【典型例题2】如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,AB＝DC,∠1＝∠2.求证:AC＝BD.

思路导引 先利用“AAS”证明△AOB与△DOC全等,得到OA＝OD,OB＝OC,利用线段和差关系即得AC＝BD.
【证明】在△AOB和△DOC中,
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2,\\∠ AOB=∠ DOC,\\AB=DC,\end{array} $
所以△AOB≌△DOC(AAS),
所以OA＝OD,OB＝OC,
所以OA＋OC＝OD＋OB,即AC＝BD.
规律方法 “ASA”与“AAS”可互相转化:只要两个三角形的两组角分别相等,则其第三组角也相等,所以两角及一边分别相等的两个三角形一定全等.无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可判定两个三角形全等.

证明：在△AOB和△DOC中，
$\begin{cases}∠1=∠2,\\∠AOB=∠DOC,\\AB=DC,\end{cases}$
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
∴OA=OD，OB=OC，
∴OA+OC=OD+OB，
即AC=BD。

2.(2024·江苏镇江中考改编)如图，∠C=∠D=90°,∠CBA=∠DAB.
(1)求证:△ABC≌△BAD;
(2)若∠DAB=70°,求∠CAB的度数.

(1)【证明】在△ABC 和△BAD 中，
$\begin{cases}∠C=∠D=90°,\\∠CBA=∠DAB,\\AB=BA,\end{cases}$
所以△ABC≌△BAD(AAS).
(2)【解】因为∠DAB = 70°, ∠D = 90°, 所以∠DBA = 90° - 70° = 20°. 由(1)知△ABC ≌△BAD,得∠CAB=∠DBA=20°.

1. 如图，若$AD=AC$，$∠ BAD=∠ CAE$，则添加一个条件不能证明$△ ABC ≌ △ AED$的是（）

A.$AB=AE$
B.$∠ B=∠ E$
C.$∠ C=∠ D$
D.$BC=DE$

（第1题图）
（第2题图）

因为∠BAD=∠CAE,所以∠BAD +∠CAD=∠CAE +∠CAD,即∠CAB = ∠DAE.
A选项,若添加AB=AE,根据“SAS”可以证明全等;B选项,若添加∠B=∠E,根据“AAS”可以证明全等;C选项,若添加∠C=∠D,根据“ASA”可以证明全等;D选项,若添加BC=DE,则两组边分别相等,且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等,即不能得到△ABC 和△AED 全等. 故选D.

2.（2024·黑龙江牡丹江中考）如图，在$△ ABC$中，D是AB上一点，$CF// AB$，D，E，F三点共线，请添加一个条件，使得$AE=CE$。

只要△ADE≌△CFE,就能得到AE=CE. 因为CF//AB,所以∠A=∠ECF,∠ADE=∠CFE,因此,添加条件DE=EF 或AD=CF,可根据“AAS”或“ASA”判定△ADE≌△CFE.

3.如图，$AB// CD$，$AE// CF$，$BF=DE$.求证:$AB=CD$.

因为AB//CD,AE//CF,所以∠B=∠D,∠AEB=∠CFD. 因为BF=DE,所以BF+EF=DE+EF,即BE=DF.
在△ABE 和△CDF 中,$\begin{cases}∠B=∠D,\\BE=DF,\\∠AEB=∠CFD,\end{cases}$
所以△ABE≌△CDF(ASA),所以AB=CD.