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1. 下列函数是反比例函数的是 （）
A.$y=x+2$
B.$y=2x$
C.$y=\frac{x}{2}$
D.$y=\frac{2}{x}$
A.$y=x+2$
B.$y=2x$
C.$y=\frac{x}{2}$
D.$y=\frac{2}{x}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查反比例函数的判断，解题时首先要回忆反比例函数的定义，明确反比例函数的标准形式：$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），再将每个选项的函数形式与标准形式逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$ y=x+2 $是一次函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项B：$ y=2x $是正比例函数（特殊的一次函数），不符合反比例函数形式，排除；
选项C：$ y=\frac{x}{2} $可变形为$ y=\frac{1}{2}x $，属于正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项D：$ y=\frac{2}{x} $符合反比例函数的标准形式，其中$ k=2≠0 $，是反比例函数。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念；一次函数的识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不同类型函数定义的区分，只要熟记反比例函数的形式特征，就能快速选出正确答案，是函数模块的常规基础题。
【难度系数】
0.9
本题考查反比例函数的判断，解题时首先要回忆反比例函数的定义，明确反比例函数的标准形式：$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，$ k≠0 $），再将每个选项的函数形式与标准形式逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确反比例函数的定义：形如$ y=\frac{k}{x} $（$ k $为常数，且$ k≠0 $）的函数叫做反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$ y=x+2 $是一次函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项B：$ y=2x $是正比例函数（特殊的一次函数），不符合反比例函数形式，排除；
选项C：$ y=\frac{x}{2} $可变形为$ y=\frac{1}{2}x $，属于正比例函数，不符合反比例函数形式，排除；
选项D：$ y=\frac{2}{x} $符合反比例函数的标准形式，其中$ k=2≠0 $，是反比例函数。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的概念；一次函数的识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对不同类型函数定义的区分，只要熟记反比例函数的形式特征，就能快速选出正确答案，是函数模块的常规基础题。
【难度系数】
0.9
2. 若函数$y=(m+2)x^{m^2 -2m -9}$是反比例函数，则$m$的值是（）
A.4或-2
B.4
C.-2
D.-1
A.4或-2
B.4
C.-2
D.-1
答案
B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们可以先根据指数的要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的$m$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量的指数满足：$m^2 - 2m - 9 = -1$
整理方程得：$m^2 - 2m - 8 = 0$
因式分解得：$(m - 4)(m + 2) = 0$
解得：$m = 4$或$m = -2$
2. 自变量的系数不为0：$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$
综上，舍去不符合要求的$m = -2$，最终得$m = 4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数概念的基础易错题，解题的关键是不要遗漏反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，避免误选包含$m=-2$的选项。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确反比例函数的定义要求：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，且$k≠0$），因此需要满足两个条件：一是自变量$x$的指数为$-1$，二是自变量的系数不为0。我们可以先根据指数的要求列方程求出$m$的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的$m$值。
【解析】
根据反比例函数的定义，可得两个约束条件：
1. 自变量的指数满足：$m^2 - 2m - 9 = -1$
整理方程得：$m^2 - 2m - 8 = 0$
因式分解得：$(m - 4)(m + 2) = 0$
解得：$m = 4$或$m = -2$
2. 自变量的系数不为0：$m + 2 ≠ 0$，即$m ≠ -2$
综上，舍去不符合要求的$m = -2$，最终得$m = 4$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的概念；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数概念的基础易错题，解题的关键是不要遗漏反比例函数中比例系数不为0的隐含条件，避免误选包含$m=-2$的选项。
【难度系数】
0.7
3. 反比例函数 $y=-\dfrac{2}{5x}$ 中，$k$ 的值是 （）
A.$2$
B.$-2$
C.$-\dfrac{2}{5}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
A.$2$
B.$-2$
C.$-\dfrac{2}{5}$
D.$-\dfrac{5}{2}$
答案
C
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的标准形式，反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其中$k$是比例系数。解题时只需将题目给出的函数解析式整理为标准形式，和一般式对比即可得到$k$的值。
【解析】
解：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
将给定的函数$y=-\dfrac{2}{5x}$变形为标准形式：
$y=\dfrac{-\dfrac{2}{5}}{x}$
对比标准形式可得，比例系数$k=-\dfrac{2}{5}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题，重点考查对反比例函数一般形式的掌握，解题的关键是将所给函数解析式转化为标准的$y=\dfrac{k}{x}$形式，避免直接把分子的数值错认为$k$。
【难度系数】
0.9
首先回忆反比例函数的标准形式，反比例函数的表达式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k\ne0$），其中$k$是比例系数。解题时只需将题目给出的函数解析式整理为标准形式，和一般式对比即可得到$k$的值。
【解析】
解：反比例函数的一般形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k\ne0$）。
将给定的函数$y=-\dfrac{2}{5x}$变形为标准形式：
$y=\dfrac{-\dfrac{2}{5}}{x}$
对比标准形式可得，比例系数$k=-\dfrac{2}{5}$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题，重点考查对反比例函数一般形式的掌握，解题的关键是将所给函数解析式转化为标准的$y=\dfrac{k}{x}$形式，避免直接把分子的数值错认为$k$。
【难度系数】
0.9
4. 反比例函数 $y=-\dfrac{2}{2x+1}$ 的自变量 $x$ 的取值范围是。
答案
解：分式有意义的条件是分母不为0，因此
$2x + 1 ≠ 0$，
解得 $x ≠ -\dfrac{1}{2}$。
即该反比例函数的自变量$x$的取值范围是$x≠ -\dfrac{1}{2}$。
$2x + 1 ≠ 0$，
解得 $x ≠ -\dfrac{1}{2}$。
即该反比例函数的自变量$x$的取值范围是$x≠ -\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
要确定该函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式为分式形式，根据分式有意义的基本要求，分母不能为0，因此只需令分母对应的代数式不等于0，解出对应的一元一次不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使反比例函数$y=-\dfrac{2}{2x+1}$有意义，需满足分式的分母不为0，即：
$2x + 1 ≠ 0$
移项得$2x≠-1$，系数化为1解得$x≠-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$x≠-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式有意义的条件，函数自变量取值范围，反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，考查基础知识点的直接应用，只要掌握分式有意义的判定规则，能正确解简单一元一次不等式，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9
要确定该函数自变量的取值范围，首先观察函数表达式为分式形式，根据分式有意义的基本要求，分母不能为0，因此只需令分母对应的代数式不等于0，解出对应的一元一次不等式，即可得到x的取值范围。
【解析】
要使反比例函数$y=-\dfrac{2}{2x+1}$有意义，需满足分式的分母不为0，即：
$2x + 1 ≠ 0$
移项得$2x≠-1$，系数化为1解得$x≠-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
$x≠-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
分式有意义的条件，函数自变量取值范围，反比例函数的概念
【点评】
本题属于基础题型，考查基础知识点的直接应用，只要掌握分式有意义的判定规则，能正确解简单一元一次不等式，即可快速求出结果。
【难度系数】
0.9
5. 已知反比例函数$y=\dfrac{10}{x}$,当$y＜5$时,$x$的取值范围是。
答案
解：
由反比例函数$y=\frac{10}{x}$可知自变量$x≠0$，将$y＜5$代入函数式得：
$\frac{10}{x}＜5$
分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，不等式两边同乘正数$x$，不等号方向不变，得$10＜5x$，解得$x＞2$；
2. 当$x＜0$时，$\frac{10}{x}＜0$，显然满足$\frac{10}{x}＜5$，所有$x＜0$的取值都成立。
综上，$x$的取值范围是$x＞2$或$x＜0$。
由反比例函数$y=\frac{10}{x}$可知自变量$x≠0$，将$y＜5$代入函数式得：
$\frac{10}{x}＜5$
分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，不等式两边同乘正数$x$，不等号方向不变，得$10＜5x$，解得$x＞2$；
2. 当$x＜0$时，$\frac{10}{x}＜0$，显然满足$\frac{10}{x}＜5$，所有$x＜0$的取值都成立。
综上，$x$的取值范围是$x＞2$或$x＜0$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确反比例函数的自变量x不能为0，求解y＜5时x的取值范围本质是解分式不等式$\frac{10}{x}＜5$。因为分式分母x的正负会影响不等号的方向，不能直接在不等式两边同乘x，需要分x＞0和x＜0两种情况讨论，也可以结合k=10＞0时反比例函数图像在第一、三象限的特点，分别分析两个象限内满足y＜5的x的范围，最后合并结果即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\dfrac{10}{x}$的自变量$x≠0$，
将$y＜5$代入函数式得：$\dfrac{10}{x}＜5$，分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，不等式两边同时乘正数x，不等号方向不变，可得$10＜5x$，解得$x＞2$；
2. 当$x＜0$时，$\dfrac{10}{x}$为负数，显然满足$\dfrac{10}{x}＜5$，因此所有$x＜0$的取值都符合要求。
综上，x的取值范围是$x＞2$或$x＜0$。
【答案】
$x＞2$或$x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 分式不等式求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数与不等式结合的基础题，易错点是忽略分母x的正负性，直接两边同乘x导致漏解，解题时结合分类讨论思想或反比例函数图像分析，能有效避免出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确反比例函数的自变量x不能为0，求解y＜5时x的取值范围本质是解分式不等式$\frac{10}{x}＜5$。因为分式分母x的正负会影响不等号的方向，不能直接在不等式两边同乘x，需要分x＞0和x＜0两种情况讨论，也可以结合k=10＞0时反比例函数图像在第一、三象限的特点，分别分析两个象限内满足y＜5的x的范围，最后合并结果即可。
【解析】
∵反比例函数$y=\dfrac{10}{x}$的自变量$x≠0$，
将$y＜5$代入函数式得：$\dfrac{10}{x}＜5$，分两种情况讨论：
1. 当$x＞0$时，不等式两边同时乘正数x，不等号方向不变，可得$10＜5x$，解得$x＞2$；
2. 当$x＜0$时，$\dfrac{10}{x}$为负数，显然满足$\dfrac{10}{x}＜5$，因此所有$x＜0$的取值都符合要求。
综上，x的取值范围是$x＞2$或$x＜0$。
【答案】
$x＞2$或$x＜0$
【知识点】
1. 反比例函数的性质
2. 分式不等式求解
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是反比例函数与不等式结合的基础题，易错点是忽略分母x的正负性，直接两边同乘x导致漏解，解题时结合分类讨论思想或反比例函数图像分析，能有效避免出错。
【难度系数】
0.6
6. 写出下列实际问题中因变量与自变量之间的函数关系式,并判断其是否为反比例函数。
(1)某种标号的汽油价格为7.5元/L,所支付油费y元与加油量x L之间的关系；
(2)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧时剩下的蜡烛高度y(cm)与燃烧时间x(h)的函数关系；
(3)京沪高铁全程为1 318 km,某次高铁列车的平均速度v(km/h)与此次列车的全程运行时间t(h)的函数关系；
(4)已知等边三角形的边长为x,则面积y与x之间的关系。
(1)某种标号的汽油价格为7.5元/L,所支付油费y元与加油量x L之间的关系；
(2)一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧时剩下的蜡烛高度y(cm)与燃烧时间x(h)的函数关系；
(3)京沪高铁全程为1 318 km,某次高铁列车的平均速度v(km/h)与此次列车的全程运行时间t(h)的函数关系；
(4)已知等边三角形的边长为x,则面积y与x之间的关系。
答案
解：
(1) 由题意得函数关系式为 $y = 7.5x \ (x ≥ 0)$，该函数是正比例函数，不是反比例函数。
(2) 由题意得函数关系式为 $y = 20 - 5x \ (0 ≤ x ≤ 4)$，该函数是一次函数，不是反比例函数。
(3) 由路程=平均速度×运行时间，得 $vt=1318$，整理得函数关系式为 $v = \frac{1318}{t} \ (t ＞ 0)$，该函数符合反比例函数的定义，是反比例函数。
(4) 边长为$x$的等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，由三角形面积公式得：
$y = \frac{1}{2} · x · \frac{\sqrt{3}}{2}x$，整理得函数关系式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x ＞ 0)$，该函数是二次函数，不是反比例函数。
(1) 由题意得函数关系式为 $y = 7.5x \ (x ≥ 0)$，该函数是正比例函数，不是反比例函数。
(2) 由题意得函数关系式为 $y = 20 - 5x \ (0 ≤ x ≤ 4)$，该函数是一次函数，不是反比例函数。
(3) 由路程=平均速度×运行时间，得 $vt=1318$，整理得函数关系式为 $v = \frac{1318}{t} \ (t ＞ 0)$，该函数符合反比例函数的定义，是反比例函数。
(4) 边长为$x$的等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，由三角形面积公式得：
$y = \frac{1}{2} · x · \frac{\sqrt{3}}{2}x$，整理得函数关系式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x ＞ 0)$，该函数是二次函数，不是反比例函数。
解析
【分析】
解题时先根据每个小问的实际数量关系，列出因变量和自变量的函数关系式，再结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，$k$为常数且$k≠0$，自变量$x≠0$的函数是反比例函数）判断是否为反比例函数，同时要注意自变量的取值范围要符合实际场景。具体每小问思路：(1)利用“总费用=单价×数量”列关系式；(2)利用“剩余高度=原长-已燃烧长度”列关系式；(3)利用“路程=速度×时间”变形得到速度关于时间的关系式；(4)利用等边三角形面积公式推导面积关于边长的关系式。
【解析】
(1) 由“油费=汽油单价×加油量”，得函数关系式为 $y = 7.5x \ (x ≥ 0)$，该函数符合正比例函数形式，不是反比例函数。
(2) 由“剩余蜡烛高度=蜡烛原长-已燃烧长度”，得函数关系式为 $y = 20 - 5x \ (0 ≤ x ≤ 4)$，该函数符合一次函数形式，不是反比例函数。
(3) 由“路程=平均速度×运行时间”，可得$vt=1318$，整理得函数关系式为 $v = \frac{1318}{t} \ (t ＞ 0)$，该函数符合反比例函数的定义，是反比例函数。
(4) 边长为$x$的等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$y = \frac{1}{2} · x · \frac{\sqrt{3}}{2}x$，整理得函数关系式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x ＞ 0)$，该函数符合二次函数形式，不是反比例函数。
【答案】
(1) $y = 7.5x \ (x ≥ 0)$，不是反比例函数；
(2) $y = 20 - 5x \ (0 ≤ x ≤ 4)$，不是反比例函数；
(3) $v = \frac{1318}{t} \ (t ＞ 0)$，是反比例函数；
(4) $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x ＞ 0)$，不是反比例函数。
【知识点】
1. 列实际问题的函数解析式
2. 反比例函数的判定
3. 常见数量关系与几何面积公式
【点评】
本题属于基础概念应用题，需要结合实际场景中的等量关系列函数表达式，再根据反比例函数的定义判断，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，避免忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.8
解题时先根据每个小问的实际数量关系，列出因变量和自变量的函数关系式，再结合反比例函数的定义（形如$y=\frac{k}{x}$，$k$为常数且$k≠0$，自变量$x≠0$的函数是反比例函数）判断是否为反比例函数，同时要注意自变量的取值范围要符合实际场景。具体每小问思路：(1)利用“总费用=单价×数量”列关系式；(2)利用“剩余高度=原长-已燃烧长度”列关系式；(3)利用“路程=速度×时间”变形得到速度关于时间的关系式；(4)利用等边三角形面积公式推导面积关于边长的关系式。
【解析】
(1) 由“油费=汽油单价×加油量”，得函数关系式为 $y = 7.5x \ (x ≥ 0)$，该函数符合正比例函数形式，不是反比例函数。
(2) 由“剩余蜡烛高度=蜡烛原长-已燃烧长度”，得函数关系式为 $y = 20 - 5x \ (0 ≤ x ≤ 4)$，该函数符合一次函数形式，不是反比例函数。
(3) 由“路程=平均速度×运行时间”，可得$vt=1318$，整理得函数关系式为 $v = \frac{1318}{t} \ (t ＞ 0)$，该函数符合反比例函数的定义，是反比例函数。
(4) 边长为$x$的等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}x$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$y = \frac{1}{2} · x · \frac{\sqrt{3}}{2}x$，整理得函数关系式为 $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x ＞ 0)$，该函数符合二次函数形式，不是反比例函数。
【答案】
(1) $y = 7.5x \ (x ≥ 0)$，不是反比例函数；
(2) $y = 20 - 5x \ (0 ≤ x ≤ 4)$，不是反比例函数；
(3) $v = \frac{1318}{t} \ (t ＞ 0)$，是反比例函数；
(4) $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 \ (x ＞ 0)$，不是反比例函数。
【知识点】
1. 列实际问题的函数解析式
2. 反比例函数的判定
3. 常见数量关系与几何面积公式
【点评】
本题属于基础概念应用题，需要结合实际场景中的等量关系列函数表达式，再根据反比例函数的定义判断，解题时要注意自变量的取值范围需符合实际意义，避免忽略取值范围出错。
【难度系数】
0.8
