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2. 如图2,一次函数$y=ax+b$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于点$A(2,3)$,$B(m,-2)$,则不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的解集是（）
A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$
A.$-3＜x＜0$或$x＞2$
B.$x＜-3$或$0＜x＜2$
C.$-2＜x＜0$或$x＞2$
D.$-3＜x＜0$或$x＞3$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先，利用已知交点A的坐标求出反比例函数的解析式；其次，将B点纵坐标代入反比例函数，求出B点的横坐标，确定B点坐标；最后，根据函数图像的位置关系，找出一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的x的取值范围，也就是不等式的解集，注意反比例函数x不能为0，需要分x＞0和x＜0两个区间分别判断。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点$A(2,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将A点坐标代入得：
$3=\dfrac{k}{2}$，解得$k=6$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
2. 求B点坐标：
已知点$B(m,-2)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，将B点坐标代入得：
$-2=\dfrac{6}{m}$，解得$m=-3$，因此B点坐标为$(-3,-2)$。
3. 结合图像求不等式解集：
不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是：一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的取值范围。
结合图象观察：
①当$x＜0$时，两函数交点为$B(-3,-2)$，因此$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数上方；
②当$x＞0$时，两函数交点为$A(2,3)$，因此$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数上方。
综上，不等式的解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数性质
3. 函数图象解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，核心是理解函数图象的高低位置与不等式解集的对应关系，解题时需要先求出两个交点坐标，再结合图象分区间判断，同时注意反比例函数自变量不能取0，避免漏判区间。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以分三步思考：首先，利用已知交点A的坐标求出反比例函数的解析式；其次，将B点纵坐标代入反比例函数，求出B点的横坐标，确定B点坐标；最后，根据函数图像的位置关系，找出一次函数图像在反比例函数图像上方时对应的x的取值范围，也就是不等式的解集，注意反比例函数x不能为0，需要分x＞0和x＜0两个区间分别判断。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：
已知点$A(2,3)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，将A点坐标代入得：
$3=\dfrac{k}{2}$，解得$k=6$，因此反比例函数解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
2. 求B点坐标：
已知点$B(m,-2)$在反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$的图象上，将B点坐标代入得：
$-2=\dfrac{6}{m}$，解得$m=-3$，因此B点坐标为$(-3,-2)$。
3. 结合图像求不等式解集：
不等式$ax+b＞\dfrac{k}{x}$的几何意义是：一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的取值范围。
结合图象观察：
①当$x＜0$时，两函数交点为$B(-3,-2)$，因此$-3＜x＜0$时，一次函数图象在反比例函数上方；
②当$x＞0$时，两函数交点为$A(2,3)$，因此$x＞2$时，一次函数图象在反比例函数上方。
综上，不等式的解集为$-3＜x＜0$或$x＞2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数性质
3. 函数图象解不等式
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合常考题，核心是理解函数图象的高低位置与不等式解集的对应关系，解题时需要先求出两个交点坐标，再结合图象分区间判断，同时注意反比例函数自变量不能取0，避免漏判区间。
【难度系数】
0.7
3. (2024·大庆)在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx - k(k≠0)$与$y=\frac{k}{|x|}$的大致图象为 ()
答案
解：分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＞0$，图象分布在第一、二象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＞0$则直线斜率为正，当$x=0$时，$y=-k＜0$，即直线与$y$轴交于负半轴，直线经过第一、三、四象限，符合该特征的是选项C。
② 当$k＜0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＜0$，图象分布在第三、四象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＜0$则直线斜率为负，当$x=0$时，$y=-k＞0$，即直线与$y$轴交于正半轴，直线经过第一、二、四象限，无对应选项。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
① 当$k＞0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＞0$，图象分布在第一、二象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＞0$则直线斜率为正，当$x=0$时，$y=-k＜0$，即直线与$y$轴交于负半轴，直线经过第一、三、四象限，符合该特征的是选项C。
② 当$k＜0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＜0$，图象分布在第三、四象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＜0$则直线斜率为负，当$x=0$时，$y=-k＞0$，即直线与$y$轴交于正半轴，直线经过第一、二、四象限，无对应选项。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
解析
【分析】
本题为一次函数与含绝对值的反比例函数的图象综合判断题，两类函数的图象特征均由系数$k$的正负决定，因此采用分类讨论的思路解题：先分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别推导两种函数对应的图象位置、一次函数的斜率、与y轴交点等特征，再将推导结果与选项比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＞0$，因此图象分布在第一、二象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＞0$则直线斜率为正，当$x=0$时，$y=-k＜0$，即直线与$y$轴交于负半轴，直线经过第一、三、四象限，符合该特征的是选项C。
② 当$k＜0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＜0$，因此图象分布在第三、四象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＜0$则直线斜率为负，当$x=0$时，$y=-k＞0$，即直线与$y$轴交于正半轴，直线经过第一、二、四象限，无对应选项。
综上，本题选C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
一次函数图象性质、反比例函数图象性质、分类讨论
【点评】
本题是函数图象类的常考题型，解题关键是明确函数系数与图象特征的对应关系，通过分情况讨论逐一排除错误选项，是对函数基础性质应用的考察。
【难度系数】
0.7
本题为一次函数与含绝对值的反比例函数的图象综合判断题，两类函数的图象特征均由系数$k$的正负决定，因此采用分类讨论的思路解题：先分$k＞0$和$k＜0$两种情况，分别推导两种函数对应的图象位置、一次函数的斜率、与y轴交点等特征，再将推导结果与选项比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＞0$，因此图象分布在第一、二象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＞0$则直线斜率为正，当$x=0$时，$y=-k＜0$，即直线与$y$轴交于负半轴，直线经过第一、三、四象限，符合该特征的是选项C。
② 当$k＜0$时：
对于函数$y=\frac{k}{|x|}$，由$|x|＞0$可知$y＜0$，因此图象分布在第三、四象限；
对于一次函数$y=kx-k$，$k＜0$则直线斜率为负，当$x=0$时，$y=-k＞0$，即直线与$y$轴交于正半轴，直线经过第一、二、四象限，无对应选项。
综上，本题选C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
一次函数图象性质、反比例函数图象性质、分类讨论
【点评】
本题是函数图象类的常考题型，解题关键是明确函数系数与图象特征的对应关系，通过分情况讨论逐一排除错误选项，是对函数基础性质应用的考察。
【难度系数】
0.7
4. (2024·遂宁)反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限，则点$(k,-3)$在第象限。
答案
四
解析
【分析】
解题需分两步推导：第一步利用反比例函数图象与系数的关系，求出k的取值范围；第二步结合平面直角坐标系内各象限点的坐标符号特征，判断点的位置。首先回忆反比例函数性质：对于$y=\frac{a}{x}(a≠0)$，$a＞0$时图象在第一、三象限，$a＜0$时在第二、四象限；再回忆各象限点的符号规律：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$，即可逐步推导。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限
∴ 比例系数满足$k-1＞0$
解得$k＞1$，即$k$为正数
∴ 点$(k,-3)$的横坐标为正，纵坐标为负
根据象限点的符号特征，横正纵负的点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
反比例函数的图象与性质；点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数系数与图象象限的对应关系，以及各象限内点的坐标符号特点，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题需分两步推导：第一步利用反比例函数图象与系数的关系，求出k的取值范围；第二步结合平面直角坐标系内各象限点的坐标符号特征，判断点的位置。首先回忆反比例函数性质：对于$y=\frac{a}{x}(a≠0)$，$a＞0$时图象在第一、三象限，$a＜0$时在第二、四象限；再回忆各象限点的符号规律：第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$，即可逐步推导。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{k-1}{x}$的图象在第一、三象限
∴ 比例系数满足$k-1＞0$
解得$k＞1$，即$k$为正数
∴ 点$(k,-3)$的横坐标为正，纵坐标为负
根据象限点的符号特征，横正纵负的点在第四象限。
【答案】
四
【知识点】
反比例函数的图象与性质；点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查反比例函数系数与图象象限的对应关系，以及各象限内点的坐标符号特点，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5. (2024·河南)如图3,矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上,对角线AC,BD相交于点E,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点A。
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点,再画出反比例函数的图象；
(3)将矩形ABCD向左平移,当点E落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为。
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点,再画出反比例函数的图象；
(3)将矩形ABCD向左平移,当点E落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为。
答案
解：
(1) 由图可得点A的坐标为$(3,2)$，将$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{3}$
解得$k=6$，
因此这个反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
(2) 取反比例函数图象上不同于点A的三个格点：$(1,6)$、$(2,3)$、$(6,1)$，在坐标系中描出这三个点，用平滑曲线顺次连接这三个点与点A，即可得到$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象。
(3) 由矩形对角线互相平分，可得点E是AC的中点，已知$A(3,2)$，$C(9,6)$，因此点E的坐标为$(\frac{3+9}{2},\frac{2+6}{2})$，即$(6,4)$。
设矩形向左平移的距离为$a$，则平移后点E的坐标为$(6-a,4)$，将其代入$y=\frac{6}{x}$得：
$4=\frac{6}{6-a}$
解得$a=\frac{9}{2}$（或$4.5$）。
$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$（或$4.5$）
(1) 由图可得点A的坐标为$(3,2)$，将$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{3}$
解得$k=6$，
因此这个反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
(2) 取反比例函数图象上不同于点A的三个格点：$(1,6)$、$(2,3)$、$(6,1)$，在坐标系中描出这三个点，用平滑曲线顺次连接这三个点与点A，即可得到$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象。
(3) 由矩形对角线互相平分，可得点E是AC的中点，已知$A(3,2)$，$C(9,6)$，因此点E的坐标为$(\frac{3+9}{2},\frac{2+6}{2})$，即$(6,4)$。
设矩形向左平移的距离为$a$，则平移后点E的坐标为$(6-a,4)$，将其代入$y=\frac{6}{x}$得：
$4=\frac{6}{6-a}$
解得$a=\frac{9}{2}$（或$4.5$）。
$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$（或$4.5$）
解析
【分析】
(1) 求反比例函数的表达式关键是求系数k，已知反比例函数过点A，先从图中读取点A的坐标，代入$y=\frac{k}{x}$即可计算出k，得到函数解析式。
(2) 格点要求横、纵坐标均为正整数，结合反比例函数解析式$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，找出乘积为6的正整数对，排除点A对应的(3,2)，即可得到符合要求的格点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可画出函数图象。
(3) 首先根据矩形对角线互相平分的性质，可知E是AC的中点，先读取点C的坐标，用中点坐标公式求出E的初始坐标；向左平移时，点的纵坐标不变，横坐标减去平移距离，设平移距离为a，得到平移后E的坐标，代入反比例函数解析式解方程，即可求出平移距离。
【解析】
(1) 由图可知点A的坐标为$(3,2)$，将$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{3}$
解得$k=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
(2) 对于$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，取不同于A的格点：当$x=1$时$y=6$，$x=2$时$y=3$，$x=6$时$y=1$，即三个格点为$(1,6)$、$(2,3)$、$(6,1)$，在坐标系中描出这三个点，用平滑曲线顺次连接这三个点与点A，即可得到$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象。
(3) 由矩形对角线互相平分，可知点E是AC的中点，由图得$C(9,6)$，结合$A(3,2)$，可得点E的坐标为$(\frac{3+9}{2},\frac{2+6}{2})$，即$(6,4)$。
设矩形向左平移的距离为$a$，则平移后点E的坐标为$(6-a,4)$，将其代入$y=\frac{6}{x}$得：
$4=\frac{6}{6-a}$
解得$a=\frac{9}{2}$（或$4.5$）。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}(x＞0)$；
(2) 格点为$(1,6)$、$(2,3)$、$(6,1)$，描点画图见解析；
(3) $\frac{9}{2}$（或$4.5$）
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 矩形的性质
3. 坐标平移规律
【点评】
本题综合考查反比例函数、矩形、平移的相关知识，侧重基础应用，解题的关键是准确读取网格中的坐标，熟练掌握各类基础性质，能够较好地检验学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求反比例函数的表达式关键是求系数k，已知反比例函数过点A，先从图中读取点A的坐标，代入$y=\frac{k}{x}$即可计算出k，得到函数解析式。
(2) 格点要求横、纵坐标均为正整数，结合反比例函数解析式$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，找出乘积为6的正整数对，排除点A对应的(3,2)，即可得到符合要求的格点，再用平滑曲线顺次连接各点，即可画出函数图象。
(3) 首先根据矩形对角线互相平分的性质，可知E是AC的中点，先读取点C的坐标，用中点坐标公式求出E的初始坐标；向左平移时，点的纵坐标不变，横坐标减去平移距离，设平移距离为a，得到平移后E的坐标，代入反比例函数解析式解方程，即可求出平移距离。
【解析】
(1) 由图可知点A的坐标为$(3,2)$，将$A(3,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{3}$
解得$k=6$，
因此反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}(x＞0)$。
(2) 对于$y=\frac{6}{x}(x＞0)$，取不同于A的格点：当$x=1$时$y=6$，$x=2$时$y=3$，$x=6$时$y=1$，即三个格点为$(1,6)$、$(2,3)$、$(6,1)$，在坐标系中描出这三个点，用平滑曲线顺次连接这三个点与点A，即可得到$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象。
(3) 由矩形对角线互相平分，可知点E是AC的中点，由图得$C(9,6)$，结合$A(3,2)$，可得点E的坐标为$(\frac{3+9}{2},\frac{2+6}{2})$，即$(6,4)$。
设矩形向左平移的距离为$a$，则平移后点E的坐标为$(6-a,4)$，将其代入$y=\frac{6}{x}$得：
$4=\frac{6}{6-a}$
解得$a=\frac{9}{2}$（或$4.5$）。
【答案】
(1) $y=\frac{6}{x}(x＞0)$；
(2) 格点为$(1,6)$、$(2,3)$、$(6,1)$，描点画图见解析；
(3) $\frac{9}{2}$（或$4.5$）
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 矩形的性质
3. 坐标平移规律
【点评】
本题综合考查反比例函数、矩形、平移的相关知识，侧重基础应用，解题的关键是准确读取网格中的坐标，熟练掌握各类基础性质，能够较好地检验学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
