1. 中考新考法 规律探究 （2023·恩施州中考）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
$-2,4,-8,16,-32,64,··· ①$
$0,7,-4,21,-26,71,··· ②$
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为。

1. 1 024 $-2^{2024}+2\ 024$
[解析]第①行数的规律为$(-2)^n$，
∴第①行数的第10个数为$(-2)^{10}=1\ 024$;第②行数的规律为$(-2)^n +n +1$，
∴第①行数的第2 023个数为$(-2)^{2023}$,第②行数的第2 023个数为$(-2)^{2023}+2\ 024$，
∴两数之和为$-2^{2024}+2\ 024$。

【分析】
先观察第①行数的符号与绝对值特征，推导其第n个数的表达式；再对比第②行与第①行对应位置的数，找出第②行第n个数的表达式，最后根据表达式计算指定位置的数及两数之和。
【解析】
1. 推导第①行数的规律：
第①行的数为$-2,4,-8,16,-32,64,\dots$，符号交替变化，绝对值为2的正整数次幂，因此第n个数为$(-2)^n$。
故第①行数的第10个数为$(-2)^{10}=1024$。
2. 推导第②行数的规律：
对比两行数对应项：第1项$0=-2+2$，第2项$7=4+3$，第3项$-4=-8+4$，第4项$21=16+5$，…，可得第②行第n个数 = 第①行第n个数 + (n+1)，即表达式为$(-2)^n +n+1$。
3. 计算第2023个数的和：
第①行第2023个数为$(-2)^{2023}$，第②行第2023个数为$(-2)^{2023}+2023+1=(-2)^{2023}+2024$。
两数之和为：$(-2)^{2023} + [(-2)^{2023}+2024] = 2×(-2)^{2023}+2024=-2^{2024}+2024$。
【答案】
1024；$-2^{2024}+2024$
【知识点】
规律探究、有理数的乘方
【点评】
本题为中考新考法的规律探究题，需先分析第一行数的规律，再通过对比两行数对应项的关系推导第二行数的规律，考查学生的观察归纳能力，解题时需注意符号的处理，避免计算错误。
【难度系数】
0.6

2. 图(1)是一个长为$2m$、宽为$2n$($m＞n$)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是多少？

2.
∵图(1)是一个长为2m、宽为2n(m＞n)的长方形，
∴图(2)中大正方形的边长为$(m+n)$，
∴正方形的面积为$(m+n)^2$。
∵图(1)中长方形的面积为$2m · 2n=4mn$，
∴中间空的部分的面积为$(m+n)^2-4mn$。

【分析】
要解决这个问题，需先确定图(2)中拼成的大正方形的边长，再分别计算大正方形的面积和原四个小长方形的总面积，通过面积差求出中间空的部分的面积。首先，图(1)的长方形剪开后得到的小长方形长为$m$、宽为$n$，拼成大正方形后，大正方形的边长为小长方形的长与宽之和，据此可计算各部分面积。
【解析】
1. 确定图(2)中大正方形的边长：由图(1)可知，剪开后的小长方形长为$m$，宽为$n$，拼成大正方形后，大正方形的边长为$m + n$。
2. 计算大正方形的面积：根据正方形面积公式，大正方形面积为$(m + n)^2$。
3. 计算四个小长方形的总面积：四个小长方形的总面积等于原长方形的面积，原长方形面积为$2m × 2n = 4mn$。
4. 计算中间空的部分的面积：用大正方形面积减去四个小长方形的总面积，即：
$\begin{aligned}&(m + n)^2 - 4mn\\=&m^2 + 2mn + n^2 - 4mn\\=&m^2 - 2mn + n^2\\=&(m - n)^2\end{aligned}$
【答案】
$(m - n)^2$
【知识点】
整式的加减、正方形面积计算、长方形面积计算
【点评】
本题通过图形拼接考查几何与代数的结合应用，核心是利用面积差求解空白部分面积，需掌握整式的化简运算，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

3.［观察思考］

［规律发现］
(1)第 $ n $ 个图案中“◎”的个数为；(请用含 $ n $ 的代数式填空)
(2)第 1 个图案中“★”的个数可表示为 $\dfrac{1× 2}{2}$，第2 个图案中“★”的个数可表示为 $\dfrac{2× 3}{2}$，第 3 个图案中“★”的个数可表示为 $\dfrac{3× 4}{2}$，…，写出第$ n $ 个图案中“★”的个数.(请用含 $ n $ 的代数式表示)

3. (1)$3n$ (2)$\dfrac{n(n+1)}{2}$

【分析】本题为图形规律探究题，需分别统计每个图案中“◎”和“★”的数量，分析其与图案序号n的对应关系，进而归纳出含n的代数式。先数出前几个图案中“◎”的个数，寻找倍数规律；再结合题目给出的“★”个数的表达式，归纳通用公式。
【解析】(1) 观察图案：第1个图案中“◎”的个数为3，第2个为6，第3个为9，第4个为12，可发现每个图案中“◎”的个数是图案序号n的3倍，因此第n个图案中“◎”的个数为$3n$；(2) 由题中给出的规律：第1个图案“★”的个数为$\frac{1×2}{2}$，第2个为$\frac{2×3}{2}$，第3个为$\frac{3×4}{2}$，可归纳出第n个图案中“★”的个数为$\frac{n(n+1)}{2}$。
【答案】(1)$3n$；(2)$\dfrac{n(n+1)}{2}$
【知识点】图形规律探究、代数式表示
【点评】本题属于基础的规律探究题，通过观察图形数量变化归纳代数式，考查学生的观察能力和归纳总结能力，难度适中。
【难度系数】0.7

4. 新情境 购买网球及球拍 为丰富校园体育生活,某校增设网球兴趣小组,需要采购某品牌网球训练拍 30 支,网球 $x$ 筒 $(x＞30)$,现从甲、乙两家商店了解到该品牌网球拍每支定价均为80 元,网球每筒均为 20 元,并且多买都有一定的优惠.甲商店的优惠条件是:买一支网球拍送一筒网球;乙商店的优惠条件是:网球拍与网球均按 9 折付款.
(1)选择甲商店购买,所需的费用为元;选择乙商店购买,所需的费用为元(用含 $x$ 的代数式表示);
(2)当购买网球的数量为 100 筒时,请通过计算说明选择哪家商店所需费用较少.
精题详解

4. (1)$(20x+1\ 800)$ $(18x+2\ 160)$
(2) 当 $x = 100$ 时，$20x + 1\ 800 = 20 × 100 + 1\ 800 = 3\ 800$(元)，
$18x + 2\ 160 = 18 × 100 + 2\ 160 = 3\ 960$(元)。
因为 $3\ 800＜3\ 960$，
所以甲商店所需费用较少。

【分析】
要解决这个问题，需先根据甲、乙两店的优惠条件分别列出购买所需费用的代数式，再代入具体数值比较费用多少。对于甲店，买球拍送网球，因此只需计算球拍费用和超出赠送部分的网球费用；对于乙店，所有商品均打9折，需先算总价再乘以0.9。
【解析】
(1) 计算甲商店的费用：
甲店买1支球拍送1筒网球，买30支球拍会赠送30筒网球，已知购买网球$x$筒（$x＞30$），则需额外购买网球$(x-30)$筒。
球拍费用：$30×80 = 2400$元，额外网球费用：$20(x-30)$元，
总费用为：$2400 + 20(x-30) = 20x + 1800$（元）。
计算乙商店的费用：
乙店球拍和网球均按9折付款，球拍总价为$30×80 = 2400$元，网球总价为$20x$元，
总费用为：$0.9×(2400 + 20x) = 18x + 2160$（元）。
(2) 当$x = 100$时：
甲商店费用：$20×100 + 1800 = 3800$（元），
乙商店费用：$18×100 + 2160 = 3960$（元），
因为$3800＜3960$，所以选择甲商店所需费用较少。
【答案】
(1) $(20x + 1800)$；$(18x + 2160)$
(2) 甲商店所需费用较少
【知识点】
列代数式，代数式求值，方案选择
【点评】
本题结合实际购买场景，考查了列代数式和代数式求值的应用，关键是准确理解两家商店的优惠规则，避免计算错误，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6