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8. 如图3,在矩形$ABCD$中,$DE ⊥ AC$于点$E$,设$∠ ADE=α$,且$\cosα=\dfrac{3}{5},AB=4$,则$AD$的长为$\quad (\quad)$
A.$3$
B.$\dfrac{16}{3}$
C.$\dfrac{20}{3}$
D.$\dfrac{16}{5}$
A.$3$
B.$\dfrac{16}{3}$
C.$\dfrac{20}{3}$
D.$\dfrac{16}{5}$
答案
B
解析
【分析】
解题时先结合矩形的性质得到已知边和直角的关系，再利用“同角的余角相等”推出∠ADE=∠ACD=α，把已知的cosα值转化到Rt△ADC中，先求出AC的长度，最后用勾股定理计算AD的长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4。
∵DE⊥AC，
∴∠ADE + ∠DAE = 90°，
又
∵∠ACD + ∠DAE = 90°，
∴∠ACD = ∠ADE = α。
在Rt△ADC中，$\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}=\cosα=\frac{3}{5}$，
将CD=4代入得：$\frac{4}{AC}=\frac{3}{5}$，解得$AC=\frac{20}{3}$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2 - 4^2}=\sqrt{\frac{400}{9}-\frac{144}{9}}=\sqrt{\frac{256}{9}}=\frac{16}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是矩形与解直角三角形结合的常考题型，解题的核心是利用互余角的关系转化相等的角，将已知三角函数值和已知边长对应到同一个直角三角形中计算，难度不大，需要熟练掌握相关性质和定理。
【难度系数】
0.7
解题时先结合矩形的性质得到已知边和直角的关系，再利用“同角的余角相等”推出∠ADE=∠ACD=α，把已知的cosα值转化到Rt△ADC中，先求出AC的长度，最后用勾股定理计算AD的长即可。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，CD=AB=4。
∵DE⊥AC，
∴∠ADE + ∠DAE = 90°，
又
∵∠ACD + ∠DAE = 90°，
∴∠ACD = ∠ADE = α。
在Rt△ADC中，$\cos∠ ACD=\frac{CD}{AC}=\cosα=\frac{3}{5}$，
将CD=4代入得：$\frac{4}{AC}=\frac{3}{5}$，解得$AC=\frac{20}{3}$。
由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2 - CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2 - 4^2}=\sqrt{\frac{400}{9}-\frac{144}{9}}=\sqrt{\frac{256}{9}}=\frac{16}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是矩形与解直角三角形结合的常考题型，解题的核心是利用互余角的关系转化相等的角，将已知三角函数值和已知边长对应到同一个直角三角形中计算，难度不大，需要熟练掌握相关性质和定理。
【难度系数】
0.7
9. 如图4,现有一把直尺和一块三角尺,其中∠ABC=90°,∠CAB=60°,AB=8,点A对应直尺的刻度为12。将该三角尺沿着直尺边缘平移,使得△ABC移动到△A'B'C',点A'对应直尺的刻度为0,则四边形ACC'A'的面积是 ()
A.96
B.$96\sqrt{3}$
C.192
D.$160\sqrt{3}$
A.96
B.$96\sqrt{3}$
C.192
D.$160\sqrt{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先结合平移的性质判断四边形的形状：平移后对应点连线平行且相等、对应边平行且相等，可推出四边形ACC'A'是平行四边形，平行四边形面积公式为底×高，接下来只需找到对应的底和高即可。底为平移的距离，即点A到点A'的距离，可通过直尺刻度差直接求得；高为点C到直尺边缘（AA'所在直线）的距离，也就是Rt△ABC中BC的长度，利用直角三角形的边角关系即可算出BC，最后代入公式计算面积。
【解析】
∵ △ABC平移得到△A'B'C'，根据平移的性质可得：$AA'// CC'$，$AC// A'C'$
∴ 四边形$ACC'A'$是平行四边形
1. 求平行四边形的底$AA'$：
点A对应刻度为12，点$A'$对应刻度为0，因此$AA'=12-0=12$
2. 求平行四边形的高：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ CAB=60°$，$AB=8$
$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，即$\tan60°=\frac{BC}{8}$
解得$BC=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
∵ $BC⊥ AB$，AB与AA'共线在直尺边缘上，
∴ BC就是平行四边形$ACC'A'$的高
3. 计算面积：
$S_{平行四边形ACC'A'}=底×高=AA'× BC=12×8\sqrt{3}=96\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；平行四边形面积计算；解直角三角形
【点评】
本题综合考查平移性质、平行四边形面积计算和直角三角形边角关系，解题关键是正确判断四边形形状，准确找到平行四边形对应的底和高，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平移的性质判断四边形的形状：平移后对应点连线平行且相等、对应边平行且相等，可推出四边形ACC'A'是平行四边形，平行四边形面积公式为底×高，接下来只需找到对应的底和高即可。底为平移的距离，即点A到点A'的距离，可通过直尺刻度差直接求得；高为点C到直尺边缘（AA'所在直线）的距离，也就是Rt△ABC中BC的长度，利用直角三角形的边角关系即可算出BC，最后代入公式计算面积。
【解析】
∵ △ABC平移得到△A'B'C'，根据平移的性质可得：$AA'// CC'$，$AC// A'C'$
∴ 四边形$ACC'A'$是平行四边形
1. 求平行四边形的底$AA'$：
点A对应刻度为12，点$A'$对应刻度为0，因此$AA'=12-0=12$
2. 求平行四边形的高：
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ CAB=60°$，$AB=8$
$\tan∠ CAB=\frac{BC}{AB}$，即$\tan60°=\frac{BC}{8}$
解得$BC=8×\sqrt{3}=8\sqrt{3}$
∵ $BC⊥ AB$，AB与AA'共线在直尺边缘上，
∴ BC就是平行四边形$ACC'A'$的高
3. 计算面积：
$S_{平行四边形ACC'A'}=底×高=AA'× BC=12×8\sqrt{3}=96\sqrt{3}$
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；平行四边形面积计算；解直角三角形
【点评】
本题综合考查平移性质、平行四边形面积计算和直角三角形边角关系，解题关键是正确判断四边形形状，准确找到平行四边形对应的底和高，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
10. (2025·自贡)如图5,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上。若∠A=90°,tanB=$\frac{1}{2}$,A(-4,3),则点G的坐标为 ()
A.(11,-4)
B.(10,-3)
C.(12,-3)
D.(9,-4)
A.(11,-4)
B.(10,-3)
C.(12,-3)
D.(9,-4)
答案
B
解析
【分析】
解题时先利用平移性质：平移前后对应点的平移向量完全相同，原点O平移后对应G，所以G的坐标等于平移向量。第一步先根据A点坐标用勾股定理算出OA的长度；第二步结合直角三角形中tanB的数值求出AB的长度；第三步设平移向量为(h,k)，根据E、F都在坐标轴的条件推导平移向量的坐标，结合选项排除错误答案，最终确定G的坐标。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知A(-4,3)，O为坐标原点，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$
2. 在$Rt△ ABO$中，$∠ A=90°$，$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，代入$OA=5$得：
$\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}$，解得$AB=10$
3. 设平移向量为$(h,k)$，根据平移性质：
点A平移后对应点E的坐标为$(-4+h,3+k)$，点O平移后对应点G的坐标为$(h,k)$，E、F均在坐标轴上。
4. 若E在x轴上，则E的纵坐标为0，即$3+k=0$，得$k=-3$，因此G的纵坐标为-3，排除纵坐标为-4的A、D选项。
5. 验证剩余选项：
若G为$(10,-3)$，即$h=10$，则E坐标为$(-4+10,3-3)=(6,0)$，在x轴上符合要求；此时F为B平移后的点，若F在y轴上，则B的横坐标为$-10$，结合斜边$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=5\sqrt{5}$，算得B点坐标为$(-10,-5)$，验证AB长度为10符合条件，此时F坐标为$(0,-8)$，在y轴上，完全符合题意。
若G为$(12,-3)$，则B横坐标为-12，$OB^2=144+By^2＞125$，不符合斜边长度要求，排除C。
【答案】B
【知识点】
平移的性质，直角三角形的边角关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查平移性质和直角三角形的计算，解题时结合选项用排除法可以简化运算，核心是掌握平移前后对应点的坐标变化规律。
【难度系数】
0.6
解题时先利用平移性质：平移前后对应点的平移向量完全相同，原点O平移后对应G，所以G的坐标等于平移向量。第一步先根据A点坐标用勾股定理算出OA的长度；第二步结合直角三角形中tanB的数值求出AB的长度；第三步设平移向量为(h,k)，根据E、F都在坐标轴的条件推导平移向量的坐标，结合选项排除错误答案，最终确定G的坐标。
【解析】
1. 计算OA的长度：已知A(-4,3)，O为坐标原点，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$
2. 在$Rt△ ABO$中，$∠ A=90°$，$\tan B=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{OA}{AB}=\frac{1}{2}$，代入$OA=5$得：
$\frac{5}{AB}=\frac{1}{2}$，解得$AB=10$
3. 设平移向量为$(h,k)$，根据平移性质：
点A平移后对应点E的坐标为$(-4+h,3+k)$，点O平移后对应点G的坐标为$(h,k)$，E、F均在坐标轴上。
4. 若E在x轴上，则E的纵坐标为0，即$3+k=0$，得$k=-3$，因此G的纵坐标为-3，排除纵坐标为-4的A、D选项。
5. 验证剩余选项：
若G为$(10,-3)$，即$h=10$，则E坐标为$(-4+10,3-3)=(6,0)$，在x轴上符合要求；此时F为B平移后的点，若F在y轴上，则B的横坐标为$-10$，结合斜边$OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=5\sqrt{5}$，算得B点坐标为$(-10,-5)$，验证AB长度为10符合条件，此时F坐标为$(0,-8)$，在y轴上，完全符合题意。
若G为$(12,-3)$，则B横坐标为-12，$OB^2=144+By^2＞125$，不符合斜边长度要求，排除C。
【答案】B
【知识点】
平移的性质，直角三角形的边角关系，勾股定理
【点评】
本题综合考查平移性质和直角三角形的计算，解题时结合选项用排除法可以简化运算，核心是掌握平移前后对应点的坐标变化规律。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 点$M(-\sin60°,\cos60°)$关于$x$轴对称的点的坐标是。
11. 点$M(-\sin60°,\cos60°)$关于$x$轴对称的点的坐标是。
答案
解：
$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
$\because$ 平面直角坐标系中，点关于$x$轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，
$\therefore$ 点$M$关于$x$轴对称的点的坐标是$\boldsymbol{(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})}$。
$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
$\because$ 平面直角坐标系中，点关于$x$轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，
$\therefore$ 点$M$关于$x$轴对称的点的坐标是$\boldsymbol{(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})}$。
解析
【分析】
解决这道题需分两步思考：第一步先利用特殊角的三角函数值确定点M的具体坐标，第二步根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征计算对称点坐标。首先要准确记忆60°角的正弦、余弦值，得到点M的横、纵坐标；再明确关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，代入即可算出结果。
【解析】
$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
$\because$ 平面直角坐标系中，点关于$x$轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，
$\therefore$ 点$M$关于$x$轴对称的点的横坐标仍为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，纵坐标为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
【知识点】
特殊角的三角函数值；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将特殊角的三角函数计算与平面直角坐标系的对称性质相结合，核心考查对基础概念和常用数值的记忆掌握情况，解题关键是准确识记特殊角的三角函数值和对称点的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8
解决这道题需分两步思考：第一步先利用特殊角的三角函数值确定点M的具体坐标，第二步根据平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征计算对称点坐标。首先要准确记忆60°角的正弦、余弦值，得到点M的横、纵坐标；再明确关于x轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数的规律，代入即可算出结果。
【解析】
$\because \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cos60°=\frac{1}{2}$，
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$。
$\because$ 平面直角坐标系中，点关于$x$轴对称的点的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，
$\therefore$ 点$M$关于$x$轴对称的点的横坐标仍为$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，纵坐标为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
$(-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2})$
【知识点】
特殊角的三角函数值；关于x轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，将特殊角的三角函数计算与平面直角坐标系的对称性质相结合，核心考查对基础概念和常用数值的记忆掌握情况，解题关键是准确识记特殊角的三角函数值和对称点的坐标变化规律。
【难度系数】
0.8
12. (2024·哈尔滨)△ABC是直角三角形，$AB=2\sqrt{3}$，∠ABC=30°，则AC的长为。
答案
解：分两种情况讨论：
1. 当∠ACB=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$；
2. 当∠BAC=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\tan30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$。
综上，AC的长为$\sqrt{3}$或$2$。
1. 当∠ACB=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$；
2. 当∠BAC=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\tan30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$。
综上，AC的长为$\sqrt{3}$或$2$。
解析
【分析】
题目仅说明△ABC是直角三角形，未明确直角的顶点，已知∠ABC=30°，因此直角只能是∠ACB或∠BAC（∠ABC为30°不可能是直角），需分两种情况讨论：①当∠ACB=90°时，AC是∠B的对边，AB是斜边，可借助正弦函数计算AC长度；②当∠BAC=90°时，AC是∠B的对边，AB是∠B的邻边，可借助正切函数计算AC长度，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠ACB=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$；
2. 当∠BAC=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\tan30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$。
综上，AC的长为$\sqrt{3}$或$2$。
【答案】
$\sqrt{3}$或$2$
【知识点】
分类讨论思想，锐角三角函数应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅考虑其中一种直角情况导致漏解，解题时需仔细审题，明确已知条件的限制，熟练运用特殊角的三角函数值求解直角三角形边长。
【难度系数】
0.6
题目仅说明△ABC是直角三角形，未明确直角的顶点，已知∠ABC=30°，因此直角只能是∠ACB或∠BAC（∠ABC为30°不可能是直角），需分两种情况讨论：①当∠ACB=90°时，AC是∠B的对边，AB是斜边，可借助正弦函数计算AC长度；②当∠BAC=90°时，AC是∠B的对边，AB是∠B的邻边，可借助正切函数计算AC长度，最后综合两种情况得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当∠ACB=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$；
2. 当∠BAC=90°时，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，$AB=2\sqrt{3}$，
$AC = AB·\tan30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 2$。
综上，AC的长为$\sqrt{3}$或$2$。
【答案】
$\sqrt{3}$或$2$
【知识点】
分类讨论思想，锐角三角函数应用，特殊角的三角函数值
【点评】
本题易错点是忽略直角顶点的不确定性，仅考虑其中一种直角情况导致漏解，解题时需仔细审题，明确已知条件的限制，熟练运用特殊角的三角函数值求解直角三角形边长。
【难度系数】
0.6
13. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan B=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，则$\sin A=$ 。
答案
$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆直角三角形中锐角三角函数的定义：正切值是角的对边比邻边，正弦值是角的对边比斜边。我们可以先根据已知的$\tan B$的比值，用设参数的方法表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边的长度，最后根据$\sin A$的定义代入边长化简即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由锐角三角函数的定义得：$\tan B=\dfrac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
设$AC=2\sqrt{5}k$，$BC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5}k)^2+(5k)^2}=\sqrt{20k^2+25k^2}=\sqrt{45k^2}=3\sqrt{5}k$，
又$\sin A=\dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BC}{AB}$，
代入边长得：$\sin A=\dfrac{5k}{3\sqrt{5}k}=\dfrac{5}{3\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是直角三角形边角关系的基础题型，核心考查对锐角三角函数对应边角关系的掌握，设参数求边长比值是解决此类无具体边长的三角函数比值问题的常用方法，熟练掌握各三角函数的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆直角三角形中锐角三角函数的定义：正切值是角的对边比邻边，正弦值是角的对边比斜边。我们可以先根据已知的$\tan B$的比值，用设参数的方法表示出两条直角边的长度，再用勾股定理求出斜边的长度，最后根据$\sin A$的定义代入边长化简即可得到结果。
【解析】
解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
由锐角三角函数的定义得：$\tan B=\dfrac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{∠B的邻边}}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$，
设$AC=2\sqrt{5}k$，$BC=5k$（$k＞0$），
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5}k)^2+(5k)^2}=\sqrt{20k^2+25k^2}=\sqrt{45k^2}=3\sqrt{5}k$，
又$\sin A=\dfrac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BC}{AB}$，
代入边长得：$\sin A=\dfrac{5k}{3\sqrt{5}k}=\dfrac{5}{3\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，二次根式化简
【点评】
本题是直角三角形边角关系的基础题型，核心考查对锐角三角函数对应边角关系的掌握，设参数求边长比值是解决此类无具体边长的三角函数比值问题的常用方法，熟练掌握各三角函数的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
14. (2025·扬州)如图6①,棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上,其中水面高度$BM=7\ \mathrm{cm}$。将此正方体放在坡角为$α$的斜坡上,此时水面$MN$恰好与点$A$齐平,其主视图如图6②所示,则$\tanα=$。
答案
$\boldsymbol{\frac{4}{9}}$
解析
【分析】
解题核心是抓住容器倾斜前后水的体积不变这一隐含条件。首先计算水平放置时水的体积，进而得到无水部分的体积；再结合直棱柱体积公式求出主视图中无水直角三角形的直角边长；最后利用水面始终水平、同角的余角相等的性质，将坡角α转化为直角三角形的内角，即可求出其正切值。
【解析】
1. 计算水和无水部分的体积：
正方体棱长为9 cm，水平放置时水面高度为7 cm，因此水的体积为：
$V_{水}=9×9×7=567\ \mathrm{cm}^3$
正方体总容积为$V_{总}=9×9×9=729\ \mathrm{cm}^3$，故无水部分体积为：
$V_{空}=729-567=162\ \mathrm{cm}^3$
2. 求无水区域横截面的直角边长：
容器倾斜后，无水部分为直棱柱，横截面为主视图中的$\mathrm{Rt}△ ADN$，棱柱的长等于正方体棱长9 cm。设$△ ADN$的面积为$S$，由直棱柱体积公式$V=S× \mathrm{棱长}$得：
$S=\frac{V_{空}}{9}=\frac{162}{9}=18\ \mathrm{cm}^2$
已知正方形$ABCD$中$AD=9\ \mathrm{cm}$，$∠ D=90°$，因此$S_{△ ADN}=\frac{1}{2}× AD× DN$，代入数据得：
$18=\frac{1}{2}×9× DN$，解得$DN=4\ \mathrm{cm}$
3. 计算$\tanα$：
水面$AN$为水平线，正方形中$AB⊥ BC$，因此$∠α$与$∠ BAN$互余，$∠ DAN$也与$∠ BAN$互余，故$∠α=∠ DAN$。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$\tan∠ DAN=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$，因此$\tanα=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{9}}$
【知识点】
体积不变原理，直角三角形边角关系，坡角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何综合应用，解题关键是挖掘出体积不变和水面水平两个隐含条件，通过角度转化将未知角放到直角三角形中求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题核心是抓住容器倾斜前后水的体积不变这一隐含条件。首先计算水平放置时水的体积，进而得到无水部分的体积；再结合直棱柱体积公式求出主视图中无水直角三角形的直角边长；最后利用水面始终水平、同角的余角相等的性质，将坡角α转化为直角三角形的内角，即可求出其正切值。
【解析】
1. 计算水和无水部分的体积：
正方体棱长为9 cm，水平放置时水面高度为7 cm，因此水的体积为：
$V_{水}=9×9×7=567\ \mathrm{cm}^3$
正方体总容积为$V_{总}=9×9×9=729\ \mathrm{cm}^3$，故无水部分体积为：
$V_{空}=729-567=162\ \mathrm{cm}^3$
2. 求无水区域横截面的直角边长：
容器倾斜后，无水部分为直棱柱，横截面为主视图中的$\mathrm{Rt}△ ADN$，棱柱的长等于正方体棱长9 cm。设$△ ADN$的面积为$S$，由直棱柱体积公式$V=S× \mathrm{棱长}$得：
$S=\frac{V_{空}}{9}=\frac{162}{9}=18\ \mathrm{cm}^2$
已知正方形$ABCD$中$AD=9\ \mathrm{cm}$，$∠ D=90°$，因此$S_{△ ADN}=\frac{1}{2}× AD× DN$，代入数据得：
$18=\frac{1}{2}×9× DN$，解得$DN=4\ \mathrm{cm}$
3. 计算$\tanα$：
水面$AN$为水平线，正方形中$AB⊥ BC$，因此$∠α$与$∠ BAN$互余，$∠ DAN$也与$∠ BAN$互余，故$∠α=∠ DAN$。
在$\mathrm{Rt}△ ADN$中，$\tan∠ DAN=\frac{DN}{AD}=\frac{4}{9}$，因此$\tanα=\frac{4}{9}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4}{9}}$
【知识点】
体积不变原理，直角三角形边角关系，坡角的定义
【点评】
本题结合生活场景考查几何综合应用，解题关键是挖掘出体积不变和水面水平两个隐含条件，通过角度转化将未知角放到直角三角形中求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
