4. 如图,在△ABC中,AB=AC,AB＞BC,点D在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为18,则△ACF与△BDE的面积之和是 ()

A.6
B.8
C.9
D.12

因为∠1=∠ABE+∠BAE,∠BAC=∠BAE+∠FAC,∠1=∠BAC,所以∠ABE +∠BAE=∠BAE+∠FAC,所以∠ABE=∠FAC.
因为∠1=∠2,所以∠AEB=∠CFA.
在△ABE 和△CAF 中,$\begin{cases}∠ABE=∠CAF,\\∠AEB=∠CFA,\\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABE≌△CAF (AAS),所以$S_{△ ABE}=S_{△ CAF}$,所以$S_{△ ACF}+S_{△ BDE}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=S_{△ ABD}$.
因为△ABC 的面积为18,CD=2BD,所以$S_{△ ABD}=\frac{1}{3}×18=6$,所以△ACF 与△BDE 的面积之和是6.

5.小明沿一段笔直的人行道AB行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语。如图，AB//OH//CD，相邻两条平行线间的距离相等，AC，BD相交于点O，OD⊥CD，垂足为D。已知AB＝20 m，请根据上述信息求标语CD的长。

因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°.
因为AB//CD,所以∠ABO=∠CDO=90°. 由相邻两条平行线间的距离相等,得OB=OD.
在△AOB 和△COD 中,$\begin{cases}∠ABO=∠CDO,\\OB=OD,\\∠AOB=∠COD,\end{cases}$
所以△AOB≌△COD(ASA),
所以CD=AB=20 m.

6. 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且点B和点C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
(1)求证:BD=DE+CE.
(2)若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时(BD＜CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系是怎样的?请予以证明.
(3)若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD＞CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的数量关系是怎样的?请直接写出结果,不需说明理由.

(1)【证明】因为BD⊥AE,CE⊥AE,所以∠ADB=∠AEC=90°. 因为∠BAC=90°,所以∠ABD +∠BAD=∠CAE +∠BAD = 90°, 所以∠ABD =∠CAE. 在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases}∠ABD=∠CAE,\\∠ADB=∠CEA,\\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABD≌△CAE(AAS),所以BD=AE,AD=CE. 因为AE=AD+DE,所以BD=DE+CE.
(2)【解】BD=DE-CE. 证明如下：
因为BD⊥AE,CE⊥AE,
所以∠BDA=∠AEC=90°,
所以∠DAB+∠ABD=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠DAB+∠CAE=90°,
所以∠ABD=∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases}∠BDA=∠AEC,\\∠ABD=∠CAE,\\AB=CA,\end{cases}$
所以△ABD≌△CAE(AAS),所以BD=AE,AD=CE,所以BD=AE=DE-AD=DE-CE.
(3)【解】BD=DE-CE.