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19.(9分)为了学生的安全,某校决定改造如图9所示的步梯路段。已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度为$i_1=1:\sqrt{3}$,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为$i_2=1:4$,求斜坡AF的长度。(结果精确到0.01 m。参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732,\sqrt{17}\approx4.122$)
答案
解：过点D作DG⊥EF于点G。
在Rt△DEG中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB=DG=5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABF中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$，
代入$\sqrt{17}\approx4.122$，得$AF\approx5×4.122=20.61\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AF的长度约为20.61 m。
在Rt△DEG中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB=DG=5\ \mathrm{m}$。
在Rt△ABF中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$，
代入$\sqrt{17}\approx4.122$，得$AF\approx5×4.122=20.61\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AF的长度约为20.61 m。
解析
【分析】
要计算斜坡AF的长度，首先AF在Rt△ABF中，已知其坡度$i_2=1:4$，若能求出垂直高度AB的长度，即可得到水平宽度BF的长度，再通过勾股定理计算AF。AB是矩形ABCD的边，和步梯DE的垂直高度相等，因此先过D作$DG⊥ EF$，在Rt△DEG中利用DE的长度和坡度$i_1$，结合勾股定理求出DG的长度，即可得到AB的长度，后续逐步计算即可得到AF的长度。
【解析】
过点D作$DG⊥ EF$于点G。
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
化简得$4x^2=100$，解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB=DG=5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$，
代入$\sqrt{17}\approx4.122$，得$AF\approx5×4.122=20.61\ \mathrm{m}$。
【答案】
斜坡AF的长度约为20.61 m
【知识点】
坡度坡角问题，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题，解题核心是准确理解坡度的定义，结合矩形性质完成高度的转换，再用勾股定理计算斜边长度，侧重考查基础概念的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
要计算斜坡AF的长度，首先AF在Rt△ABF中，已知其坡度$i_2=1:4$，若能求出垂直高度AB的长度，即可得到水平宽度BF的长度，再通过勾股定理计算AF。AB是矩形ABCD的边，和步梯DE的垂直高度相等，因此先过D作$DG⊥ EF$，在Rt△DEG中利用DE的长度和坡度$i_1$，结合勾股定理求出DG的长度，即可得到AB的长度，后续逐步计算即可得到AF的长度。
【解析】
过点D作$DG⊥ EF$于点G。
在$\mathrm{Rt}△ DEG$中，坡度$i_1=DG:EG=1:\sqrt{3}$，
设$DG=x\ \mathrm{m}$，则$EG=\sqrt{3}x\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：$DG^2 + EG^2 = DE^2$，
即$x^2 + (\sqrt{3}x)^2 = 10^2$，
化简得$4x^2=100$，解得$x=5$（负值舍去），
$\therefore DG=5\ \mathrm{m}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
$\therefore AB=DG=5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，坡度$i_2=AB:BF=1:4$，
$\therefore BF=4AB=20\ \mathrm{m}$，
由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2 + BF^2}=\sqrt{5^2 + 20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}$，
代入$\sqrt{17}\approx4.122$，得$AF\approx5×4.122=20.61\ \mathrm{m}$。
【答案】
斜坡AF的长度约为20.61 m
【知识点】
坡度坡角问题，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于解直角三角形实际应用的基础题，解题核心是准确理解坡度的定义，结合矩形性质完成高度的转换，再用勾股定理计算斜边长度，侧重考查基础概念的应用能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
20.(9分)(2024·甘南州)某校数学兴趣小组通过对如图10所示靠墙的遮阳篷进行实际测量,得到以下数据:遮阳篷AB长为5米,与水平面的夹角为16°,且靠墙端离地高度BC为4米,当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时,求阴影CD的长。(参考数据:sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)
答案
解：
过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，
由题意得∠C=90°，
∴四边形FCAG是矩形，
∴FC=AG，CG=AF。
在Rt△AFB中，∠BAF=16°，AB=5米，
$AF = AB·\cos16° \approx 5×0.96 = 4.8$（米），
$BF = AB·\sin16° \approx 5×0.28 = 1.4$（米）。
∵BC=4米，
∴$AG = FC = BC - BF = 4 - 1.4 = 2.6$（米）。
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴$DG = AG = 2.6$（米）。
∵CG=AF=4.8米，且$CG = CD + DG$，
∴$CD = CG - DG = 4.8 - 2.6 = 2.2$（米）。
答：阴影CD的长约为2.2米。
过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，
由题意得∠C=90°，
∴四边形FCAG是矩形，
∴FC=AG，CG=AF。
在Rt△AFB中，∠BAF=16°，AB=5米，
$AF = AB·\cos16° \approx 5×0.96 = 4.8$（米），
$BF = AB·\sin16° \approx 5×0.28 = 1.4$（米）。
∵BC=4米，
∴$AG = FC = BC - BF = 4 - 1.4 = 2.6$（米）。
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴$DG = AG = 2.6$（米）。
∵CG=AF=4.8米，且$CG = CD + DG$，
∴$CD = CG - DG = 4.8 - 2.6 = 2.2$（米）。
答：阴影CD的长约为2.2米。
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先需要构造直角三角形和矩形把已知条件转化为可计算的线段长度：过点A分别作BC、CE的垂线，得到Rt△ABF和矩形FCAG，利用三角函数计算出AB的水平分量AF、竖直分量BF；再结合BC的长度求出AG的长度，根据太阳光线与地面夹角为45°，可知Rt△AGD是等腰直角三角形，得到DG=AG；最后利用线段和差关系CG=CD+DG，代入已知长度即可求出CD。
【解析】
过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，
由题意得∠C=90°，
∴四边形FCAG是矩形，
∴FC=AG，CG=AF。
在Rt△AFB中，∠BAF=16°，AB=5米，
$AF = AB·\cos16° \approx 5×0.96 = 4.8$（米），
$BF = AB·\sin16° \approx 5×0.28 = 1.4$（米）。
∵BC=4米，
∴$AG = FC = BC - BF = 4 - 1.4 = 2.6$（米）。
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴$DG = AG = 2.6$（米）。
∵CG=AF=4.8米，且$CG = CD + DG$，
∴$CD = CG - DG = 4.8 - 2.6 = 2.2$（米）。
【答案】
阴影CD的长约为2.2米
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；三角函数的定义
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的相关知识，解题的核心是通过添加辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何线段计算问题，需要熟练掌握三角函数的定义和特殊角的三角函数性质。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先需要构造直角三角形和矩形把已知条件转化为可计算的线段长度：过点A分别作BC、CE的垂线，得到Rt△ABF和矩形FCAG，利用三角函数计算出AB的水平分量AF、竖直分量BF；再结合BC的长度求出AG的长度，根据太阳光线与地面夹角为45°，可知Rt△AGD是等腰直角三角形，得到DG=AG；最后利用线段和差关系CG=CD+DG，代入已知长度即可求出CD。
【解析】
过点A作AF⊥BC于点F，作AG⊥CE于点G，
由题意得∠C=90°，
∴四边形FCAG是矩形，
∴FC=AG，CG=AF。
在Rt△AFB中，∠BAF=16°，AB=5米，
$AF = AB·\cos16° \approx 5×0.96 = 4.8$（米），
$BF = AB·\sin16° \approx 5×0.28 = 1.4$（米）。
∵BC=4米，
∴$AG = FC = BC - BF = 4 - 1.4 = 2.6$（米）。
在Rt△AGD中，∠ADG=45°，
∴$DG = AG = 2.6$（米）。
∵CG=AF=4.8米，且$CG = CD + DG$，
∴$CD = CG - DG = 4.8 - 2.6 = 2.2$（米）。
【答案】
阴影CD的长约为2.2米
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的性质；三角函数的定义
【点评】
本题结合生活场景考查解直角三角形的相关知识，解题的核心是通过添加辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为几何线段计算问题，需要熟练掌握三角函数的定义和特殊角的三角函数性质。
【难度系数】
0.7
21. (10分)2026年6月6日是第31个全国“爱眼日”。某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动。
如图11,当张角$∠ AOB=150°$时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想。小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角$∠ A'OB=108°$时(点$A'$是A的对应点),用眼舒适度较为理想。求此时顶部边缘$A'$处离桌面的高度$A'D$的长。(结果精确到1 cm。参考数据:$\sin72°\approx0.95,\cos72°\approx0.31,\tan72°\approx3.08$)
如图11,当张角$∠ AOB=150°$时,顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10 cm,此时用眼舒适度不太理想。小组成员调整张角大小继续探究,最后联系黄金比知识,发现当张角$∠ A'OB=108°$时(点$A'$是A的对应点),用眼舒适度较为理想。求此时顶部边缘$A'$处离桌面的高度$A'D$的长。(结果精确到1 cm。参考数据:$\sin72°\approx0.95,\cos72°\approx0.31,\tan72°\approx3.08$)
答案
解：
在$\mathrm{Rt}△ ACO$中，$∠ ACO=90°$，
$\because ∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-∠ AOB=30°$。
由$\sin∠ AOC=\dfrac{AC}{OA}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，得：
$OA=\dfrac{AC}{\sin30°}=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}}=20\ \mathrm{cm}$
由题意可知$OA'=OA=20\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DO$中，$∠ A'DO=90°$，
$\because ∠ A'OB=108°$，
$\therefore ∠ A'OD=180°-∠ A'OB=72°$。
由$\sin∠ A'OD=\dfrac{A'D}{OA'}$，得：
$A'D=OA'·\sin72°\approx20×0.95=19\ \mathrm{cm}$
答：此时顶部边缘$A'$处离桌面的高度$A'D$的长约为$19\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACO$中，$∠ ACO=90°$，
$\because ∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-∠ AOB=30°$。
由$\sin∠ AOC=\dfrac{AC}{OA}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，得：
$OA=\dfrac{AC}{\sin30°}=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}}=20\ \mathrm{cm}$
由题意可知$OA'=OA=20\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DO$中，$∠ A'DO=90°$，
$\because ∠ A'OB=108°$，
$\therefore ∠ A'OD=180°-∠ A'OB=72°$。
由$\sin∠ A'OD=\dfrac{A'D}{OA'}$，得：
$A'D=OA'·\sin72°\approx20×0.95=19\ \mathrm{cm}$
答：此时顶部边缘$A'$处离桌面的高度$A'D$的长约为$19\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先明确笔记本屏幕长度是固定不变的，即$OA'=OA$，这是连接两个直角三角形的关键量。第一步先在$\mathrm{Rt}△ACO$中，根据平角的定义算出$∠ AOC=30°$，已知$AC$的长度，利用$30°$角的正弦值求出$OA$的长度；第二步再在$\mathrm{Rt}△A'DO$中，根据平角的定义算出$∠ A'OD=72°$，已知$OA'=OA$，利用$72°$角的正弦值即可求出$A'D$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACO$中，$∠ ACO=90°$，
$\because ∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-∠ AOB=30°$。
由锐角三角函数定义可知$\sin∠ AOC=\dfrac{AC}{OA}$，将$AC=10\ \mathrm{cm}$代入得：
$OA=\dfrac{AC}{\sin30°}=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}}=20\ \mathrm{cm}$。
由题意得，调整张角前后屏幕长度不变，故$OA'=OA=20\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DO$中，$∠ A'DO=90°$，
$\because ∠ A'OB=108°$，
$\therefore ∠ A'OD=180°-∠ A'OB=72°$。
由$\sin∠ A'OD=\dfrac{A'D}{OA'}$得：
$A'D=OA'·\sin72°\approx20×0.95=19\ \mathrm{cm}$。
【答案】
此时顶部边缘$A'$处离桌面的高度$A'D$的长约为$\boldsymbol{19\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数
3. 平角的性质
【点评】
本题结合生活中的笔记本电脑张角问题考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是抓住“屏幕长度不变”这一隐含的等量关系，结合锐角三角函数的定义列式计算即可，题型贴近生活，能较好地考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确笔记本屏幕长度是固定不变的，即$OA'=OA$，这是连接两个直角三角形的关键量。第一步先在$\mathrm{Rt}△ACO$中，根据平角的定义算出$∠ AOC=30°$，已知$AC$的长度，利用$30°$角的正弦值求出$OA$的长度；第二步再在$\mathrm{Rt}△A'DO$中，根据平角的定义算出$∠ A'OD=72°$，已知$OA'=OA$，利用$72°$角的正弦值即可求出$A'D$的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ACO$中，$∠ ACO=90°$，
$\because ∠ AOB=150°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-∠ AOB=30°$。
由锐角三角函数定义可知$\sin∠ AOC=\dfrac{AC}{OA}$，将$AC=10\ \mathrm{cm}$代入得：
$OA=\dfrac{AC}{\sin30°}=\dfrac{10}{\dfrac{1}{2}}=20\ \mathrm{cm}$。
由题意得，调整张角前后屏幕长度不变，故$OA'=OA=20\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ A'DO$中，$∠ A'DO=90°$，
$\because ∠ A'OB=108°$，
$\therefore ∠ A'OD=180°-∠ A'OB=72°$。
由$\sin∠ A'OD=\dfrac{A'D}{OA'}$得：
$A'D=OA'·\sin72°\approx20×0.95=19\ \mathrm{cm}$。
【答案】
此时顶部边缘$A'$处离桌面的高度$A'D$的长约为$\boldsymbol{19\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
1. 解直角三角形
2. 锐角三角函数
3. 平角的性质
【点评】
本题结合生活中的笔记本电脑张角问题考查解直角三角形的实际应用，解题的核心是抓住“屏幕长度不变”这一隐含的等量关系，结合锐角三角函数的定义列式计算即可，题型贴近生活，能较好地考查学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
