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1. 如图,用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形,如果图形中含有2,3或4个三角形,分别需要多少根火柴棍? 如果图形中含有$n$个三角形,需要多少根火柴棍?
答案
当图形中含有 2,3 或 4 个三角形时,分别需要 5,7,9 根火柴棍;第 n 个图形需要[3+2(n-1)]根,即(2n+1)根。
解析
【分析】
先观察图形，数出含有2、3、4个三角形时对应的火柴棍数量，再分析数量变化的规律：每增加1个三角形，就增加2根火柴棍，由此推导含有n个三角形时的火柴棍总数。
【解析】
1. 计算具体三角形数量对应的火柴棍数：
1个三角形需要3根火柴棍；
2个三角形时，共用1根火柴，需火柴棍：3 + 2 = 5根；
3个三角形时，在2个的基础上再增加2根，需火柴棍：5 + 2 = 7根；
4个三角形时，在3个的基础上再增加2根，需火柴棍：7 + 2 = 9根；
2. 推导n个三角形的火柴棍总数：
第一个三角形用3根火柴，之后每增加1个三角形就增加2根火柴，因此n个三角形时，总火柴棍数为：3 + 2(n - 1) = 2n + 1根。
【答案】
当图形中含有2、3、4个三角形时，分别需要5、7、9根火柴棍；含有n个三角形时，需要(2n + 1)根火柴棍。
【知识点】
图形规律、代数式表示
【点评】
本题是图形规律探究题，通过观察相邻图形的火柴棍数量变化，归纳出通用的代数式，考查学生的观察与归纳能力，属于基础规律题。
【难度系数】
0.6
先观察图形，数出含有2、3、4个三角形时对应的火柴棍数量，再分析数量变化的规律：每增加1个三角形，就增加2根火柴棍，由此推导含有n个三角形时的火柴棍总数。
【解析】
1. 计算具体三角形数量对应的火柴棍数：
1个三角形需要3根火柴棍；
2个三角形时，共用1根火柴，需火柴棍：3 + 2 = 5根；
3个三角形时，在2个的基础上再增加2根，需火柴棍：5 + 2 = 7根；
4个三角形时，在3个的基础上再增加2根，需火柴棍：7 + 2 = 9根；
2. 推导n个三角形的火柴棍总数：
第一个三角形用3根火柴，之后每增加1个三角形就增加2根火柴，因此n个三角形时，总火柴棍数为：3 + 2(n - 1) = 2n + 1根。
【答案】
当图形中含有2、3、4个三角形时，分别需要5、7、9根火柴棍；含有n个三角形时，需要(2n + 1)根火柴棍。
【知识点】
图形规律、代数式表示
【点评】
本题是图形规律探究题，通过观察相邻图形的火柴棍数量变化，归纳出通用的代数式，考查学生的观察与归纳能力，属于基础规律题。
【难度系数】
0.6
变式1.1 （2025·四川成都期末）如图是一组有规律的图案，第1个图案由3个基础图形组成，第2个图案由5个基础图形组成，…，则第n（n是正整数）个图案由
(1+2n)
个基础图形组成.答案
(1+2n)
[解析]根据题意,第1个图案中基础图形个数为1+2×1=3(个),
第2个图案中基础图形个数为1+2×2=5(个),
第3个图案中基础图形个数为1+2×3=7(个),
…,
所以第n个图案中基础图形个数为(1+2n)个。
[解析]根据题意,第1个图案中基础图形个数为1+2×1=3(个),
第2个图案中基础图形个数为1+2×2=5(个),
第3个图案中基础图形个数为1+2×3=7(个),
…,
所以第n个图案中基础图形个数为(1+2n)个。
解析
【分析】先观察题目给出的图案，数出每个图案的基础图形数量：第1个图案有3个，第2个有5个，第3个有7个，发现每个后续图案比前一个多2个基础图形，由此归纳出数量与图案序号n的关系，进而推导第n个图案的基础图形个数。
【解析】第1个图案中基础图形的个数为：$1 + 2×1 = 3$；第2个图案中基础图形的个数为：$1 + 2×2 = 5$；第3个图案中基础图形的个数为：$1 + 2×3 = 7$；……，以此类推，第n个图案中基础图形的个数为：$1 + 2n$。
【答案】$1+2n$
【知识点】图形规律、代数式表示
【点评】本题是典型的图形规律探究题，通过观察相邻图案的基础图形数量变化，归纳出通项公式，考查学生的观察分析与归纳能力，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】第1个图案中基础图形的个数为：$1 + 2×1 = 3$；第2个图案中基础图形的个数为：$1 + 2×2 = 5$；第3个图案中基础图形的个数为：$1 + 2×3 = 7$；……，以此类推，第n个图案中基础图形的个数为：$1 + 2n$。
【答案】$1+2n$
【知识点】图形规律、代数式表示
【点评】本题是典型的图形规律探究题，通过观察相邻图案的基础图形数量变化，归纳出通项公式，考查学生的观察分析与归纳能力，属于基础题型。
【难度系数】0.7
变式1.2 跨学科 分子结构模型 （2025·济宁金乡一模改编)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种(如图(1))有4个氢原子，第2种(如图(2))有6个氢原子，第3种(如图(3))有8个氢原子，…，按照这一规律，第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
32
.答案
32
[解析]由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2；
第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为12=5×2+2；
…,
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个，
当n=15时，2×15+2=32(个)，
即第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是32个。
[解析]由所给图形可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2；
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2；
第5种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为12=5×2+2；
…,
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为(2n+2)个，
当n=15时，2×15+2=32(个)，
即第15种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是32个。
解析
【分析】先观察前4种化合物的氢原子数量，对应序号分别为1、2、3、4时，氢原子数依次为4、6、8、10，发现氢原子数随序号增加呈线性变化，需先推导氢原子数与序号n的关系式，再代入n=15计算。
【解析】观察各序号对应的氢原子数：第1种（n=1）：4=2×1+2；第2种（n=2）：6=2×2+2；第3种（n=3）：8=2×3+2；第4种（n=4）：10=2×4+2；由此归纳得出，第n种化合物的氢原子个数为(2n+2)个。当n=15时，代入得2×15+2=32，即第15种化合物的氢原子个数为32。
【答案】32
【知识点】找规律、代数式求值
【点评】本题为跨学科题型，结合有机分子结构模型考查数列规律的应用，需从图形中提取数据并总结规律，再进行代数计算，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】观察各序号对应的氢原子数：第1种（n=1）：4=2×1+2；第2种（n=2）：6=2×2+2；第3种（n=3）：8=2×3+2；第4种（n=4）：10=2×4+2；由此归纳得出，第n种化合物的氢原子个数为(2n+2)个。当n=15时，代入得2×15+2=32，即第15种化合物的氢原子个数为32。
【答案】32
【知识点】找规律、代数式求值
【点评】本题为跨学科题型，结合有机分子结构模型考查数列规律的应用，需从图形中提取数据并总结规律，再进行代数计算，难度适中。
【难度系数】0.5
变式1.3 (2025·苏州期末改编)方胜纹是以几个菱形压角相叠而构成的几何图形(注:四条边都相等的四边形是菱形),是中国传统吉祥装饰纹样中一种独具特色的几何纹样.苏州拙政园远香堂方形窗棂上就装饰有这种纹样.如图,第一个图案中有3个菱形,第二个图案中有7个菱形,第三个图案中有11个菱形,…,按照这样的方法排列下去,若第n个图案中有43个菱形,则n的值是
11
.答案
11
[解析]由所给图形可知，
第1个图案中菱形的个数为3=1×4-1；
第2个图案中菱形的个数为7=2×4-1；
第3个图案中菱形的个数为11=3×4-1；
…,
所以第n个图案中菱形的个数为(4n-1)个，
令4n-1=43，解得n=11，
即第11个图案中菱形的个数为43个。
[解析]由所给图形可知，
第1个图案中菱形的个数为3=1×4-1；
第2个图案中菱形的个数为7=2×4-1；
第3个图案中菱形的个数为11=3×4-1；
…,
所以第n个图案中菱形的个数为(4n-1)个，
令4n-1=43，解得n=11，
即第11个图案中菱形的个数为43个。
解析
【分析】先观察前3个图案中菱形的数量，分别为3、7、11，发现后一个图案比前一个多4个菱形，由此归纳出第n个图案的菱形个数的表达式，再根据“第n个图案有43个菱形”的条件，代入表达式解方程即可求出n的值。
【解析】1. 分析图案的菱形数量规律：
第1个图案中菱形的个数：$3 = 4×1 -1$；
第2个图案中菱形的个数：$7 = 4×2 -1$；
第3个图案中菱形的个数：$11 = 4×3 -1$；
……
由此可得，第n个图案中菱形的个数为：$4n -1$；
2. 根据题意列方程：令$4n -1 = 43$，
解方程：$4n = 43 +1$，
$4n = 44$，
解得$n = 11$。
【答案】11
【知识点】找规律、代数式、一元一次方程
【点评】本题是典型的图形规律探究题，通过观察图形数量的变化总结通项公式，再结合一元一次方程求解，考查学生的观察归纳能力与代数运算能力，属于基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】1. 分析图案的菱形数量规律：
第1个图案中菱形的个数：$3 = 4×1 -1$；
第2个图案中菱形的个数：$7 = 4×2 -1$；
第3个图案中菱形的个数：$11 = 4×3 -1$；
……
由此可得，第n个图案中菱形的个数为：$4n -1$；
2. 根据题意列方程：令$4n -1 = 43$，
解方程：$4n = 43 +1$，
$4n = 44$，
解得$n = 11$。
【答案】11
【知识点】找规律、代数式、一元一次方程
【点评】本题是典型的图形规律探究题，通过观察图形数量的变化总结通项公式，再结合一元一次方程求解，考查学生的观察归纳能力与代数运算能力，属于基础题型。
【难度系数】0.6
变式 1.4 方程思想 (2025·河北唐山遵化期末)围棋起源于中国,是一种策略型两人棋类游戏,中国古时称“弈”,春秋战国时期即有记载. 老师带领学生以围棋为道具摆出如图四幅图.
[观察思考]
第 1 个图形有 10 颗棋子,第 2 个图形一共有 16 颗棋子,第 3 个图形一共有 22 颗棋子,第 4 个图形一共有 28 颗棋子,…,以此类推.
[规律总结]
(1)第 n 个图形中棋子的颗数为
[问题解决]
(2)若按上面的规律摆出的一个图形有 184 颗棋子,则这是第
变式 1.5 (2025·徐州期中)如图,每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成,每个小正方形的面积是 1. 根据图形与等式的关系解答下列问题:
(1)直接写出图(10)所反映的算式;
(2)猜想并直接写出图(n)所反映的算式;
(3)根据(2)的结论计算:$1\,001+1\,002+1\,003+ \dots+2\,023+2\,024$.
[观察思考]
第 1 个图形有 10 颗棋子,第 2 个图形一共有 16 颗棋子,第 3 个图形一共有 22 颗棋子,第 4 个图形一共有 28 颗棋子,…,以此类推.
[规律总结]
(1)第 n 个图形中棋子的颗数为
6n+4
(用含 n 的代数式表示);[问题解决]
(2)若按上面的规律摆出的一个图形有 184 颗棋子,则这是第
30
个图形.变式 1.5 (2025·徐州期中)如图,每个图形都由同样大小的小正方形按照一定的规律组成,每个小正方形的面积是 1. 根据图形与等式的关系解答下列问题:
(1)直接写出图(10)所反映的算式;
(2)猜想并直接写出图(n)所反映的算式;
(3)根据(2)的结论计算:$1\,001+1\,002+1\,003+ \dots+2\,023+2\,024$.
答案
变式1.4
(1)6n+4
(2)30
[解析]令6n+4=184,解得n=30,
所以第30个图形中棋子的颗数为184颗。
变式1.5
(1)图(10)所反映的算式为 $1+2+3+4+\dots+9+10=\frac{10×11}{2}$。
(2)图(n)所反映的算式为 $1+2+3+4+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(3)$1\,001+1\,002+1\,003+\dots+2\,023+2\,024$
$=(1+2+3+\dots+2\,023+2\,024)-(1+2+3+\dots+999+1\,000)$
$=\frac{2\,024×2\,025}{2}-\frac{1\,000×1\,001}{2}$
$=1\ 548\ 800$。
(1)6n+4
(2)30
[解析]令6n+4=184,解得n=30,
所以第30个图形中棋子的颗数为184颗。
变式1.5
(1)图(10)所反映的算式为 $1+2+3+4+\dots+9+10=\frac{10×11}{2}$。
(2)图(n)所反映的算式为 $1+2+3+4+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(3)$1\,001+1\,002+1\,003+\dots+2\,023+2\,024$
$=(1+2+3+\dots+2\,023+2\,024)-(1+2+3+\dots+999+1\,000)$
$=\frac{2\,024×2\,025}{2}-\frac{1\,000×1\,001}{2}$
$=1\ 548\ 800$。
解析
【分析】
本题包含两道规律探究题：1. 变式1.4：观察棋子数量，相邻图形棋子数差为6，属于等差数列，先推导通项公式，再通过列一元一次方程求解对应图形序号；2. 变式1.5：观察图形对应算式，归纳出从1到n的求和规律，再利用该规律转化计算连续数的和。
【解析】
变式1.4
(1) 分析棋子数规律：第1个图形10颗，第2个16颗，第3个22颗，相邻图形棋子数差为6，是首项为10、公差为6的等差数列。根据等差数列通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，代入得：$a_n=10+6(n-1)=6n+4$，故第n个图形棋子数为$6n+4$。
(2) 令$6n+4=184$，解方程：$6n=180$，得$n=30$，即第30个图形有184颗棋子。
变式1.5
(1) 观察图形对应算式：图(1)对应$1=\frac{1×2}{2}$，图(2)对应$1+2=\frac{2×3}{2}$，故图(10)对应$1+2+3+…+10=\frac{10×11}{2}$。
(2) 归纳规律：图(n)对应$1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(3) 计算$1001+1002+…+2024$，利用求和公式转化：
原式$=(1+2+…+2024)-(1+2+…+1000)$
$=\frac{2024×2025}{2}-\frac{1000×1001}{2}$
$=\frac{4098600 -1001000}{2}=1548800$。
【答案】
变式1.4：(1)$6n+4$；(2)30；
变式1.5：(1)$1+2+…+10=\frac{10×11}{2}$；(2)$1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$；(3)1548800。
【知识点】
数列规律探究、一元一次方程应用、等差数列求和公式
【点评】
本题为规律探究综合题，涵盖数列推导、方程应用及求和运算，考查学生观察归纳与代数运算能力，题型典型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题包含两道规律探究题：1. 变式1.4：观察棋子数量，相邻图形棋子数差为6，属于等差数列，先推导通项公式，再通过列一元一次方程求解对应图形序号；2. 变式1.5：观察图形对应算式，归纳出从1到n的求和规律，再利用该规律转化计算连续数的和。
【解析】
变式1.4
(1) 分析棋子数规律：第1个图形10颗，第2个16颗，第3个22颗，相邻图形棋子数差为6，是首项为10、公差为6的等差数列。根据等差数列通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$，代入得：$a_n=10+6(n-1)=6n+4$，故第n个图形棋子数为$6n+4$。
(2) 令$6n+4=184$，解方程：$6n=180$，得$n=30$，即第30个图形有184颗棋子。
变式1.5
(1) 观察图形对应算式：图(1)对应$1=\frac{1×2}{2}$，图(2)对应$1+2=\frac{2×3}{2}$，故图(10)对应$1+2+3+…+10=\frac{10×11}{2}$。
(2) 归纳规律：图(n)对应$1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$。
(3) 计算$1001+1002+…+2024$，利用求和公式转化：
原式$=(1+2+…+2024)-(1+2+…+1000)$
$=\frac{2024×2025}{2}-\frac{1000×1001}{2}$
$=\frac{4098600 -1001000}{2}=1548800$。
【答案】
变式1.4：(1)$6n+4$；(2)30；
变式1.5：(1)$1+2+…+10=\frac{10×11}{2}$；(2)$1+2+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$；(3)1548800。
【知识点】
数列规律探究、一元一次方程应用、等差数列求和公式
【点评】
本题为规律探究综合题，涵盖数列推导、方程应用及求和运算，考查学生观察归纳与代数运算能力，题型典型，难度适中。
【难度系数】
0.5
