1. (2025·河北)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中,若$2＜y＜4$,则 ()

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

B

【分析】
本题需结合反比例函数的增减性求解自变量x的取值范围，解题思路如下：第一步先判断反比例函数的比例系数k的正负，确定函数在对应象限的增减性；第二步根据给出的y的取值范围均为正数，确定x在第一象限，符合增减性的适用条件；第三步分别代入边界y值求出对应的x值，再结合增减性即可推出x的取值范围。
【解析】
解：
∵ 反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，$k=4＞0$，
∴ 该函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵ $2＜y＜4$，$y$为正数，
∴ 此时$x$对应第一象限的取值，$x＞0$。
将$y=2$代入解析式得：$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
将$y=4$代入解析式得：$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$。
∵ 第一象限内$y$随$x$增大而减小，
∴ 当$2＜y＜4$时，$1＜x＜2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质；反比例函数的应用
【点评】
本题属于反比例函数的基础考题，重点考查同一象限内反比例函数的增减性，解题时需先确定自变量所在象限，再结合函数值的范围推导自变量范围，避免因混淆增减性出现范围颠倒的错误。
【难度系数】
0.8

2. (2025·连云港)如图，正比例函数$y_1=k_1x(k_1＜0)$的图象与反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2＜0)$的图象交于A,B两点，点A的横坐标为-1。当$y_1＜y_2$时，x的取值范围是 ()

A.$x＜-1$或$x＞1$
B.$x＜-1$或$0＜x＜1$
C.$-1＜x＜0$或$x＞1$
D.$-1＜x＜0$或$0＜x＜1$

C

【分析】
要确定$y_1＜y_2$时$x$的取值范围，首先利用正比例函数与反比例函数的交点关于原点中心对称的性质，求出点B的横坐标；再结合函数图象，分区间观察直线$y_1$在双曲线$y_2$下方时对应的$x$的范围即可。首先，正反比例函数的交点都关于原点对称，已知点A横坐标为-1，可推出点B横坐标为1；接下来将x的取值范围分为$x＜-1$、$-1＜x＜0$、$0＜x＜1$、$x＞1$四个区间，逐一判断每个区间内$y_1$和$y_2$的大小关系，选出符合$y_1＜y_2$的区间即可。
【解析】
∵ 正比例函数与反比例函数的图象都关于原点中心对称，
∴ 两个交点A、B关于原点对称，
∵ 点A的横坐标为-1，
∴ 点B的横坐标为1。
结合图象分析：
① 当$x＜-1$时，直线$y_1$在双曲线$y_2$的上方，即$y_1＞y_2$，不符合要求；
② 当$-1＜x＜0$时，直线$y_1$在双曲线$y_2$的下方，即$y_1＜y_2$，符合要求；
③ 当$0＜x＜1$时，直线$y_1$在双曲线$y_2$的上方，即$y_1＞y_2$，不符合要求；
④ 当$x＞1$时，直线$y_1$在双曲线$y_2$的下方，即$y_1＜y_2$，符合要求。
综上，当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$-1＜x＜0$或$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
正反比例函数交点，函数值比较，中心对称性
【点评】
本题考查利用函数图象判断函数值大小关系，解题的关键是利用函数图象的中心对称性得到另一个交点的横坐标，结合图象分区间进行判断，体现了数形结合的思想，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

3. 在反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而减小，且整式$x^2 -kx +4$是一个完全平方式，则该反比例函数的表达式为________。

解：
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而减小，
∴ $k-1＞0$，即$k＞1$。
∵ 整式$x^2 -kx +4$是完全平方式，
∴ $-kx=\pm 2× x × 2$，
解得$k=4$或$k=-4$。
又∵ $k＞1$，
∴ $k=4$，
∴ $k-1=3$，
则该反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$。

【分析】
本题需结合两个已知条件逐步推导k值，进而得到反比例函数表达式，解题思路如下：第一步，根据反比例函数的增减性确定k的取值范围：反比例函数$y=\frac{m}{x}(m\ne0)$中，若每一支上y随x增大而减小，则比例系数$m＞0$，据此列出关于k的不等式，得到k的取值范围。第二步，根据完全平方式的结构特征求k的可能取值：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，对应整式$x^2-kx+4$，确定首项、尾项对应的a和b，求出k的两个可能值。第三步，结合第一步得到的k的取值范围，筛选出符合条件的k值，代入反比例函数即可得到最终表达式。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\dfrac{k-1}{x}$的图象的每一支上，$y$都随$x$的增大而减小，
∴ 比例系数$k-1＞0$，解得$k＞1$。
∵ 整式$x^2 -kx +4$是完全平方式，根据完全平方式$a^2\pm2ab+b^2$的结构，此处$a=x$，$b^2=4$即$b=\pm2$，
∴ 中间项$-kx=\pm 2× x × 2$，
即$-k=\pm4$，解得$k=4$或$k=-4$。
又
∵ 已得$k＞1$，
∴ $k=-4$不符合要求，舍去，取$k=4$，
则反比例函数的比例系数为$k-1=4-1=3$，
∴ 该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
【答案】
$y=\dfrac{3}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质 2.完全平方式的特征
【点评】
本题综合考查反比例函数性质和完全平方式的应用，解题时需注意先根据反比例函数的增减性确定参数的取值范围，再对完全平方式求出的多解进行取舍，避免因忽略限制条件导致错解。
【难度系数】
0.7

4. 点$(2a-1,y_1),(a,y_2)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上，若$0＜y_1＜y_2$，则$a$的取值范围是。

解：
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$0＜y_1＜y_2$，
∴两点$(2a-1,y_1)$、$(a,y_2)$都在第一象限，
列不等式组：
$\begin{cases}2a-1 ＞ a \\a ＞ 0 \\2a-1 ＞ 0\end{cases}$
解$2a-1＞a$得$a＞1$，
解$a＞0$得$a＞0$，
解$2a-1＞0$得$a＞\frac{1}{2}$，
取三个解集的公共部分，得$a＞1$。
故答案为：$\boldsymbol{a＞1}$。

【分析】
解题时先根据反比例函数中k＞0的条件，确定函数图象所在象限及增减性；再由0＜y₁＜y₂可知两个点都在第一象限，因此两点的横坐标均为正数；最后结合“在同一象限内y随x的增大而减小”的性质，可得y越小对应的x越大，即2a-1＞a，联立三个不等式组成不等式组，求解集的公共部分即可得到a的取值范围。
【解析】
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$中$k＞0$，
∴该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
∵$0＜y_1＜y_2$，
∴两点$(2a-1,y_1)$、$(a,y_2)$都在第一象限，
据此列不等式组：
$\begin{cases}2a-1 ＞ a \\a ＞ 0 \\2a-1 ＞ 0\end{cases}$
解不等式$2a-1＞a$，得$a＞1$，
解不等式$a＞0$，得$a＞0$，
解不等式$2a-1＞0$，得$a＞\frac{1}{2}$，
取三个解集的公共部分，得$a＞1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
反比例函数的性质，解一元一次不等式组，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，易错点是忽略两点需在同一象限的前提，仅根据增减性列不等式，忽略横坐标均为正的条件。解题时需先根据函数值的符号确定点所在的象限，再结合增减性列不等式组求解。
【难度系数】
0.6

5. (2025·河南)小军将一副三角板按如图5所示的方式摆放在平面直角坐标系$xOy$中,其中含$30°$角的三角板$OAB$的直角边$OA$落在$y$轴上,含$45°$角的三角板$OAC$的直角顶点$C$的坐标为$(2,2)$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点$C$。
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将三角板$OAB$绕点$O$顺时针旋转$90°$,$AB$边上的点$D$恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点$D$的坐标。

解：
(1) 将点$C(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{2}$
解得$k=4$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 过点$C$作$CM ⊥ y$轴于点$M$，
$\because C(2,2)$，$\therefore CM=OM=2$，
$\because △ OAC$是含$45°$角的直角三角板，直角顶点为$C$，
$\therefore ∠ ACO=90°$，$∠ AOC=45°$，
$\therefore ∠ OCM=45°$，$∠ ACM=90°-45°=45°$，
$\therefore AM=CM=2$，
$\therefore OA=OM+AM=2+2=4$，即点$A$坐标为$(0,4)$。
$\because ∠ OAB=90°$，$OA$在$y$轴上，
$\therefore AB // x$轴，即$AB$边上所有点的纵坐标均为$4$。
设旋转前点$D$的坐标为$(x,4)$，其中$x＜0$，
将点$D$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后，得到的对应点$D'$的坐标为$(4,-x)$。
$\because D'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore 4 · (-x)=4$，
解得$x=-1$。
所以旋转前点$D$的坐标为$(-1,4)$。

【分析】
(1) 求反比例函数解析式可采用待定系数法，已知反比例函数图象过点C，直接将C点坐标代入表达式即可求出k的值，进而得到反比例函数的表达式。
(2) 首先结合等腰直角三角板OAC的性质和点C的坐标，推导求出点A的坐标；再根据三角板OAB的特征判断AB边平行于x轴，可得AB上所有点的纵坐标和A点纵坐标相同，设旋转前D点坐标为$(x,4)$；随后依据点绕原点顺时针旋转90°的坐标变换规律，得到旋转后对应点$D'$的坐标；最后将$D'$坐标代入反比例函数解析式，解方程求出x的值，即可得到旋转前D点的坐标。
【解析】
(1) 将点$C(2,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{2}$
解得$k=4$，
所以反比例函数的表达式为$y=\frac{4}{x}(x＞0)$。
(2) 过点$C$作$CM ⊥ y$轴于点$M$，
$\because C(2,2)$，$\therefore CM=OM=2$，
$\because △ OAC$是含$45°$角的直角三角板，直角顶点为$C$，
$\therefore ∠ ACO=90°$，$∠ AOC=45°$，
$\therefore ∠ OCM=45°$，$∠ ACM=90°-45°=45°$，
$\therefore AM=CM=2$，
$\therefore OA=OM+AM=2+2=4$，即点$A$坐标为$(0,4)$。
$\because ∠ OAB=90°$，$OA$在$y$轴上，
$\therefore AB // x$轴，即$AB$边上所有点的纵坐标均为$4$。
设旋转前点$D$的坐标为$(x,4)$，其中$x＜0$，
将点$D$绕原点$O$顺时针旋转$90°$后，得到的对应点$D'$的坐标为$(4,-x)$。
$\because D'$在反比例函数$y=\frac{4}{x}$的图象上，
$\therefore 4 · (-x)=4$，
解得$x=-1$。
所以旋转前点$D$的坐标为$(-1,4)$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}(x＞0)$
(2) $(-1,4)$
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 旋转的坐标变换
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合三角板的几何特征，将反比例函数与图形旋转的知识点相结合，既考查了基础的函数解析式求解方法，也考查了数形结合的应用能力，第一问较为基础，第二问需要熟练掌握旋转的坐标变化规律才能顺利解答。
【难度系数】
0.6