22. (10分)(2024·山西)研学实践:为重温解放军东渡黄河“红色记忆”,学校组织研学活动。同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地,在了解相关历史背景后,利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据。
数据采集:如图12,点A是纪念碑顶部一点,AB的长表示点A到水平地面的距离。航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升,飞行至距离地面20米的点C处时,测得点A的仰角∠ACD=18.4°;然后沿CN方向继续飞行,飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°,当到达点A正上方的点E处时,测得AE=9米……
数据应用:已知图中各点均在同一竖直平面内,E,A,B三点在同一直线上。请根据上述数据,计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长。(结果精确到1米。参考数据:$\sin37°\approx0.60,\cos37°\approx0.80,\tan37°\approx0.75,\sin18.4°\approx0.32,\cos18.4°\approx0.95,\tan18.4°\approx0.33$)

解：过点C作CD⊥EB，垂足为D，
由题意可知，CM⊥MB，EB⊥MB，
∴四边形CMBD是矩形，
∴BD = CM = 20米。
设CD的长度为x米。
在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠ECD=37°，
∵ $\tan∠ ECD = \frac{DE}{CD}$，
∴ $DE = CD·\tan37° \approx 0.75x$。
∵ $DE = AD + AE$，$AE=9$米，
∴ $AD = DE - AE \approx 0.75x - 9$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=18.4°，
∵ $\tan∠ ACD = \frac{AD}{CD}$，
代入$\tan18.4°\approx0.33$得：
$0.33x = 0.75x - 9$
解得$x \approx 21.43$。
∴ $AD \approx 0.33x \approx 7.07$米，
∴ $AB = AD + BD \approx 7.07 + 20 \approx 27$米。
答：纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27米。

【分析】
解题时首先要将实际问题转化为几何问题：第一步，构造辅助线和特殊四边形，过点C作CD⊥EB，结合已知的垂直条件可判定四边形CMBD为矩形，得到BD=CM=20米，将AB拆分为AD+BD，只需计算AD即可；第二步，利用两个直角三角形共边CD的特点，设CD长为x米，先在Rt△CDE中用37°的正切值表示DE，再结合AE=9米用含x的式子表示AD；第三步，在Rt△ACD中用18.4°的正切值建立关于x的方程，求解x后即可算出AD，最终相加得到AB的长度。
【解析】
过点C作CD⊥EB，垂足为D，
由题意可知，CM⊥MB，EB⊥MB，
∴四边形CMBD是矩形，
∴BD = CM = 20米。
设CD的长度为x米。
在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠ECD=37°，
∵ $\tan∠ ECD = \frac{DE}{CD}$，
∴ $DE = CD·\tan37° \approx 0.75x$。
∵ $DE = AD + AE$，$AE=9$米，
∴ $AD = DE - AE \approx 0.75x - 9$。
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=18.4°，
∵ $\tan∠ ACD = \frac{AD}{CD}$，
代入$\tan18.4°\approx0.33$得：
$0.33x = 0.75x - 9$
解得$x \approx 21.43$。
∴ $AD \approx 0.33x \approx 7.07$米，
∴ $AB = AD + BD \approx 7.07 + 20 \approx 27$米。
答：纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长约为27米。
【答案】
27米
【知识点】
解直角三角形应用，矩形的性质，仰角问题
【点评】
本题结合红色研学的真实场景，将几何知识和实际应用相结合，需要学生自主构造辅助线转化几何模型，通过三角函数建立等量关系列方程求解，有效考察了学生的数学建模能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6