入系数计算即可快速解题。
【难度系数】
0.8
2.若二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点$A(1,1)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2 -6x +c=1$的根为（
A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=x_2=6$
C.$x_1=1,x_2=-7$
D.$x_1=1,x_2=5$
D
）A.$x_1=x_2=1$
B.$x_1=x_2=6$
C.$x_1=1,x_2=-7$
D.$x_1=1,x_2=5$
答案
2. D
解析
【分析】
解题思路可从两个方向入手：①先利用二次函数图象上的点满足函数解析式，代入点A的坐标求出参数c的值，再将c代入所求的一元二次方程，解方程即可得到根；②也可直接利用二次函数与一元二次方程的关系：方程$x^2-6x+c=1$的根就是二次函数$y=x^2-6x+c$的函数值为1时对应的x值，已知x=1是其中一个根，再结合二次函数的对称性求另一个根，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：
第一步，求参数c：
∵二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点$A(1,1)$
∴将$x=1,y=1$代入函数解析式得：
$1=1^2 -6×1 +c$
解得$c=6$
第二步，解方程：
将$c=6$代入方程$x^2 -6x +c=1$得：
$x^2 -6x +6=1$
整理得$x^2 -6x +5=0$
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
∴$x-1=0$或$x-5=0$
解得$x_1=1,x_2=5$
方法二：
方程$x^2 -6x +c=1$的根是二次函数$y=x^2-6x+c$的函数值为1时对应的x值，已知点$A(1,1)$在函数图象上，因此$x_1=1$是方程的一个根。
二次函数$y=x^2-6x+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3$
根据二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，因此另一个根为$x_2=2×3 -1=5$
综上方程的根为$x_1=1,x_2=5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.解一元二次方程
3.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数与一元二次方程的结合应用，两种解题方法分别对应代数计算和函数性质应用的思路，熟练掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可从两个方向入手：①先利用二次函数图象上的点满足函数解析式，代入点A的坐标求出参数c的值，再将c代入所求的一元二次方程，解方程即可得到根；②也可直接利用二次函数与一元二次方程的关系：方程$x^2-6x+c=1$的根就是二次函数$y=x^2-6x+c$的函数值为1时对应的x值，已知x=1是其中一个根，再结合二次函数的对称性求另一个根，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法一：
第一步，求参数c：
∵二次函数$y=x^2 -6x +c$的图象经过点$A(1,1)$
∴将$x=1,y=1$代入函数解析式得：
$1=1^2 -6×1 +c$
解得$c=6$
第二步，解方程：
将$c=6$代入方程$x^2 -6x +c=1$得：
$x^2 -6x +6=1$
整理得$x^2 -6x +5=0$
因式分解得$(x-1)(x-5)=0$
∴$x-1=0$或$x-5=0$
解得$x_1=1,x_2=5$
方法二：
方程$x^2 -6x +c=1$的根是二次函数$y=x^2-6x+c$的函数值为1时对应的x值，已知点$A(1,1)$在函数图象上，因此$x_1=1$是方程的一个根。
二次函数$y=x^2-6x+c$的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=\frac{6}{2}=3$
根据二次函数的对称性，函数值相等的两个点关于对称轴对称，因此另一个根为$x_2=2×3 -1=5$
综上方程的根为$x_1=1,x_2=5$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象上点的坐标特征
2.解一元二次方程
3.二次函数与一元二次方程的联系
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数与一元二次方程的结合应用，两种解题方法分别对应代数计算和函数性质应用的思路，熟练掌握基础知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3.若二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则关于$x$的不等式$ax^2+bx+c＜0$的解集是
$x＜1$或$x＞3$
。答案
3. $x＜1$或$x＞3$
解析
【分析】
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，首先明确它的几何意义：就是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像位于x轴下方时对应x的取值范围。解题时先观察图像确定抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线的开口方向，判断x轴下方的图像对应的x的范围即可。
【解析】
观察二次函数图像可知：抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向下。
不等式$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图像在x轴下方的部分对应的x的取值：
当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于x轴下方，满足$y＜0$，即$ax^2+bx+c＜0$。
【答案】
$x＜1$或$x＞3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次不等式
2. 二次函数图像性质
【点评】
本题考查借助二次函数图像求解一元二次不等式，解题的核心是理解代数式的几何意义，结合图像的交点、开口方向分析即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要解不等式$ax^2+bx+c＜0$，首先明确它的几何意义：就是求二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像位于x轴下方时对应x的取值范围。解题时先观察图像确定抛物线与x轴的交点坐标，再结合抛物线的开口方向，判断x轴下方的图像对应的x的范围即可。
【解析】
观察二次函数图像可知：抛物线与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$，且抛物线开口向下。
不等式$ax^2+bx+c＜0$对应函数值$y＜0$，即图像在x轴下方的部分对应的x的取值：
当$x＜1$或$x＞3$时，抛物线位于x轴下方，满足$y＜0$，即$ax^2+bx+c＜0$。
【答案】
$x＜1$或$x＞3$
【知识点】
1. 二次函数与一元二次不等式
2. 二次函数图像性质
【点评】
本题考查借助二次函数图像求解一元二次不等式，解题的核心是理解代数式的几何意义，结合图像的交点、开口方向分析即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
4.将抛物线 $y=x^2 -6x +12$ 向下平移 $k(k＞0)$个单位长度.若平移后得到的抛物线与$x$轴有公共点,则$k$的取值范围是
$k≥3$
.答案
4. $k≥3$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，根据抛物线“上加下减”的平移规律，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第二步，平移后抛物线与x轴有公共点，说明对应一元二次方程有实数根，对应判别式Δ≥0；第三步，代入判别式公式计算，结合k＞0的条件求出k的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的抛物线解析式：
抛物线向下平移$k(k＞0)$个单位后，解析式为$y=x^2-6x+12-k。2. 结合抛物线与x轴有公共点的条件列不等式：平移后抛物线与x轴有公共点，说明一元二次方程$x^2-6x+12-k=0有实数根，因此判别式$\Delta≥0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=12-k$，代入判别式公式得：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(12-k)≥0$
3. 解不等式：
$36-48+4k≥0$
$4k≥12$
$k≥3$
结合$k＞0$的条件，最终$k$的取值范围为$k≥3$。
【答案】
$k≥3$
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数与一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数平移性质和二次函数与x轴交点的判定，解题核心是熟练掌握平移规律和判别式的应用，只要准确代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，根据抛物线“上加下减”的平移规律，写出向下平移k个单位后的抛物线解析式；第二步，平移后抛物线与x轴有公共点，说明对应一元二次方程有实数根，对应判别式Δ≥0；第三步，代入判别式公式计算，结合k＞0的条件求出k的取值范围。
【解析】
1. 写出平移后的抛物线解析式：
抛物线向下平移$k(k＞0)$个单位后，解析式为$y=x^2-6x+12-k。2. 结合抛物线与x轴有公共点的条件列不等式：平移后抛物线与x轴有公共点，说明一元二次方程$x^2-6x+12-k=0有实数根，因此判别式$\Delta≥0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=12-k$，代入判别式公式得：
$\Delta=(-6)^2-4×1×(12-k)≥0$
3. 解不等式：
$36-48+4k≥0$
$4k≥12$
$k≥3$
结合$k＞0$的条件，最终$k$的取值范围为$k≥3$。
【答案】
$k≥3$
【知识点】
抛物线平移规律；二次函数与一元二次方程；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查二次函数平移性质和二次函数与x轴交点的判定，解题核心是熟练掌握平移规律和判别式的应用，只要准确代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
5.若抛物线$y=x^2 - 2x + c$与x轴交于点A,B,与y轴交于点C(0,-3),则线段AB的长是
4
.答案
5. 4
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，已知抛物线与y轴交点C的坐标，将点C坐标代入抛物线解析式即可求出未知参数c的值，得到完整的抛物线解析式；第二步，求抛物线与x轴交点A、B的横坐标，令y=0解对应的一元二次方程，得到两个根即为A、B的横坐标，两点横坐标差的绝对值就是线段AB的长度。
【解析】
1. 求参数c的值：
将点$C(0,-3)$代入抛物线解析式$y=x^2 - 2x + c$，代入$x=0,y=-3$得：
$-3 = 0^2 - 2×0 + c$，解得$c=-3$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2 - 2x - 3$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
令$y=0$，得一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
即A、B两点的横坐标分别为-1和3。
3. 计算线段AB的长度：
AB的长度为两点横坐标差的绝对值，即$AB=|3 - (-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数解析式求解；抛物线与坐标轴交点；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的相关计算，解题核心是先代入已知点确定函数解析式，再通过解一元二次方程得到交点坐标进而计算线段长度，熟练掌握二次函数基础性质和解一元二次方程的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步，已知抛物线与y轴交点C的坐标，将点C坐标代入抛物线解析式即可求出未知参数c的值，得到完整的抛物线解析式；第二步，求抛物线与x轴交点A、B的横坐标，令y=0解对应的一元二次方程，得到两个根即为A、B的横坐标，两点横坐标差的绝对值就是线段AB的长度。
【解析】
1. 求参数c的值：
将点$C(0,-3)$代入抛物线解析式$y=x^2 - 2x + c$，代入$x=0,y=-3$得：
$-3 = 0^2 - 2×0 + c$，解得$c=-3$。
因此抛物线的解析式为$y=x^2 - 2x - 3$。
2. 求抛物线与x轴的交点坐标：
令$y=0$，得一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
即A、B两点的横坐标分别为-1和3。
3. 计算线段AB的长度：
AB的长度为两点横坐标差的绝对值，即$AB=|3 - (-1)|=4$。
【答案】
4
【知识点】
二次函数解析式求解；抛物线与坐标轴交点；一元二次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，考查二次函数与坐标轴交点的相关计算，解题核心是先代入已知点确定函数解析式，再通过解一元二次方程得到交点坐标进而计算线段长度，熟练掌握二次函数基础性质和解一元二次方程的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6. 利用二次函数的图象求一元二次方程 $-\dfrac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$ 的根的近似值.（结果保留小数点后一位）
答案
6.【解】画出函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2$的图象,如图所示.
设方程$-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2=0$的两根分别为$x_1$,$x_2$,且$x_1＜x_2$,观察图象可知$-2＜x_1＜-1$,$3＜x_2＜4$.
$\because$当$x=-1$时,$y=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 -1 +2=0.5＞0$,当$x=\dfrac{-2+(-1)}{2}=-1.5$时,$y=-\dfrac{1}{2}×(-1.5)^2 -1.5 +2=-0.625＜0$,
$\therefore -1.5＜x_1＜-1$.
$\because$当$x=3$时,$y=-\dfrac{1}{2}×3^2 +3 +2=0.5＞0$,当$x=\dfrac{3+4}{2}=3.5$时,$y=-\dfrac{1}{2}×3.5^2 +3.5 +2=-0.625＜0$,
$\therefore 3＜x_2＜3.5$.
列表如下：
| $x$ | $-1.5$ | $-1.4$ | $-1.3$ | $-1.2$ | $-1.1$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $-0.625$ | $-0.38$ | $-0.145$ | $0.08$ | $0.295$ |
| $x$ | $3.1$ | $3.2$ | $3.3$ | $3.4$ | $3.5$ |
| $y$ | $0.295$ | $0.08$ | $-0.145$ | $-0.38$ | $-0.625$ |
$\therefore$方程$-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2=0$的根$x_1$的近似值为$-1.2$,$x_2$的近似值为$3.2$.
解析
【分析】
要求解本题，首先需明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和x轴交点的横坐标一一对应。解题时第一步先观察给定的二次函数图象，确定方程两个根所在的大致整数区间；第二步利用“若函数在区间两端点的函数值一正一负，则区间内必有一个根”的规律，通过代入计算区间内不同x对应的函数值，逐步缩小根所在的区间，直到区间精度满足保留一位小数的要求，即可得到根的近似值。
【解析】
解：一元二次方程$-\dfrac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根对应二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2$的图象与x轴交点的横坐标。
设方程的两根分别为$x_1$,$x_2$,且$x_1＜x_2$，观察图象可得两根的大致范围：$-2＜x_1＜-1$，$3＜x_2＜4$。
1. 估算$x_1$的近似值：
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 + (-1) +2=0.5＞0$；
当$x=-1.5$时，$y=-\dfrac{1}{2}×(-1.5)^2 + (-1.5) +2=-0.625＜0$，
因此根$x_1$的范围缩小为$-1.5＜x_1＜-1$，继续代入该区间内的x值计算对应函数值，结果如下：
| $x$ | $-1.5$ | $-1.4$ | $-1.3$ | $-1.2$ | $-1.1$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $-0.625$ | $-0.38$ | $-0.145$ | $0.08$ | $0.295$ |
当x=-1.2时，函数值最接近0，因此$x_1\approx-1.2$。
2. 估算$x_2$的近似值：
当$x=3$时，$y=-\dfrac{1}{2}×3^2 +3 +2=0.5＞0$；
当$x=3.5$时，$y=-\dfrac{1}{2}×3.5^2 +3.5 +2=-0.625＜0$，
因此根$x_2$的范围缩小为$3＜x_2＜3.5$，继续代入该区间内的x值计算对应函数值，结果如下：
| $x$ | $3.1$ | $3.2$ | $3.3$ | $3.4$ | $3.5$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $0.295$ | $0.08$ | $-0.145$ | $-0.38$ | $-0.625$ |
当x=3.2时，函数值最接近0，因此$x_2\approx3.2$。
【答案】
画出函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2$的图象,如图所示.
方程$-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2=0$的根的近似值为$x_1\approx-1.2$，$x_2\approx3.2$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法求方程近似根
3. 近似值估算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是掌握一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，通过逐步缩小区间范围估算根的近似值，有助于提升逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
要求解本题，首先需明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根与对应二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象和x轴交点的横坐标一一对应。解题时第一步先观察给定的二次函数图象，确定方程两个根所在的大致整数区间；第二步利用“若函数在区间两端点的函数值一正一负，则区间内必有一个根”的规律，通过代入计算区间内不同x对应的函数值，逐步缩小根所在的区间，直到区间精度满足保留一位小数的要求，即可得到根的近似值。
【解析】
解：一元二次方程$-\dfrac{1}{2}x^2 + x + 2 = 0$的根对应二次函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2$的图象与x轴交点的横坐标。
设方程的两根分别为$x_1$,$x_2$,且$x_1＜x_2$，观察图象可得两根的大致范围：$-2＜x_1＜-1$，$3＜x_2＜4$。
1. 估算$x_1$的近似值：
当$x=-1$时，$y=-\dfrac{1}{2}×(-1)^2 + (-1) +2=0.5＞0$；
当$x=-1.5$时，$y=-\dfrac{1}{2}×(-1.5)^2 + (-1.5) +2=-0.625＜0$，
因此根$x_1$的范围缩小为$-1.5＜x_1＜-1$，继续代入该区间内的x值计算对应函数值，结果如下：
| $x$ | $-1.5$ | $-1.4$ | $-1.3$ | $-1.2$ | $-1.1$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $-0.625$ | $-0.38$ | $-0.145$ | $0.08$ | $0.295$ |
当x=-1.2时，函数值最接近0，因此$x_1\approx-1.2$。
2. 估算$x_2$的近似值：
当$x=3$时，$y=-\dfrac{1}{2}×3^2 +3 +2=0.5＞0$；
当$x=3.5$时，$y=-\dfrac{1}{2}×3.5^2 +3.5 +2=-0.625＜0$，
因此根$x_2$的范围缩小为$3＜x_2＜3.5$，继续代入该区间内的x值计算对应函数值，结果如下：
| $x$ | $3.1$ | $3.2$ | $3.3$ | $3.4$ | $3.5$ |
|-----|--------|--------|--------|--------|--------|
| $y$ | $0.295$ | $0.08$ | $-0.145$ | $-0.38$ | $-0.625$ |
当x=3.2时，函数值最接近0，因此$x_2\approx3.2$。
【答案】
画出函数$y=-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2$的图象,如图所示.
方程$-\dfrac{1}{2}x^2 +x +2=0$的根的近似值为$x_1\approx-1.2$，$x_2\approx3.2$。
【知识点】
1. 二次函数与一元二次方程的关系
2. 图象法求方程近似根
3. 近似值估算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题核心是掌握一元二次方程的根与对应二次函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，通过逐步缩小区间范围估算根的近似值，有助于提升逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.6
7. 飞机着陆后滑行的距离$s$(单位:m)关于滑行的时间$t$(单位:s)的函数解析式是$s=-1.5t^2 +60t$.
(1)飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行的距离为450 m时，滑行的时间是多少？
(1)飞机着陆后滑行多长时间才能停下来？滑行的最大距离是多少？
(2)当飞机滑行的距离为450 m时，滑行的时间是多少？
答案
7.【解】(1)根据题意,得$s=-1.5t^2 +60t=-1.5(t-20)^2 +600$.
$\because -1.5＜0$,
$\therefore$飞机着陆后滑行20 s才能停下来,滑行的最大距离是600 m.
(2)当$s=450$时,由$s=-1.5t^2 +60t$,列得方程$-1.5t^2 +60t=450$.
解方程,得$t_1=30$(不合题意,舍去),$t_2=10$.
$\therefore$当飞机滑行的距离为450 m时,滑行的时间是10 s.
$\because -1.5＜0$,
$\therefore$飞机着陆后滑行20 s才能停下来,滑行的最大距离是600 m.
(2)当$s=450$时,由$s=-1.5t^2 +60t$,列得方程$-1.5t^2 +60t=450$.
解方程,得$t_1=30$(不合题意,舍去),$t_2=10$.
$\therefore$当飞机滑行的距离为450 m时,滑行的时间是10 s.
解析
【分析】
（1）飞机滑行到停下时对应的就是滑行距离最大的时刻，题中给出的s关于t的函数是开口向下的二次函数，其顶点对应函数的最大值，因此可以通过配方法将函数转化为顶点式，顶点的横坐标就是滑行到停下的时间，纵坐标就是最大滑行距离。（2）已知滑行距离求时间，只需将s=450代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，解方程后需结合飞机20s就已停下的实际情况，舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 对函数解析式配方变形：
$s=-1.5t^2 +60t=-1.5(t^2-40t)=-1.5(t^2-40t+400-400)=-1.5(t-20)^2+600$
$\because -1.5＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$t=20$时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行20s才能停下来，滑行的最大距离是600m。
(2) 当$s=450$时，代入函数解析式得：
$-1.5t^2 +60t=450$
整理得$t^2-40t+300=0$，因式分解得$(t-10)(t-30)=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=30$。
$\because$飞机20s就已停止滑行，$\therefore t=30$不合题意，舍去，
即当飞机滑行的距离为450m时，滑行的时间是10s。
【答案】
(1) 滑行20s才能停下来，最大滑行距离为600m；(2) 滑行时间为10s。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合飞机滑行的实际场景考查二次函数与一元二次方程的应用，解题时要注意结合实际意义对方程的解进行筛选，避免出现不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
（1）飞机滑行到停下时对应的就是滑行距离最大的时刻，题中给出的s关于t的函数是开口向下的二次函数，其顶点对应函数的最大值，因此可以通过配方法将函数转化为顶点式，顶点的横坐标就是滑行到停下的时间，纵坐标就是最大滑行距离。（2）已知滑行距离求时间，只需将s=450代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，解方程后需结合飞机20s就已停下的实际情况，舍去不符合实际的解。
【解析】
(1) 对函数解析式配方变形：
$s=-1.5t^2 +60t=-1.5(t^2-40t)=-1.5(t^2-40t+400-400)=-1.5(t-20)^2+600$
$\because -1.5＜0$，二次函数图象开口向下，
$\therefore$当$t=20$时，s取得最大值600，即飞机着陆后滑行20s才能停下来，滑行的最大距离是600m。
(2) 当$s=450$时，代入函数解析式得：
$-1.5t^2 +60t=450$
整理得$t^2-40t+300=0$，因式分解得$(t-10)(t-30)=0$，
解得$t_1=10$，$t_2=30$。
$\because$飞机20s就已停止滑行，$\therefore t=30$不合题意，舍去，
即当飞机滑行的距离为450m时，滑行的时间是10s。
【答案】
(1) 滑行20s才能停下来，最大滑行距离为600m；(2) 滑行时间为10s。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，一元二次方程的解法
【点评】
本题结合飞机滑行的实际场景考查二次函数与一元二次方程的应用，解题时要注意结合实际意义对方程的解进行筛选，避免出现不符合实际的错误结果。
【难度系数】
0.7
8.若二次函数$y=ax^2 -4x +1$的图象与x轴有两个公共点且都在y轴的同一侧，则a的取值范围为（
A.$a＞0$
B.$a＞4$
C.$a＜4$且$a≠0$
D.$0＜a＜4$
D
）A.$a＞0$
B.$a＞4$
C.$a＜4$且$a≠0$
D.$0＜a＜4$
答案
8. D
解析
【分析】
解题时需分三步思考：①首先题目明确是二次函数，因此二次项系数a不能为0；②图象与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过根的判别式Δ＞0列出不等式求解a的范围；③两个交点都在y轴同一侧，说明方程的两个实数根同号，可通过根与系数的关系判断两根之积的符号，进而得到a的符号，最后综合所有条件得到a的最终取值范围。
【解析】
∵函数是二次函数，
∴$a≠0$。
1. 由二次函数图象与x轴有两个公共点，可知对应的一元二次方程$ax^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4× a × 1 ＞ 0$，
即$16 - 4a ＞ 0$，解得$a ＜ 4$。
2. 由两个公共点都在y轴同一侧，可知方程的两个实根$x_1、x_2$同号，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{a} ＞ 0$，
解得$a ＞ 0$。
综合以上条件，a的取值范围为$0 ＜ a ＜ 4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，解题时需注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，同时要掌握二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，以及用根与系数的关系判断根的符号的方法。
【难度系数】
0.7
解题时需分三步思考：①首先题目明确是二次函数，因此二次项系数a不能为0；②图象与x轴有两个公共点，说明对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，可通过根的判别式Δ＞0列出不等式求解a的范围；③两个交点都在y轴同一侧，说明方程的两个实数根同号，可通过根与系数的关系判断两根之积的符号，进而得到a的符号，最后综合所有条件得到a的最终取值范围。
【解析】
∵函数是二次函数，
∴$a≠0$。
1. 由二次函数图象与x轴有两个公共点，可知对应的一元二次方程$ax^2 -4x +1=0$有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4× a × 1 ＞ 0$，
即$16 - 4a ＞ 0$，解得$a ＜ 4$。
2. 由两个公共点都在y轴同一侧，可知方程的两个实根$x_1、x_2$同号，
根据根与系数的关系，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{1}{a} ＞ 0$，
解得$a ＞ 0$。
综合以上条件，a的取值范围为$0 ＜ a ＜ 4$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，解题时需注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含条件，同时要掌握二次函数图象与x轴交点个数和判别式的对应关系，以及用根与系数的关系判断根的符号的方法。
【难度系数】
0.7
