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【典型例题 2】如图,某农户准备用长24 m 的铁栅栏围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形羊圈 ABCD 和一块边长为 1 m 的正方形空地 CEFG.设 AB = x(单位:m),羊的活动范围(图中阴影部分)的面积为 S(单位:m²).
(1)求 S 关于 x 的函数解析式.
(2)求羊的活动范围的最大面积.
【解】(1)∵AB=x,
∴BC=22−2x.
∴S=x·(22−2x)−1×1=−2x²+22x−1.
∵BC＞1,
∴22−2x＞1.
解不等式,得 x＜10.5.
∵x＞0,
∴x 的取值范围为 0＜x＜10.5.
∴S=−2x²+22x−1(0＜x＜10.5).
(2)S=−2x²+22x−1=−2(x²−11x+30.25)+59.5=−2(x−5.5)²+59.5.
当 x=5.5 时,S 有最大值,最大值为 59.5.
因此,羊的活动范围的最大面积为59.5 m².
规律方法 解决最大面积问题的一般方法:
利用几何图形的面积公式得到二次函数解析式.有限制条件的要求出自变量的取值范围,并结合二次函数图象的开口方向判断在何处取得最值;在无限制条件的题目中,面积的最值就是抛物线顶点的纵坐标.
(1)求 S 关于 x 的函数解析式.
(2)求羊的活动范围的最大面积.
【解】(1)∵AB=x,
∴BC=22−2x.
∴S=x·(22−2x)−1×1=−2x²+22x−1.
∵BC＞1,
∴22−2x＞1.
解不等式,得 x＜10.5.
∵x＞0,
∴x 的取值范围为 0＜x＜10.5.
∴S=−2x²+22x−1(0＜x＜10.5).
(2)S=−2x²+22x−1=−2(x²−11x+30.25)+59.5=−2(x−5.5)²+59.5.
当 x=5.5 时,S 有最大值,最大值为 59.5.
因此,羊的活动范围的最大面积为59.5 m².
规律方法 解决最大面积问题的一般方法:
利用几何图形的面积公式得到二次函数解析式.有限制条件的要求出自变量的取值范围,并结合二次函数图象的开口方向判断在何处取得最值;在无限制条件的题目中,面积的最值就是抛物线顶点的纵坐标.
答案
解：(1) ∵AB = x m，铁栅栏总长为24 m，
∴BC = 24 - 2x - 2×1 = 22 - 2x (m)。
羊的活动范围面积为矩形ABCD的面积减去边长为1 m的正方形CEFG的面积，因此：
$S = x·(22 - 2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$。
由实际边长为正的条件，得$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$，
解得$0＜x＜10.5$，
∴S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\quad(0＜x＜10.5)$。
(2) 将二次函数配方得：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x-5.5)^2+59.5$，
∵$a=-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在自变量取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为59.5。
答：羊的活动范围的最大面积为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
∴BC = 24 - 2x - 2×1 = 22 - 2x (m)。
羊的活动范围面积为矩形ABCD的面积减去边长为1 m的正方形CEFG的面积，因此：
$S = x·(22 - 2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$。
由实际边长为正的条件，得$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$，
解得$0＜x＜10.5$，
∴S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\quad(0＜x＜10.5)$。
(2) 将二次函数配方得：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x-5.5)^2+59.5$，
∵$a=-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在自变量取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为59.5。
答：羊的活动范围的最大面积为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
(1) 求S关于x的函数解析式时，首先明确阴影部分面积=矩形ABCD的面积-正方形CEFG的面积。已知AB=x，我们需要先推导BC的长度：栅栏总长24m，AD靠墙无需栅栏，垂直于墙的边有2条长度为x的边，另外正方形CEFG有2条长1m的边属于栅栏部分，因此可得BC=24-2x-2×1=22-2x；再代入面积公式得到S的表达式，最后结合实际边长为正的要求，即x＞0且BC＞1，求出自变量x的取值范围即可。
(2) 求最大面积属于二次函数最值问题，先将所得二次函数解析式配方成顶点式，结合二次项系数判断抛物线开口方向，再验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在范围内则顶点纵坐标即为最大值。
【解析】
(1) 已知AB = x m，铁栅栏总长为24 m，
垂直于墙的两段边总长为2x，正方形CEFG有2条边长为1m的边属于栅栏部分，因此BC的长度为：
$BC = 24 - 2x - 2×1 = 22 - 2x \ (\mathrm{m})$
阴影部分面积为矩形ABCD面积减去正方形CEFG的面积，因此：
$S = x·(22 - 2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$
由实际边长为正的条件，得不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$
解得$0＜x＜10.5$
因此S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\quad(0＜x＜10.5)$。
(2) 将二次函数配方变形为顶点式：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x^2-11x)-1=-2(x^2-11x+30.25) + 60.5 -1=-2(x-5.5)^2+59.5$
∵二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在自变量取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为59.5。
答：羊的活动范围的最大面积为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-2x^2+22x-1(0＜x＜10.5)$
(2) $59.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的实际应用题，解题核心是准确根据栅栏总长度求出矩形的边长表达式，再结合二次函数的性质求解最值，需注意实际问题中自变量的取值范围会影响最值的取值位置，不能直接套用顶点纵坐标而忽略取值范围验证。
【难度系数】
0.7
(1) 求S关于x的函数解析式时，首先明确阴影部分面积=矩形ABCD的面积-正方形CEFG的面积。已知AB=x，我们需要先推导BC的长度：栅栏总长24m，AD靠墙无需栅栏，垂直于墙的边有2条长度为x的边，另外正方形CEFG有2条长1m的边属于栅栏部分，因此可得BC=24-2x-2×1=22-2x；再代入面积公式得到S的表达式，最后结合实际边长为正的要求，即x＞0且BC＞1，求出自变量x的取值范围即可。
(2) 求最大面积属于二次函数最值问题，先将所得二次函数解析式配方成顶点式，结合二次项系数判断抛物线开口方向，再验证顶点横坐标是否在自变量取值范围内，若在范围内则顶点纵坐标即为最大值。
【解析】
(1) 已知AB = x m，铁栅栏总长为24 m，
垂直于墙的两段边总长为2x，正方形CEFG有2条边长为1m的边属于栅栏部分，因此BC的长度为：
$BC = 24 - 2x - 2×1 = 22 - 2x \ (\mathrm{m})$
阴影部分面积为矩形ABCD面积减去正方形CEFG的面积，因此：
$S = x·(22 - 2x) - 1×1 = -2x^2 + 22x - 1$
由实际边长为正的条件，得不等式组：
$\begin{cases}x＞0 \\ 22-2x＞1\end{cases}$
解得$0＜x＜10.5$
因此S关于x的函数解析式为$S=-2x^2+22x-1\quad(0＜x＜10.5)$。
(2) 将二次函数配方变形为顶点式：
$S=-2x^2+22x-1=-2(x^2-11x)-1=-2(x^2-11x+30.25) + 60.5 -1=-2(x-5.5)^2+59.5$
∵二次项系数$a=-2＜0$，抛物线开口向下，且顶点横坐标$x=5.5$在自变量取值范围$0＜x＜10.5$内，
∴当$x=5.5$时，S取得最大值，最大值为59.5。
答：羊的活动范围的最大面积为$59.5\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) $S=-2x^2+22x-1(0＜x＜10.5)$
(2) $59.5\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数最值求解；自变量取值范围确定
【点评】
本题是二次函数与几何面积结合的实际应用题，解题核心是准确根据栅栏总长度求出矩形的边长表达式，再结合二次函数的性质求解最值，需注意实际问题中自变量的取值范围会影响最值的取值位置，不能直接套用顶点纵坐标而忽略取值范围验证。
【难度系数】
0.7
【即学即练】
2.某小区计划把一块长 40 m、宽 30 m 的矩形空地改建成健身广场,设计方案如图所示.已知阴影部分为 4 个全等的矩形花坛,每个花坛的长比宽多 4 m,其余部分为健身活动区域.设每个花坛的长为 x(单位:m)(6≤x≤10),健身活动区域的面积为 S(单位:m²).
(1)求 S 关于 x 的函数解析式.
(2)求健身活动区域的最大面积.
2.某小区计划把一块长 40 m、宽 30 m 的矩形空地改建成健身广场,设计方案如图所示.已知阴影部分为 4 个全等的矩形花坛,每个花坛的长比宽多 4 m,其余部分为健身活动区域.设每个花坛的长为 x(单位:m)(6≤x≤10),健身活动区域的面积为 S(单位:m²).
(1)求 S 关于 x 的函数解析式.
(2)求健身活动区域的最大面积.
答案
2. 【解】(1)根据题意,得 S=40×30−4x(x−4)=−4x²+16x+1 200(6≤x≤10).
(2)S=−4x²+16x+1 200=−4(x−2)²+1 216.
当6≤x≤10时,S随x的增大而减小.
∴当x=6时,S取最大值,最大值为−4×(6−2)²+1 216=1 152.
∴健身活动区域的最大面积为1 152 m².
(2)S=−4x²+16x+1 200=−4(x−2)²+1 216.
当6≤x≤10时,S随x的增大而减小.
∴当x=6时,S取最大值,最大值为−4×(6−2)²+1 216=1 152.
∴健身活动区域的最大面积为1 152 m².
解析
【分析】
(1) 求健身活动区域面积S的函数解析式，可先计算整块矩形空地的总面积，再减去4个全等矩形花坛的总面积即可。已知每个花坛长为x m，长比宽多4 m，则宽为$(x-4)\ \mathrm{m}$，分别表示出空地总面积和4个花坛的总面积后作差整理，结合x的取值范围即可得到函数解析式。
(2) 求健身活动区域的最大面积，即求二次函数在$6≤ x≤10$范围内的最大值。先将二次函数配方为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围分析函数单调性，即可找到取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 矩形空地的总面积为$40×30=1200\ \mathrm{m^2}$。
由题意得，每个花坛的宽为$(x-4)\ \mathrm{m}$，4个花坛的总面积为$4x(x-4)\ \mathrm{m^2}$，因此：
$S=1200-4x(x-4)$
整理得$S=-4x^2+16x+1200\quad(6≤ x≤10)$。
(2) 将二次函数解析式配方：
$S=-4x^2+16x+1200=-4(x-2)^2+1216$
$\because$二次项系数$-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$x＞2$时，S随x的增大而减小，结合取值范围$6≤ x≤10$，可知该区间内S随x的增大而减小，
$\therefore$当$x=6$时，S取得最大值，代入得：
$S=-4×(6-2)^2+1216=1152$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+16x+1200\quad(6≤ x≤10)$
(2) $1152\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
列二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是准确根据数量关系列出函数解析式，再结合自变量的取值范围和二次函数的单调性求解最值，需注意实际问题中函数最值要结合定义域判断，不可直接取顶点处的值。
【难度系数】
0.7
(1) 求健身活动区域面积S的函数解析式，可先计算整块矩形空地的总面积，再减去4个全等矩形花坛的总面积即可。已知每个花坛长为x m，长比宽多4 m，则宽为$(x-4)\ \mathrm{m}$，分别表示出空地总面积和4个花坛的总面积后作差整理，结合x的取值范围即可得到函数解析式。
(2) 求健身活动区域的最大面积，即求二次函数在$6≤ x≤10$范围内的最大值。先将二次函数配方为顶点式，判断开口方向和对称轴，再结合自变量的取值范围分析函数单调性，即可找到取最大值时对应的x值，代入计算即可得到最大面积。
【解析】
(1) 矩形空地的总面积为$40×30=1200\ \mathrm{m^2}$。
由题意得，每个花坛的宽为$(x-4)\ \mathrm{m}$，4个花坛的总面积为$4x(x-4)\ \mathrm{m^2}$，因此：
$S=1200-4x(x-4)$
整理得$S=-4x^2+16x+1200\quad(6≤ x≤10)$。
(2) 将二次函数解析式配方：
$S=-4x^2+16x+1200=-4(x-2)^2+1216$
$\because$二次项系数$-4＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，
$\therefore$当$x＞2$时，S随x的增大而减小，结合取值范围$6≤ x≤10$，可知该区间内S随x的增大而减小，
$\therefore$当$x=6$时，S取得最大值，代入得：
$S=-4×(6-2)^2+1216=1152$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+16x+1200\quad(6≤ x≤10)$
(2) $1152\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
列二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的实际应用
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题核心是准确根据数量关系列出函数解析式，再结合自变量的取值范围和二次函数的单调性求解最值，需注意实际问题中函数最值要结合定义域判断，不可直接取顶点处的值。
【难度系数】
0.7
