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1. 二次函数$y=x^2 -2x +3$的图象与x轴的公共点的个数是 （
A.0
B.1
C.2
D.不能确定
A
）A.0
B.1
C.2
D.不能确定
答案
1. A
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，可转化为判断对应一元二次方程的实数根个数，用根的判别式Δ即可快速判断：第一步先确定二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中a、b、c的取值；第二步代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步根据Δ的符号对应交点情况：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。
【解析】
令$y=0$，得到对应的一元二次方程：$x^2 -2x +3=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=3$，代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12 = -8$
因为$\Delta=-8＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，即二次函数$y=x^2 -2x +3$的图象与x轴没有公共点，公共点个数为0。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握二次函数图象和x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练计算根的判别式就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数图象与x轴的公共点个数，可转化为判断对应一元二次方程的实数根个数，用根的判别式Δ即可快速判断：第一步先确定二次函数一般式$y=ax^2+bx+c$中a、b、c的取值；第二步代入判别式公式$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步根据Δ的符号对应交点情况：$\Delta＞0$时有2个公共点，$\Delta=0$时有1个公共点，$\Delta＜0$时没有公共点。
【解析】
令$y=0$，得到对应的一元二次方程：$x^2 -2x +3=0$
其中$a=1$，$b=-2$，$c=3$，代入判别式公式计算：
$\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×1×3 = 4-12 = -8$
因为$\Delta=-8＜0$，所以该一元二次方程没有实数根，即二次函数$y=x^2 -2x +3$的图象与x轴没有公共点，公共点个数为0。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数与x轴交点判定
2.一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是基础题型，解题核心是掌握二次函数图象和x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的对应关系，熟练计算根的判别式就能快速得到结果。
【难度系数】
0.9
【典型例题 2】用一个物体发射器从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度$h$(单位:m)与小球的运动时间$t$(单位:s)的关系近似为$h=-5t^2+30t$.
(1)小球的高度能否达到 50 m? 请说明理由.
(2)小球的高度有两次与某建筑物的高度相同. 小明说:“这两次间隔的时间为 3 s.”已知该建筑物的高度为 25 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【解】(1)小球的高度不能达到 50 m.
理由:当$h=50$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=50$,即$t^2-6t+10=0$.
$\because \Delta=36-40=-4＜0$,
$\therefore$该方程无解.
$\therefore$小球的高度不能达到 50 m.
(2)小明的说法不正确.
理由:当$h=25$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=25$,即$t^2-6t+5=0$.
解方程,得$t_1=1,t_2=5$.
$\therefore$间隔的时间为$5-1=4(\mathrm{s})$.
$\therefore$小明的说法不正确.
规律方法 该类题往往考查二次函数、一元二次方程、几何图形等知识的综合应用,熟练掌握好相关基础知识是解决问题的关键.
(1)小球的高度能否达到 50 m? 请说明理由.
(2)小球的高度有两次与某建筑物的高度相同. 小明说:“这两次间隔的时间为 3 s.”已知该建筑物的高度为 25 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由.
【解】(1)小球的高度不能达到 50 m.
理由:当$h=50$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=50$,即$t^2-6t+10=0$.
$\because \Delta=36-40=-4＜0$,
$\therefore$该方程无解.
$\therefore$小球的高度不能达到 50 m.
(2)小明的说法不正确.
理由:当$h=25$时,由函数关系$h=-5t^2+30t$,列得方程$-5t^2+30t=25$,即$t^2-6t+5=0$.
解方程,得$t_1=1,t_2=5$.
$\therefore$间隔的时间为$5-1=4(\mathrm{s})$.
$\therefore$小明的说法不正确.
规律方法 该类题往往考查二次函数、一元二次方程、几何图形等知识的综合应用,熟练掌握好相关基础知识是解决问题的关键.
答案
解：
(1) 小球的高度不能达到50 m。
理由：当$h=50$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
$\because \Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该一元二次方程无实数根，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确。
理由：当$h=25$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4(\mathrm{s})$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
(1) 小球的高度不能达到50 m。
理由：当$h=50$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
$\because \Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该一元二次方程无实数根，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确。
理由：当$h=25$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4(\mathrm{s})$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
解析
【分析】
（1）要判断小球高度能否达到50m，只需将h=50代入高度与时间的函数关系式，转化为关于t的一元二次方程，通过判断方程是否有实数根即可得出结论：若方程有实根说明存在对应时间使小球达到该高度，无实根则不能达到。
（2）要判断小明的说法是否正确，先将建筑物高度h=25代入函数关系式，求解一元二次方程得到两次高度等于25m对应的时间值，计算两个时间的差值后与3s对比即可。
【解析】
(1) 小球的高度不能达到50 m。
理由：当$h=50$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
$\because \Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该一元二次方程无实数根，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确。
理由：当$h=25$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4(\mathrm{s})$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
【答案】
(1) 小球的高度不能达到50 m；
(2) 小明的说法不正确，两次间隔时间为4 s。
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合竖直上抛的实际场景，考查二次函数与一元二次方程的转化应用，解题核心是将高度值代入函数解析式转化为方程问题，需要准确运用根的判别式判断方程解的情况、熟练求解一元二次方程，最终用计算结果验证实际问题的结论。
【难度系数】
0.75
（1）要判断小球高度能否达到50m，只需将h=50代入高度与时间的函数关系式，转化为关于t的一元二次方程，通过判断方程是否有实数根即可得出结论：若方程有实根说明存在对应时间使小球达到该高度，无实根则不能达到。
（2）要判断小明的说法是否正确，先将建筑物高度h=25代入函数关系式，求解一元二次方程得到两次高度等于25m对应的时间值，计算两个时间的差值后与3s对比即可。
【解析】
(1) 小球的高度不能达到50 m。
理由：当$h=50$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=50$，
整理得$t^2-6t+10=0$。
$\because \Delta=(-6)^2-4×1×10=36-40=-4＜0$，
$\therefore$该一元二次方程无实数根，
$\therefore$小球的高度不能达到50 m。
(2) 小明的说法不正确。
理由：当$h=25$时，代入函数关系式$h=-5t^2+30t$，得
$-5t^2+30t=25$，
整理得$t^2-6t+5=0$，
解得$t_1=1$，$t_2=5$。
两次小球高度为25 m的时间间隔为$5-1=4(\mathrm{s})$，不等于3 s，
$\therefore$小明的说法不正确。
【答案】
(1) 小球的高度不能达到50 m；
(2) 小明的说法不正确，两次间隔时间为4 s。
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合竖直上抛的实际场景，考查二次函数与一元二次方程的转化应用，解题核心是将高度值代入函数解析式转化为方程问题，需要准确运用根的判别式判断方程解的情况、熟练求解一元二次方程，最终用计算结果验证实际问题的结论。
【难度系数】
0.75
【即学即练】
2. 某圆形喷水池的中心有一座雕塑OA，该喷水池从A点向四周喷水，其截面示意图如图所示，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落地点，第一象限内的水柱是抛物线$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+5$的一部分，第二象限内的水柱与第一象限内的水柱关于y轴对称，则CD的长为
2. 某圆形喷水池的中心有一座雕塑OA，该喷水池从A点向四周喷水，其截面示意图如图所示，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落地点，第一象限内的水柱是抛物线$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+5$的一部分，第二象限内的水柱与第一象限内的水柱关于y轴对称，则CD的长为
18
m.答案
2. 18
解析
【分析】
要计算CD的长度，需先确定C、D两点的坐标：已知第一象限水柱对应的抛物线解析式，且第二象限水柱与第一象限水柱关于y轴对称。第一步先求第一象限水柱与x轴交点D的坐标，第二步利用轴对称性质得到C点坐标，第三步计算两点的距离即可。
【解析】
先求第一象限内水柱与x轴交点D的坐标：
令抛物线$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+5$中$y=0$，代入得：
$0=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+5$
移项得：$\dfrac{1}{5}(x-4)^2=5$
两边同乘5得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得$x_1=9$，$x_2=-1$
因为D在第一象限的x轴上，$x＞0$，故舍去$x=-1$，得D点坐标为$(9,0)$。
由于第二象限水柱与第一象限水柱关于y轴对称，因此落地点C与D关于y轴对称，可得C点坐标为$(-9,0)$。
则$CD=9-(-9)=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18
【知识点】
二次函数的实际应用，关于y轴对称的坐标特征，二次函数与x轴交点求解
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的应用，解题核心是利用二次函数求与x轴的交点，再结合轴对称性质得到另一侧交点坐标，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要计算CD的长度，需先确定C、D两点的坐标：已知第一象限水柱对应的抛物线解析式，且第二象限水柱与第一象限水柱关于y轴对称。第一步先求第一象限水柱与x轴交点D的坐标，第二步利用轴对称性质得到C点坐标，第三步计算两点的距离即可。
【解析】
先求第一象限内水柱与x轴交点D的坐标：
令抛物线$y=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+5$中$y=0$，代入得：
$0=-\dfrac{1}{5}(x-4)^2+5$
移项得：$\dfrac{1}{5}(x-4)^2=5$
两边同乘5得：$(x-4)^2=25$
开平方得：$x-4=\pm5$
解得$x_1=9$，$x_2=-1$
因为D在第一象限的x轴上，$x＞0$，故舍去$x=-1$，得D点坐标为$(9,0)$。
由于第二象限水柱与第一象限水柱关于y轴对称，因此落地点C与D关于y轴对称，可得C点坐标为$(-9,0)$。
则$CD=9-(-9)=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18
【知识点】
二次函数的实际应用，关于y轴对称的坐标特征，二次函数与x轴交点求解
【点评】
本题结合生活中的喷泉水柱场景考查二次函数的应用，解题核心是利用二次函数求与x轴的交点，再结合轴对称性质得到另一侧交点坐标，解题思路清晰，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
【典型例题3】二次函数$y=ax^2+bx+c(a＞0)$的自变量与对应的函数值如下表所示，则关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0$的一个根的取值范围为（）
A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
【答案】B
A.$2.01＜x＜2.02$
B.$2.02＜x＜2.03$
C.$2.03＜x＜2.04$
D.$x＞2.04$
【答案】B
答案
B
解析
【分析】
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的根的范围，首先明确方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当函数值在某两个相邻的自变量取值处由负变为正（或由正变为负）时，这两个自变量之间一定存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个根。接下来只需从表格中找到$y$在0两侧的相邻$x$值即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以$y=0$时对应的$x$的取值在$2.02$和$2.03$之间，即方程的一个根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算方程的根
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题核心是利用函数值的正负变化判断方程根所在的区间，只要掌握二者的关联就能快速解题，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
要确定方程$ax^2+bx+c=0$的根的范围，首先明确方程的根就是二次函数$y=ax^2+bx+c$中函数值$y=0$时对应的自变量$x$的取值。由于二次函数的图象是连续的曲线，当函数值在某两个相邻的自变量取值处由负变为正（或由正变为负）时，这两个自变量之间一定存在一个$x$使得$y=0$，也就是方程的一个根。接下来只需从表格中找到$y$在0两侧的相邻$x$值即可。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=0$的根对应二次函数$y=ax^2+bx+c$中$y=0$时$x$的取值。
观察表格中的数据：
当$x=2.02$时，$y=-0.01＜0$；
当$x=2.03$时，$y=0.02＞0$。
因为二次函数图象是连续的，所以$y=0$时对应的$x$的取值在$2.02$和$2.03$之间，即方程的一个根的取值范围是$2.02＜x＜2.03$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，估算方程的根
【点评】
本题考查二次函数与一元二次方程的对应关系，解题核心是利用函数值的正负变化判断方程根所在的区间，只要掌握二者的关联就能快速解题，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.8
