2. 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
$15×15=1×2×100+25=225;$
$25×25=2×3×100+25=625;$
$35×35=3×4×100+25=1\ 225;$
$···$
请用含$a$($a$为正整数)的式子表示上述的规律：
.

(10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25

【分析】首先观察给出的特例，发现15、25、35这类数的共同特征：十位数字为正整数a，个位数字是5，因此这类数可表示为10a+5；再看它们的平方结果，如15²=1×2×100+25，25²=2×3×100+25，将其转化为代数表达式后，通过完全平方公式展开验证，即可归纳出规律式。
【解析】设个位为5的数的十位数字为正整数a，则该数为10a+5，计算其平方：
(10a+5)(10a+5) = (10a)² + 2×10a×5 +5² = 100a² +100a +25，
该结果与例子中的运算规律一致，因此对应的规律式为(10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25。
【答案】(10a+5)(10a+5)=100a²+100a+25
【知识点】完全平方公式、找规律
【点评】本题通过具体特例引导学生归纳代数规律，需结合完全平方公式验证，重点考查观察归纳能力与整式运算能力，属于基础代数规律题。
【难度系数】0.6

变式 2.1 已知 $1+\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{2^2}{3},2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}=\dfrac{3^2}{4},$
$3+\dfrac{1}{5}=\dfrac{16}{5}=\dfrac{4^2}{5},4+\dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{6}=\dfrac{5^2}{6}.$ 设 $n$ 为正整数，
请用关于 $n$ 的等式表示这个规律.

$n+\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{(n+1)^2}{n+2}$
[解析]$\because 1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}=\frac{2^2}{3}$,
$2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}=\frac{3^2}{4},3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}=\frac{4^2}{5},4+\frac{1}{6}=\frac{25}{6}=\frac{5^2}{6}$,
$\therefore n+\frac{1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$。

【分析】
要找出等式的规律，需先观察已知的几个等式：左边第一个数依次为1、2、3、4，对应正整数n；左边第二个分数的分母依次为3、4、5、6，可发现分母比左边第一个数大2，即分母为n+2；右边的分数分子依次为2²、3²、4²、5²，分子是（左边第一个数+1）的平方，即(n+1)²，分母与左边第二个分数的分母相同。由此可归纳出用n表示的规律。
【解析】
当n=1时，左边为$1+\frac{1}{1+2}=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，右边为$\frac{(1+1)^2}{1+2}=\frac{2^2}{3}=\frac{4}{3}$，等式成立；
当n=2时，左边为$2+\frac{1}{2+2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，右边为$\frac{(2+1)^2}{2+2}=\frac{3^2}{4}=\frac{9}{4}$，等式成立；
同理，n=3、n=4时等式均成立，因此对于任意正整数n，规律为$n+\frac{1}{n+2}=\frac{(n+1)^2}{n+2}$。
【答案】
$n+\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{(n+1)^2}{n+2}$
【知识点】
规律探究；代数式的表示
【点评】
本题是基础的规律探究题，通过观察已知等式的结构特征，归纳出变量间的关系，用含n的代数式准确表示规律，考查学生的观察、归纳与推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.3

变式2.2 裂项相消法 观察下面的变形规律：
$\frac{1}{1 × 2} = 1 - \frac{1}{2};$
$\frac{1}{2 × 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3};$
$\frac{1}{3 × 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}; \dots$
解答下面的问题：
(1)根据上述变化规律写出下面等号后面的式子：
$\frac{1}{4 × 5} = \_\_\_\_\_\_; \frac{1}{2\ 024 × 2\ 025} = \_\_\_\_\_\_.$
若$n$为正整数，猜想$\frac{1}{n(n + 1)} = \_\_\_\_\_\_.$
(2)求值：$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \dots + \frac{1}{2\ 024 × 2\ 025}.$

(1)$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；$\frac{1}{2\ 024}-\frac{1}{2\ 025}$；$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2)$\frac{1}{1 × 2} + \frac{1}{2 × 3} + \frac{1}{3 × 4} + \dots + \frac{1}{2\ 024 × 2\ 025}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2\ 024}-\frac{1}{2\ 025}$
$=1-\frac{1}{2\ 025}$
$=\frac{2\ 024}{2\ 025}$。

【分析】本题考查裂项相消法的应用，解题思路是先观察已知的分数变形规律，总结出分子为1、分母为连续正整数乘积的分数的拆分规则，再利用拆分后的式子进行加减抵消，简化求和运算。首先根据给出的例子明确拆分方法：$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，再据此解决问题。
【解析】
(1) 观察已知变形规律：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，可得：
$\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；
$\frac{1}{2024×2025}=\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$；
若$n$为正整数，则$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2) 对所求式子进行裂项拆分：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2024×2025}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$
中间项相互抵消，剩余：
$=1-\frac{1}{2025}$
$=\frac{2024}{2025}$
【答案】(1)$\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；$\frac{1}{2024}-\frac{1}{2025}$；$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ (2)$\frac{2024}{2025}$
【知识点】裂项相消法，有理数的运算
【点评】本题是裂项相消法的基础应用，通过观察分数的变形规律，掌握拆分技巧，将复杂的求和转化为简单的加减抵消，是有理数运算中简化计算的重要方法，需熟练掌握。
【难度系数】0.5