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9. 若 $ 5^{x}=18 $，$ 5^{y}=3 $，求 $ 5^{x-y} $ 和 $ 5^{x-2y} $ 的值.
答案
9. 解: 因为 $5^x = 18, 5^y = 3$,
所以 $5^{x - y} = 5^x ÷ 5^y = 18 ÷ 3 = 6$,
$5^{x - 2y} = 5^x ÷ 5^{2y} = 5^x ÷ (5^y)^2 = 18 ÷ 3^2 = 2$.
所以 $5^{x - y} = 5^x ÷ 5^y = 18 ÷ 3 = 6$,
$5^{x - 2y} = 5^x ÷ 5^{2y} = 5^x ÷ (5^y)^2 = 18 ÷ 3^2 = 2$.
10. (2024·铜山区期中)若 $ a^{m}=3 $，$ a^{n}=2 $，则 $ a^{m-n} $ 的值是(
A.$ 1.5 $
B.$ 6 $
C.$ 9 $
D.$ 8 $
A
)A.$ 1.5 $
B.$ 6 $
C.$ 9 $
D.$ 8 $
答案
10. A
解析
解：因为 $a^{m}=3$，$a^{n}=2$，根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^{m}÷ a^{n}$，所以$a^{m-n}=3÷2=\frac{3}{2}=1.5$。
A
A
11. (2024·苏州期中)如果 $ 27^{m} ÷ 3^{m}=81 $，那么 $ m $ 的值为
2
.答案
11. 2
解析
$27^{m} ÷ 3^{m} = (3^{3})^{m} ÷ 3^{m} = 3^{3m} ÷ 3^{m} = 3^{2m}$，$81 = 3^{4}$，所以$3^{2m} = 3^{4}$，则$2m = 4$，解得$m = 2$。
12. 先化简，再求值：
(1)$ (x^{3})^{2} ÷ x^{2} ÷ x+x^{3} · (-x)^{2} · (-x)^{2} $，其中 $ x=-1 $；
(2)$ (2x-y)^{13} ÷ [(2x-y)^{3}]^{2} ÷ [(y-2x)^{2}]^{3} $，其中 $ x=2 $，$ y=-1 $.
(1)$ (x^{3})^{2} ÷ x^{2} ÷ x+x^{3} · (-x)^{2} · (-x)^{2} $，其中 $ x=-1 $；
(2)$ (2x-y)^{13} ÷ [(2x-y)^{3}]^{2} ÷ [(y-2x)^{2}]^{3} $，其中 $ x=2 $，$ y=-1 $.
答案
12. 解: (1) 原式 $= x^6 ÷ x^2 ÷ x + x^3 · x^2 · x^2 = x^3 + x^7$.
当 $x = -1$ 时, 原式 $= -1 + (-1) = -2$.
(2) 原式 $= (2x - y)^{13} ÷ (2x - y)^6 ÷ (2x - y)^6 = (2x - y)^{13 - 6 - 6} = 2x - y$.
当 $x = 2, y = -1$ 时, 原式 $= 2 × 2 - (-1) = 5$.
当 $x = -1$ 时, 原式 $= -1 + (-1) = -2$.
(2) 原式 $= (2x - y)^{13} ÷ (2x - y)^6 ÷ (2x - y)^6 = (2x - y)^{13 - 6 - 6} = 2x - y$.
当 $x = 2, y = -1$ 时, 原式 $= 2 × 2 - (-1) = 5$.
13. (1)已知 $ 4 × 16^{m} × 64^{m}=4^{21} $，求 $ (-m^{2})^{3} ÷ (m^{3} · m^{2}) $ 的值；
(2)已知 $ 3^{m}=6 $，$ 9^{n}=2 $，求 $ 3^{2m-4n} $ 的值.
(2)已知 $ 3^{m}=6 $，$ 9^{n}=2 $，求 $ 3^{2m-4n} $ 的值.
答案
13. 解: (1) 因为 $4 × 16^m × 64^m = 4^{21}$,
所以 $4^{1 + 2m + 3m} = 4^{21}$,
即 $5m + 1 = 21$, 解得 $m = 4$,
所以 $(-m^2)^3 ÷ (m^3 · m^2) = -m^6 ÷ m^5 = -m = -4$.
(2) 因为 $3^m = 6, 9^n = 2$,
所以 $3^{2m} = (3^m)^2 = 36, 3^{4n} = (3^{2n})^2 = (9^n)^2 = 4$,
所以 $3^{2m - 4n} = \frac{3^{2m}}{3^{4n}} = \frac{36}{4} = 9$.
所以 $4^{1 + 2m + 3m} = 4^{21}$,
即 $5m + 1 = 21$, 解得 $m = 4$,
所以 $(-m^2)^3 ÷ (m^3 · m^2) = -m^6 ÷ m^5 = -m = -4$.
(2) 因为 $3^m = 6, 9^n = 2$,
所以 $3^{2m} = (3^m)^2 = 36, 3^{4n} = (3^{2n})^2 = (9^n)^2 = 4$,
所以 $3^{2m - 4n} = \frac{3^{2m}}{3^{4n}} = \frac{36}{4} = 9$.
14. (2024·工业园区月考)(1)已知 $ 2^{m}=3 $，$ 2^{n}=5 $，求 $ 2^{3m} ÷ 2^{2n} $ 的值.
(2)已知 $ 10^{α}=20 $，$ 10^{β}=\frac{1}{5} $，求 $ 25^{α} ÷ 5^{2β} $ 的值.
(2)已知 $ 10^{α}=20 $，$ 10^{β}=\frac{1}{5} $，求 $ 25^{α} ÷ 5^{2β} $ 的值.
答案
14. 解: (1) 因为 $2^m = 3, 2^n = 5$,
所以 $2^{3m} = (2^m)^3 = 3^3 = 27, 2^{2n} = (2^n)^2 = 5^2 = 25$,
所以 $2^{3m} ÷ 2^{2n} = \frac{27}{25}$.
(2) 因为 $10^α = 20, 10^β = \frac{1}{5}$,
所以 $10^α ÷ 10^β = 20 ÷ \frac{1}{5}$,
所以 $10^{α - β} = 100 = 10^2$,
所以 $α - β = 2$,
所以 $25^α ÷ 5^{2β} = (5^2)^α ÷ 5^{2β} = 5^{2α} ÷ 5^{2β} = 5^{2α - 2β} = 5^4 = 625$.
所以 $2^{3m} = (2^m)^3 = 3^3 = 27, 2^{2n} = (2^n)^2 = 5^2 = 25$,
所以 $2^{3m} ÷ 2^{2n} = \frac{27}{25}$.
(2) 因为 $10^α = 20, 10^β = \frac{1}{5}$,
所以 $10^α ÷ 10^β = 20 ÷ \frac{1}{5}$,
所以 $10^{α - β} = 100 = 10^2$,
所以 $α - β = 2$,
所以 $25^α ÷ 5^{2β} = (5^2)^α ÷ 5^{2β} = 5^{2α} ÷ 5^{2β} = 5^{2α - 2β} = 5^4 = 625$.
