23. (11分)初步探究:小明发现,在$0°$~$90°$之间的正弦函数值随着角度的增大而增大,由此猜想$\sin90°=1$,这个猜想得到了老师的肯定。小明接着思考:在以$∠ C$为直角的$\mathrm{Rt}△ ABC$(如图13①)中,$△ ABC$的面积满足$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ab\sin90°$,那么在斜三角形中,是否也有类似结论$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$成立呢?

(1)请你就图13②(锐角三角形的情形)代替小明证明$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$。
拓展探究:(2)依据上述结论,用等式表示$△ ABC$中$\frac{a}{\sin A},\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}$之间的数量关系。
实际应用:(3)如图13③,规划中的一片三角形区域需美化,已知$∠ A=67°,∠ B=53°,AC=80\ \mathrm{m}$,求这片区域的面积。(结果保留根号。参考数据:$\sin53°\approx0.8,\sin67°\approx0.9$)

解：
(1) 证明：过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，
$\sin C = \frac{AD}{AC}$，
$\because AC = b$，
$\therefore AD = b · \sin C$。
又$\because BC = a$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2}ab\sin C$，
即$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C$。
(2) 由面积公式可得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$。
由$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A$，约去$\frac{1}{2}b$得$a\sin C = c\sin A$，即$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$；
由$\frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$，约去$\frac{1}{2}c$得$b\sin A = a\sin B$，即$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
因此三者的数量关系为：
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
(3) 在$△ ABC$中，
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 67° - 53° = 60°$。
由(2)的结论$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$，已知$AC=b=80\ \mathrm{m}$，代入得：
$\frac{80}{\sin53°} = \frac{BC}{\sin67°}$
将$\sin53°\approx0.8$，$\sin67°\approx0.9$代入，解得$BC=90\ \mathrm{m}$。
代入面积公式得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC · \sin C = \frac{1}{2} × 80 × 90 × \sin60° = 1800\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
答：这片区域的面积为$1800\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 要证明锐角三角形中$S_{△ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C$，可通过作高将锐角三角形转化为直角三角形，利用锐角三角函数的定义表示出高，再代入通用的三角形面积公式即可完成证明。
(2) 要推导$\frac{a}{\sin A},\frac{b}{\sin B},\frac{c}{\sin C}$的数量关系，可利用(1)中得到的结论，写出三种不同形式的三角形面积表达式，令其相等后约去公共项，整理即可得到三者的等量关系。
(3) 求解实际应用问题时，先利用三角形内角和定理算出∠C的度数，再借助(2)得到的比例关系求出BC的长度，最后代入(1)的面积公式计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，$∠ ADC=90°$，根据锐角三角函数的定义，$\sin C = \frac{AD}{AC}$，
$\because AC = b$，$\therefore AD = b · \sin C$。
又$\because BC = a$，三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}×底×高$，
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AD = \frac{1}{2}ab\sin C$，即$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C$得证。
(2) 由(1)的结论，可得三角形面积的三种表达形式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$。
对$\frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A$，两边同时约去$\frac{1}{2}b$，可得$a\sin C = c\sin A$，变形得$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$；
对$\frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B$，两边同时约去$\frac{1}{2}c$，可得$b\sin A = a\sin B$，变形得$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。
因此三者的数量关系为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。
(3) 首先根据三角形内角和为180°，计算∠C的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 67° - 53° = 60°$。
已知$AC=b=80\ \mathrm{m}$，由(2)的结论$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$（其中$a=BC$），代入已知条件：
$\frac{80}{\sin53°} = \frac{BC}{\sin67°}$，
将$\sin53°\approx0.8$，$\sin67°\approx0.9$代入，解得$BC=\frac{80×0.9}{0.8}=90\ \mathrm{m}$。
再代入面积公式得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC · \sin C = \frac{1}{2} × 80 × 90 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 1800\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$；
(3) $1800\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
锐角三角函数定义，三角形面积计算，三角形内角和定理
【点评】
本题以直角三角形面积公式为切入点，逐步拓展推导斜三角形的面积公式和边与对应角正弦值的比例关系，最后结合实际场景应用推导结论，考查了转化思想、知识迁移能力和逻辑推理能力，题目设置由浅入深，引导学生自主探究规律并应用规律解决问题。
【难度系数】
0.6