基础知识·预习
问题1 举例说明什么叫作分式方程.
问题2 怎样解分式方程？解分式方程时需要注意什么？

解：
问题1：分母中含有未知数的方程叫作分式方程。
例如：方程$\frac{1}{x-2}=1$，$\frac{2}{x}+3=\frac{5}{x+1}$都是分式方程。
问题2：解分式方程的步骤：
1. 去分母：方程两边同时乘各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；
2. 解这个得到的整式方程；
3. 验根：把整式方程的解代入最简公分母检验。
解分式方程需要注意：
① 去分母时，方程的所有项都要乘最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
② 必须进行验根，若整式方程的解使最简公分母的值为0，该解是增根，原分式方程无解。

【典型例题 1】下列关于 $ x $ 的式子：
①$\frac{x-1}{5}=5$；②$\frac{1}{x}=\frac{3}{x-1}$；③$x^2+\frac{1}{x}$；
④$\frac{x}{π}-2x=-1$；⑤$\frac{2}{x-3}=2$，其中是分式方程的有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】①分母中不含未知数，是整式方程；②是分式方程；③不是方程，是一个代数式；④分母中不含未知数，是整式方程；⑤是分式方程。

B

根据分式方程的定义：分母中含有未知数的等式叫做分式方程，逐一判断：①分母是常数5，不含未知数，属于整式方程；②分母含有未知数x，是分式方程；③是代数式，不是等式，不属于方程；④分母是π，π为常数不含未知数，属于整式方程；⑤分母含有未知数x，是分式方程。综上符合要求的分式方程共2个。

【答案】B
【即学即练】
1. 下列关于$x$的方程：
① $\frac{x-1}{2} + 3 = x$；② $4x + \frac{2}{x} + 8 = 0$；
③ $-\frac{6}{x+3} = 5$；④ $x^2 -9x =2$；⑤ $\frac{1}{x}=2$，其中是分式方程的有 （）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

1.C 【解析】①与④是整式方程;②③⑤是分式方程。

【典型例题2】解分式方程：
(1)$\frac{x}{x+2}=\frac{2}{x-1}+1$；
(2)$\frac{3-x}{x-4}=\frac{1}{4-x}-2$。
思路导引 将分式方程转化为整式方程，求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解。
【解】(1)方程两边乘$(x+2)(x-1)$，得$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$，
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+2)(x-1)≠0$，所以，原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2)方程两边乘$x-4$，得$3-x=-1-2(x-4)$，解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，
因此$x=4$不是原分式方程的解。
所以，原分式方程无解。
规律方法 1.解分式方程
(1)基本思路：将分式方程化为整式方程。
(2)具体做法：去分母，即将方程两边乘最简公分母。

解：
(1) 方程两边乘$(x+2)(x-1)$，得
$x(x-1)=2(x+2)+(x+2)(x-1)$
解得$x=-\frac{1}{2}$。
检验：当$x=-\frac{1}{2}$时，$(x+2)(x-1)≠0$，
所以原分式方程的解为$x=-\frac{1}{2}$。
(2) 方程两边乘$x-4$，得
$3-x=-1-2(x-4)$
解得$x=4$。
检验：当$x=4$时，$x-4=0$，
因此$x=4$不是原分式方程的解。
所以原分式方程无解。