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15. (2024·深圳) 如图7,在△ABC中,AB=BC,tanB=$\dfrac{5}{12}$,D为BC上一点,若满足CD=$\dfrac{5}{8}$BD,过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E,则$\dfrac{CE}{AC}=$。
答案
$\boldsymbol{\dfrac{20}{21}}$
解析
【分析】
遇到已知三角函数值和线段比例的几何题，优先通过作垂线构造直角三角形，结合相似三角形求解：①先根据CD和BD的比例设参数表示各段线段长，利用tanB的值求出AH、BH等线段的长度；②通过垂直关系得到同角的余角相等，证明△AHD∽△DFE；③利用平行关系证明△AHC∽△EFC，得到EF和CF的数量关系，代入相似三角形的比例式求出CF的长度，最后通过相似比得到CE与AC的比值。
【解析】
解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F。
设$BD=8k$，则$CD=\frac{5}{8}BD=5k$，$BC=BD+CD=13k$。
∵$AB=BC$，
∴$AB=13k$。
在$Rt△ ABH$中，$\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{5}{12}$，$AB=13k$，由勾股定理得：$AH=5k$，$BH=12k$，
∴$HC=BC-BH=13k-12k=k$，$HD=BH-BD=12k-8k=4k$。
∵$DE⊥ AD$，
∴$∠ ADE=90°$，即$∠ ADH+∠ EDF=90°$，
又
∵$∠ ADH+∠ DAH=90°$，
∴$∠ DAH=∠ EDF$，
又
∵$∠ AHD=∠ DFE=90°$，
∴$△ AHD∽△ DFE$，
∴$\frac{AH}{DF}=\frac{HD}{EF}$ ①。
∵$AH⊥ BC$，$EF⊥ BC$，
∴$AH// EF$，
∴$△ AHC∽△ EFC$，
∴$\frac{AH}{EF}=\frac{HC}{CF}=\frac{AC}{CE}$，即$\frac{5k}{EF}=\frac{k}{CF}$，得$EF=5CF$。
设$CF=y$，则$EF=5y$，$DF=CD+CF=5k+y$，代入①式得：
$\frac{5k}{5k+y}=\frac{4k}{5y}$，约去$k$后交叉相乘得：$25y=4(5k+y)$，
解得$21y=20k$，即$y=\frac{20k}{21}$，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{HC}=\frac{y}{k}=\frac{\frac{20k}{21}}{k}=\frac{20}{21}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{20}{21}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形、三角函数的应用，通过作垂线构造直角三角形和相似模型是解题的关键，合理设参数可以有效简化计算过程。
【难度系数】
0.3
遇到已知三角函数值和线段比例的几何题，优先通过作垂线构造直角三角形，结合相似三角形求解：①先根据CD和BD的比例设参数表示各段线段长，利用tanB的值求出AH、BH等线段的长度；②通过垂直关系得到同角的余角相等，证明△AHD∽△DFE；③利用平行关系证明△AHC∽△EFC，得到EF和CF的数量关系，代入相似三角形的比例式求出CF的长度，最后通过相似比得到CE与AC的比值。
【解析】
解：过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F。
设$BD=8k$，则$CD=\frac{5}{8}BD=5k$，$BC=BD+CD=13k$。
∵$AB=BC$，
∴$AB=13k$。
在$Rt△ ABH$中，$\tan B=\frac{AH}{BH}=\frac{5}{12}$，$AB=13k$，由勾股定理得：$AH=5k$，$BH=12k$，
∴$HC=BC-BH=13k-12k=k$，$HD=BH-BD=12k-8k=4k$。
∵$DE⊥ AD$，
∴$∠ ADE=90°$，即$∠ ADH+∠ EDF=90°$，
又
∵$∠ ADH+∠ DAH=90°$，
∴$∠ DAH=∠ EDF$，
又
∵$∠ AHD=∠ DFE=90°$，
∴$△ AHD∽△ DFE$，
∴$\frac{AH}{DF}=\frac{HD}{EF}$ ①。
∵$AH⊥ BC$，$EF⊥ BC$，
∴$AH// EF$，
∴$△ AHC∽△ EFC$，
∴$\frac{AH}{EF}=\frac{HC}{CF}=\frac{AC}{CE}$，即$\frac{5k}{EF}=\frac{k}{CF}$，得$EF=5CF$。
设$CF=y$，则$EF=5y$，$DF=CD+CF=5k+y$，代入①式得：
$\frac{5k}{5k+y}=\frac{4k}{5y}$，约去$k$后交叉相乘得：$25y=4(5k+y)$，
解得$21y=20k$，即$y=\frac{20k}{21}$，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{CF}{HC}=\frac{y}{k}=\frac{\frac{20k}{21}}{k}=\frac{20}{21}$。
【答案】
$\boldsymbol{\dfrac{20}{21}}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了相似三角形、三角函数的应用，通过作垂线构造直角三角形和相似模型是解题的关键，合理设参数可以有效简化计算过程。
【难度系数】
0.3
三、解答题(共75分)
16. (8分)已知α是锐角,且$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。计算$4\cos^2(α - 15°) + 2\sqrt{1 - 2\tan(α + 15°) + \tan^2(α + 15°)} - \sqrt{12}$的值。
16. (8分)已知α是锐角,且$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$。计算$4\cos^2(α - 15°) + 2\sqrt{1 - 2\tan(α + 15°) + \tan^2(α + 15°)} - \sqrt{12}$的值。
答案
解：
∵ α是锐角，$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $α + 15° = 60°$
解得 $α = 45°$
将$α=45°$代入待求式，得$α - 15° = 30°$，$α + 15° = 60°$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4\cos^2 30° + 2\sqrt{(1-\tan60°)^2} - \sqrt{12}\\&=4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2|\,1-\tan60°\,| - 2\sqrt{3}\\&=4×\frac{3}{4} + 2(\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}\\&=3 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}\\&=1\end{aligned}$
∵ α是锐角，$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $α + 15° = 60°$
解得 $α = 45°$
将$α=45°$代入待求式，得$α - 15° = 30°$，$α + 15° = 60°$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4\cos^2 30° + 2\sqrt{(1-\tan60°)^2} - \sqrt{12}\\&=4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2|\,1-\tan60°\,| - 2\sqrt{3}\\&=4×\frac{3}{4} + 2(\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}\\&=3 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}\\&=1\end{aligned}$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，已知α是锐角，且$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，结合特殊角的三角函数值，可先求出α的度数；接下来观察待求式，根号内的多项式符合完全平方公式的结构，可先将其变形为平方的形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，最后将α的度数代入，代入对应特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ α是锐角，$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $α + 15° = 60°$
解得 $α = 45°$
将$α=45°$代入待求式，得$α - 15° = 30°$，$α + 15° = 60°$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4\cos^2 30° + 2\sqrt{(1-\tan60°)^2} - \sqrt{12}\\&=4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2|\,1-\tan60°\,| - 2\sqrt{3}\\&=4×\frac{3}{4} + 2(\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}\\&=3 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是三角函数与代数式化简结合的基础题，解题关键是先根据已知三角函数值确定锐角α的度数，化简时要注意二次根式开方结果的非负性，去绝对值时需先判断绝对值内式子的正负，避免符号错误，计算时要牢记常见特殊角的三角函数值，保证代入数值准确。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手，已知α是锐角，且$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，结合特殊角的三角函数值，可先求出α的度数；接下来观察待求式，根号内的多项式符合完全平方公式的结构，可先将其变形为平方的形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$化简，最后将α的度数代入，代入对应特殊角的三角函数值计算即可得到结果。
【解析】
∵ α是锐角，$\sin(α + 15°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴ $α + 15° = 60°$
解得 $α = 45°$
将$α=45°$代入待求式，得$α - 15° = 30°$，$α + 15° = 60°$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=4\cos^2 30° + 2\sqrt{(1-\tan60°)^2} - \sqrt{12}\\&=4×(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 2|\,1-\tan60°\,| - 2\sqrt{3}\\&=4×\frac{3}{4} + 2(\sqrt{3}-1) - 2\sqrt{3}\\&=3 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式的性质，绝对值的化简
【点评】
本题是三角函数与代数式化简结合的基础题，解题关键是先根据已知三角函数值确定锐角α的度数，化简时要注意二次根式开方结果的非负性，去绝对值时需先判断绝对值内式子的正负，避免符号错误，计算时要牢记常见特殊角的三角函数值，保证代入数值准确。
【难度系数】
0.7
17. (9分)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$b=\frac{\sqrt{15}}{2}$，解这个直角三角形。
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(\frac{\sqrt{15}}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{15}{4}}=\sqrt{5}$
$\because \tan A=\frac{a}{b}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
综上，$c=\sqrt{5}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(\frac{\sqrt{15}}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{15}{4}}=\sqrt{5}$
$\because \tan A=\frac{a}{b}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
综上，$c=\sqrt{5}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$。
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出三角形中所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的两条直角边a、b，未知量为斜边c、锐角∠A和∠B，解题思路如下：①求斜边：直角三角形中已知两条直角边求斜边，可直接用勾股定理计算；②求锐角：利用正切函数的定义（锐角的正切=对边/邻边）算出∠A的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠A的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(\frac{\sqrt{15}}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{15}{4}}=\sqrt{5}$
$\because \tan A=\frac{a}{b}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
【答案】
$c=\sqrt{5}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查直角三角形相关性质、公式的运用，解题时按照“先求边、再求角”的思路代入公式计算即可，注意准确记忆特殊角的三角函数值，避免二次根式运算失误。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的目标是求出三角形中所有未知的边和角，本题已知Rt△ABC的两条直角边a、b，未知量为斜边c、锐角∠A和∠B，解题思路如下：①求斜边：直角三角形中已知两条直角边求斜边，可直接用勾股定理计算；②求锐角：利用正切函数的定义（锐角的正切=对边/邻边）算出∠A的正切值，结合特殊角的三角函数值得到∠A的度数，再根据直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠B的度数。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由勾股定理得：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(\frac{\sqrt{15}}{2})^2}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{15}{4}}=\sqrt{5}$
$\because \tan A=\frac{a}{b}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
$\therefore ∠ A=30°$，
$\therefore ∠ B=90°-∠ A=90°-30°=60°$。
【答案】
$c=\sqrt{5}$，$∠ A=30°$，$∠ B=60°$
【知识点】
勾股定理；锐角三角函数的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心考查直角三角形相关性质、公式的运用，解题时按照“先求边、再求角”的思路代入公式计算即可，注意准确记忆特殊角的三角函数值，避免二次根式运算失误。
【难度系数】
0.8
18.(9分)如图8,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=\sqrt{3}$,$D$为$BC$边上一点,且$BD=2AD$,$∠ ADC=60°$。求$BC$的长。
答案
解：
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
由$\sin∠ ADC = \frac{AC}{AD}$，得：
$AD = \frac{AC}{\sin60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$
$\because BD=2AD$，
$\therefore BD=2×2=4$。
又由$\tan∠ ADC = \frac{AC}{DC}$，得：
$DC = \frac{AC}{\tan60°} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$
$\therefore BC = BD + DC = 4 + 1 = 5$。
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
由$\sin∠ ADC = \frac{AC}{AD}$，得：
$AD = \frac{AC}{\sin60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$
$\because BD=2AD$，
$\therefore BD=2×2=4$。
又由$\tan∠ ADC = \frac{AC}{DC}$，得：
$DC = \frac{AC}{\tan60°} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$
$\therefore BC = BD + DC = 4 + 1 = 5$。
解析
【分析】
要求BC的长度，观察图形可知BC=BD+DC，因此只需分别求出BD和DC的长度即可。已知BD=2AD，所以首先需要求出AD的长度；而AD和DC都在Rt△ADC中，该三角形已知∠C=90°，∠ADC=60°，AC=√3，可利用特殊角的三角函数值分别求出AD和DC，再计算BD，最后求和即可得到BC的长。
【解析】
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
由$\sin∠ ADC = \frac{AC}{AD}$，得：
$AD = \frac{AC}{\sin60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$
$\because BD=2AD$，
$\therefore BD=2×2=4$。
又由$\tan∠ ADC = \frac{AC}{DC}$，得：
$DC = \frac{AC}{\tan60°} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$
$\therefore BC = BD + DC = 4 + 1 = 5$。
【答案】
$5$
【知识点】
1.解直角三角形 2.特殊角的三角函数值 3.线段和差计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是找到包含已知条件的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出对应线段长度，再结合线段的数量关系求解最终结果，解题时要注意找准三角函数对应的边的关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
要求BC的长度，观察图形可知BC=BD+DC，因此只需分别求出BD和DC的长度即可。已知BD=2AD，所以首先需要求出AD的长度；而AD和DC都在Rt△ADC中，该三角形已知∠C=90°，∠ADC=60°，AC=√3，可利用特殊角的三角函数值分别求出AD和DC，再计算BD，最后求和即可得到BC的长。
【解析】
在$Rt△ ADC$中，$∠ C=90°$，$∠ ADC=60°$，
由$\sin∠ ADC = \frac{AC}{AD}$，得：
$AD = \frac{AC}{\sin60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$
$\because BD=2AD$，
$\therefore BD=2×2=4$。
又由$\tan∠ ADC = \frac{AC}{DC}$，得：
$DC = \frac{AC}{\tan60°} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$
$\therefore BC = BD + DC = 4 + 1 = 5$。
【答案】
$5$
【知识点】
1.解直角三角形 2.特殊角的三角函数值 3.线段和差计算
【点评】
本题是解直角三角形的基础应用题，解题核心是找到包含已知条件的直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出对应线段长度，再结合线段的数量关系求解最终结果，解题时要注意找准三角函数对应的边的关系，避免混淆。
【难度系数】
0.8
