登录
1. (2025·云南)若点$(1,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数,且$k≠0$)的图象上,则$k=$ ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要计算反比例函数中参数k的值，可利用函数图象上点的坐标性质求解：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标代入函数解析式后等式成立。因此只需将已知点(1,2)的横坐标x=1、纵坐标y=2代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可得到关于k的方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
∵点$(1,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=1$，$y=2$代入解析式可得：
$2=\frac{k}{1}$
解得$k=2$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数参数
【点评】
本题是基础题型，重点考察反比例函数的基本性质，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式这一规律，计算难度低，易得分。
【难度系数】
0.9
要计算反比例函数中参数k的值，可利用函数图象上点的坐标性质求解：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标代入函数解析式后等式成立。因此只需将已知点(1,2)的横坐标x=1、纵坐标y=2代入反比例函数解析式$y=\frac{k}{x}$，即可得到关于k的方程，解方程就能求出k的值。
【解析】
∵点$(1,2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上
∴将$x=1$，$y=2$代入解析式可得：
$2=\frac{k}{1}$
解得$k=2$
【答案】
B
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数参数
【点评】
本题是基础题型，重点考察反比例函数的基本性质，解题核心是掌握函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式这一规律，计算难度低，易得分。
【难度系数】
0.9
2. 已知变量$ y $与变量$ x $之间的对应值如下表：
| $ x $ | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | … | 6 | 3 |
| 1.5 | 1.2 | 1 | … |
则变量$ y $与$ x $之间的函数表达式为，当$ x=-\dfrac{1}{2} $时，$ y= $。
| $ x $ | … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $ y $ | … | 6 | 3 |
| 1.5 | 1.2 | 1 | … |则变量$ y $与$ x $之间的函数表达式为，当$ x=-\dfrac{1}{2} $时，$ y= $。
答案
解：
观察表格中各组对应值，可得$1×6=6$，$2×3=6$，$3×2=6$，$4×1.5=6$，$5×1.2=6$，$6×1=6$，即$x$与$y$的乘积为定值6。
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}~(k≠0)$，
将$x=1$，$y=6$代入得：$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，
因此变量$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=-12$。
观察表格中各组对应值，可得$1×6=6$，$2×3=6$，$3×2=6$，$4×1.5=6$，$5×1.2=6$，$6×1=6$，即$x$与$y$的乘积为定值6。
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}~(k≠0)$，
将$x=1$，$y=6$代入得：$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，
因此变量$y$与$x$之间的函数表达式为$\boldsymbol{y=\frac{6}{x}}$。
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=-12$。
解析
【分析】
解题时首先观察表格中x和y的对应值，先计算每组x与y的乘积，判断是否为定值，若乘积为定值则符合反比例函数$xy=k$（k为常数，$k≠0$）的特征；确定为反比例函数后，用待定系数法设出函数表达式，代入一组对应值求出常数k，即可得到函数解析式；最后将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式，计算即可得到对应的y值。
【解析】
1. 求函数表达式：
观察表格中的对应值，计算可得：
$1×6=6$，$2×3=6$，$3×2=6$，$4×1.5=6$，$5×1.2=6$，$6×1=6$，即x与y的乘积为定值6，符合反比例函数的特征。
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，将$x=1,y=6$代入表达式得：
$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，因此变量y与x之间的函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求$x=-\frac{1}{2}$时的y值：
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$y=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=6×(-2)=-12$。
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$；$-12$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数相关知识，解题的关键是通过表格数据发现x和y的乘积为定值，从而判断函数类型，整体属于基础题型，掌握反比例函数的基本特征即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察表格中x和y的对应值，先计算每组x与y的乘积，判断是否为定值，若乘积为定值则符合反比例函数$xy=k$（k为常数，$k≠0$）的特征；确定为反比例函数后，用待定系数法设出函数表达式，代入一组对应值求出常数k，即可得到函数解析式；最后将$x=-\frac{1}{2}$代入解析式，计算即可得到对应的y值。
【解析】
1. 求函数表达式：
观察表格中的对应值，计算可得：
$1×6=6$，$2×3=6$，$3×2=6$，$4×1.5=6$，$5×1.2=6$，$6×1=6$，即x与y的乘积为定值6，符合反比例函数的特征。
设反比例函数表达式为$y=\frac{k}{x}\ (k≠0)$，将$x=1,y=6$代入表达式得：
$6=\frac{k}{1}$，解得$k=6$，因此变量y与x之间的函数表达式为$y=\frac{6}{x}$。
2. 求$x=-\frac{1}{2}$时的y值：
将$x=-\frac{1}{2}$代入$y=\frac{6}{x}$，得：
$y=\frac{6}{-\frac{1}{2}}=6×(-2)=-12$。
【答案】
$y=\dfrac{6}{x}$；$-12$
【知识点】
反比例函数的概念，待定系数法求解析式，函数值计算
【点评】
本题考查反比例函数相关知识，解题的关键是通过表格数据发现x和y的乘积为定值，从而判断函数类型，整体属于基础题型，掌握反比例函数的基本特征即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. (2025·烟台改编)如图1,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,OA=3,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
解析
【分析】
解题需结合菱形性质与反比例函数图象上点的坐标特征推导：第一步，设点C坐标为$(a,b)$，根据菱形边长相等可得$OC=OA=3$，由勾股定理得$a^2+b^2=9$，同时由反比例函数过点C得$k=ab$；第二步，根据菱形对边平行且相等推出点B坐标，再由对称中心为对角线中点，得到点M的坐标；第三步，结合点M也在反比例函数上，列出关于a、b的等式，联立求解得到a、b的值，最终算出k。
【解析】
设点$C$的坐标为$(a,b)$，
$\because$ 四边形$OABC$是菱形，$OA=3$，
$\therefore OC=OA=3$，且点$B$的横坐标为$C$的横坐标加$OA$的长度，纵坐标与$C$相同，即$B(a+3,b)$，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 3^2 = 9$ ①，
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$C$，
$\therefore k = ab$ ②，
$\because M$是菱形的对称中心，为对角线$OB$的中点，
$\therefore M$的坐标为$( \frac{a+3}{2}, \frac{b}{2} )$，
又$\because M$在反比例函数图象上，
$\therefore k = \frac{a+3}{2} × \frac{b}{2} = \frac{b(a+3)}{4}$ ③，
联立②③得：$ab = \frac{b(a+3)}{4}$，
$\because b ≠ 0$（若$b=0$则点$C$在x轴上，无法构成菱形），等式两边同时除以$b$得：
$a = \frac{a+3}{4}$，
解得$a=1$，
将$a=1$代入①得：$1 + b^2 = 9$，解得$b^2=8$，
$\because$ 点$C$在第一象限，$\therefore b=2\sqrt{2}$，
$\therefore k = ab = 1 × 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的图象与性质；中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是利用菱形的性质正确表示出对称中心M的坐标，再结合反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值k建立方程求解，对坐标表示能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题需结合菱形性质与反比例函数图象上点的坐标特征推导：第一步，设点C坐标为$(a,b)$，根据菱形边长相等可得$OC=OA=3$，由勾股定理得$a^2+b^2=9$，同时由反比例函数过点C得$k=ab$；第二步，根据菱形对边平行且相等推出点B坐标，再由对称中心为对角线中点，得到点M的坐标；第三步，结合点M也在反比例函数上，列出关于a、b的等式，联立求解得到a、b的值，最终算出k。
【解析】
设点$C$的坐标为$(a,b)$，
$\because$ 四边形$OABC$是菱形，$OA=3$，
$\therefore OC=OA=3$，且点$B$的横坐标为$C$的横坐标加$OA$的长度，纵坐标与$C$相同，即$B(a+3,b)$，
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = 3^2 = 9$ ①，
$\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点$C$，
$\therefore k = ab$ ②，
$\because M$是菱形的对称中心，为对角线$OB$的中点，
$\therefore M$的坐标为$( \frac{a+3}{2}, \frac{b}{2} )$，
又$\because M$在反比例函数图象上，
$\therefore k = \frac{a+3}{2} × \frac{b}{2} = \frac{b(a+3)}{4}$ ③，
联立②③得：$ab = \frac{b(a+3)}{4}$，
$\because b ≠ 0$（若$b=0$则点$C$在x轴上，无法构成菱形），等式两边同时除以$b$得：
$a = \frac{a+3}{4}$，
解得$a=1$，
将$a=1$代入①得：$1 + b^2 = 9$，解得$b^2=8$，
$\because$ 点$C$在第一象限，$\therefore b=2\sqrt{2}$，
$\therefore k = ab = 1 × 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的图象与性质；中点坐标公式
【点评】
本题是反比例函数与几何图形结合的典型题型，解题核心是利用菱形的性质正确表示出对称中心M的坐标，再结合反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值k建立方程求解，对坐标表示能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
4. 已知$ y $是$ x $的反比例函数，当$ y=-3 $时，$ x=8 $。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数表达式；
(2)当$ y=4 $时，求$ x $的值。
(1)求$ y $与$ x $之间的函数表达式；
(2)当$ y=4 $时，求$ x $的值。
答案
解：
(1) 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=8$，$y=-3$代入表达式，得：
$-3=\frac{k}{8}$
解得$k=-24$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-\frac{24}{x}$。
(2) 将$y=4$代入$y=-\frac{24}{x}$，得：
$4=-\frac{24}{x}$
解得$x=-6$。
(1) 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=8$，$y=-3$代入表达式，得：
$-3=\frac{k}{8}$
解得$k=-24$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-\frac{24}{x}$。
(2) 将$y=4$代入$y=-\frac{24}{x}$，得：
$4=-\frac{24}{x}$
解得$x=-6$。
解析
【分析】
(1) 求解反比例函数表达式时，首先明确反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，仅系数$k$未知，将题目给出的$x=8、y=-3$这组对应值代入标准形式，即可求出$k$的值，进而得到完整的函数表达式。
(2) 得到函数表达式后，已知$y$的取值求$x$，只需将$y=4$代入已求出的函数表达式，解关于$x$的一元一次方程就能得到结果。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=8$，$y=-3$代入表达式，得：
$-3=\frac{k}{8}$
解得$k=-24$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-\frac{24}{x}$。
(2) 将$y=4$代入$y=-\frac{24}{x}$，得：
$4=-\frac{24}{x}$
解得$x=-6$。
【答案】
(1)$y=-\frac{24}{x}$；(2)$x=-6$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查待定系数法求函数解析式的步骤，以及代入函数值求解对应自变量的计算能力，运算难度低，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
(1) 求解反比例函数表达式时，首先明确反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，仅系数$k$未知，将题目给出的$x=8、y=-3$这组对应值代入标准形式，即可求出$k$的值，进而得到完整的函数表达式。
(2) 得到函数表达式后，已知$y$的取值求$x$，只需将$y=4$代入已求出的函数表达式，解关于$x$的一元一次方程就能得到结果。
【解析】
(1) 设反比例函数的表达式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$。
将$x=8$，$y=-3$代入表达式，得：
$-3=\frac{k}{8}$
解得$k=-24$
所以$y$与$x$之间的函数表达式为$y=-\frac{24}{x}$。
(2) 将$y=4$代入$y=-\frac{24}{x}$，得：
$4=-\frac{24}{x}$
解得$x=-6$。
【答案】
(1)$y=-\frac{24}{x}$；(2)$x=-6$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 待定系数法求解析式
3. 反比例函数求值
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，主要考查待定系数法求函数解析式的步骤，以及代入函数值求解对应自变量的计算能力，运算难度低，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
1. (2025·浙江)已知反比例函数$y=\dfrac{-7}{x}$，下列选项正确的是（）
A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
A.函数图象在第一、三象限
B.$y$随$x$的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限
D.$y$随$x$的增大而增大
答案
C
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质：函数图象所在象限由$k$的正负决定，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限；增减性的描述必须加上“在每个象限内”的前提，$k＞0$时每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大。本题先确定比例系数$k$的取值，再依次判断各选项正误即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{-7}{x}$，可得比例系数$k=-7＜0$：
1. 判断象限：当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确；
2. 判断增减性：当$k＜0$时，只有在每个象限内，$y$才随$x$的增大而增大。B、D选项均未限定“在每个象限内”的前提，描述错误，比如$x=-1$时$y=7$，$x=1$时$y=-7$，$x$增大但$y$减小，因此B、D均错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，解题核心是明确比例系数$k$对图象和增减性的影响，尤其要注意增减性的成立前提是“在每个象限内”，避免因忽略限定条件误选。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的性质：函数图象所在象限由$k$的正负决定，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限；增减性的描述必须加上“在每个象限内”的前提，$k＞0$时每个象限内$y$随$x$增大而减小，$k＜0$时每个象限内$y$随$x$增大而增大。本题先确定比例系数$k$的取值，再依次判断各选项正误即可。
【解析】
对于反比例函数$y=\dfrac{-7}{x}$，可得比例系数$k=-7＜0$：
1. 判断象限：当$k＜0$时，函数图象位于第二、四象限，因此A选项错误，C选项正确；
2. 判断增减性：当$k＜0$时，只有在每个象限内，$y$才随$x$的增大而增大。B、D选项均未限定“在每个象限内”的前提，描述错误，比如$x=-1$时$y=7$，$x=1$时$y=-7$，$x$增大但$y$减小，因此B、D均错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的图象性质；反比例函数的增减性
【点评】
本题是反比例函数性质的基础考查题，解题核心是明确比例系数$k$对图象和增减性的影响，尤其要注意增减性的成立前提是“在每个象限内”，避免因忽略限定条件误选。
【难度系数】
0.7
