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26. (10 分)某奶茶店推出 A,B 两款新品奶茶,已知购买 5 杯 A 奶茶和 4 杯 B 奶茶共花费 130 元,购买 3 杯 A 奶茶和 2 杯 B 奶茶共花费 72 元.
(1)求 A,B 两款奶茶的单价各为多少元;
(2)某班参加社会实践活动的有 56 名学生和 4 位教师,现该班决定团购下午茶,恰逢 A,B 两款新品奶茶搞促销活动,其中 A 奶茶在原来单价的基础上优惠 5 元,B 奶茶在原来单价的基础上打 8 折,在班级现有经费 648 元的情况下,若 B 奶茶的数量不少于 34 杯,且所有参加活动的师生均有且仅有一杯下午茶享用,则共有哪几种购买方案? 哪种方案花费最少? 最少费用多少元?
(1)求 A,B 两款奶茶的单价各为多少元;
(2)某班参加社会实践活动的有 56 名学生和 4 位教师,现该班决定团购下午茶,恰逢 A,B 两款新品奶茶搞促销活动,其中 A 奶茶在原来单价的基础上优惠 5 元,B 奶茶在原来单价的基础上打 8 折,在班级现有经费 648 元的情况下,若 B 奶茶的数量不少于 34 杯,且所有参加活动的师生均有且仅有一杯下午茶享用,则共有哪几种购买方案? 哪种方案花费最少? 最少费用多少元?
答案
26. 【点拨】本题考查利用二元一次方程组,一元一次不等式组解决实际问题,理解题意是解答的关键.
【解析】(1)设A款奶茶的单价为$x$元/杯,B款奶茶的单价为$y$元/杯,由题意可得$\begin{cases}5x+4y=130,\\3x+2y=72,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=14,\\y=15.\end{cases}$
答:A款奶茶的单价为14元/杯,B款奶茶的单价为15元/杯.
(2)设购买A款奶茶$m$杯,则购买B款奶茶$(60-m)$杯,
根据题意,得$\begin{cases}(14-5)m+15×0.8(60-m)≤648,\\60-m≥34,\end{cases}$
解得$24≤ m≤26$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$可以为24,25,26,
$\therefore$共有3种购买方案:
方案一:购买A款奶茶24杯,购买B款奶茶36杯,花费$(14-5)×24+15×0.8×36=648$(元);
方案二:购买A款奶茶25杯,购买B款奶茶35杯,花费$(14-5)×25+15×0.8×35=645$(元);
方案三:购买A款奶茶26杯,购买B款奶茶34杯,花费$(14-5)×26+15×0.8×34=642$(元).
$\because 648＞645＞642$,
$\therefore$方案三花费最少,最少费用为642元.
【解析】(1)设A款奶茶的单价为$x$元/杯,B款奶茶的单价为$y$元/杯,由题意可得$\begin{cases}5x+4y=130,\\3x+2y=72,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=14,\\y=15.\end{cases}$
答:A款奶茶的单价为14元/杯,B款奶茶的单价为15元/杯.
(2)设购买A款奶茶$m$杯,则购买B款奶茶$(60-m)$杯,
根据题意,得$\begin{cases}(14-5)m+15×0.8(60-m)≤648,\\60-m≥34,\end{cases}$
解得$24≤ m≤26$.
$\because m$为正整数,$\therefore m$可以为24,25,26,
$\therefore$共有3种购买方案:
方案一:购买A款奶茶24杯,购买B款奶茶36杯,花费$(14-5)×24+15×0.8×36=648$(元);
方案二:购买A款奶茶25杯,购买B款奶茶35杯,花费$(14-5)×25+15×0.8×35=645$(元);
方案三:购买A款奶茶26杯,购买B款奶茶34杯,花费$(14-5)×26+15×0.8×34=642$(元).
$\because 648＞645＞642$,
$\therefore$方案三花费最少,最少费用为642元.
27. (12 分)若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”. 例如,方程 $x-1=3$ 的解为 $x=4$,而不等式组$\{\begin{array}{l} x-1＞1,\\ x-2＜3\end{array} $的解集为 $2＜x＜5$,不难发现 $x=4$ 在 $2＜x＜5$ 的范围内,所以方程 $x-1=3$ 是不等式组$\{\begin{array}{l} x-1＞1,\\ x-2＜3\end{array} $的“关联方程”.
(1)方程 $3(x+1)-x=9$ ______ (填“是”或“不是”)不等式组$\{\begin{array}{l} 2x-2＞x-1,\\ 3(x-2)-x≤4\end{array} $的“关联方程”;
(2)若关于 $x$ 的方程 $2x-k=6$ 是不等式组$\{\begin{array}{l}\frac{3x+1}{2}≥ x,\\ \frac{x-1}{2}≥ \frac{2x+1}{3}-2\end{array} $的“关联方程”,求 $k$ 的取值范围;
(3)若关于 $x$ 的方程$\frac{x+7}{2}-3m=0$是关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l}\frac{x+2m}{2}＞m,\\ x-m≤ 2m+1\end{array} $的“关联方程”,且此时不等式组有4个整数解,试求 $m$ 的取值范围.
(1)方程 $3(x+1)-x=9$ ______ (填“是”或“不是”)不等式组$\{\begin{array}{l} 2x-2＞x-1,\\ 3(x-2)-x≤4\end{array} $的“关联方程”;
(2)若关于 $x$ 的方程 $2x-k=6$ 是不等式组$\{\begin{array}{l}\frac{3x+1}{2}≥ x,\\ \frac{x-1}{2}≥ \frac{2x+1}{3}-2\end{array} $的“关联方程”,求 $k$ 的取值范围;
(3)若关于 $x$ 的方程$\frac{x+7}{2}-3m=0$是关于$x$的不等式组$\{\begin{array}{l}\frac{x+2m}{2}＞m,\\ x-m≤ 2m+1\end{array} $的“关联方程”,且此时不等式组有4个整数解,试求 $m$ 的取值范围.
答案
27. 【点拨】本题考查解一元一次不等式组,解一元一次方程,解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组和一元一次方程的解法.
【解析】(1)由方程$3(x+1)-x=9$,解得$x=3$,
不等式组$\begin{cases}2x-2＞x-1,①\\3(x-2)-x≤4,②\end{cases}$
解不等式①得$x＞1$,解不等式②得$x≤5$,
$\therefore$原不等式组的解集为$1＜x≤5$.
$\because x=3$在$1＜x≤5$的范围内,
$\therefore$方程$3(x+1)-x=9$是不等式组$\begin{cases}2x-2＞x-1,\\3(x-2)-x≤4\end{cases}$的“关联方程”.故答案为是.
(2)$\begin{cases}\frac{3x+1}{2}≥ x,①\\\frac{x-1}{2}≥ \frac{2x+1}{3}-2,②\end{cases}$
解不等式①得$x≥-1$,解不等式②得$x≤7$,
$\therefore$原不等式组的解集为$-1≤ x≤7$,
由方程$2x-k=6$,解得$x=\frac{k+6}{2}$.
$\because$关于$x$的方程$2x-k=6$是不等式组$\begin{cases}\frac{3x+1}{2}≥ x,\\\frac{x-1}{2}≥ \frac{2x+1}{3}-2\end{cases}$的“关联方程”,$\therefore -1≤\frac{k+6}{2}≤7$,解得$-8≤ k≤8$.
(3)由方程$\frac{x+7}{2}-3m=0$,解得$x=6m-7$.
$\begin{cases}\frac{x+2m}{2}＞m,①\\x-m≤2m+1,②\end{cases}$
解不等式①得$x＞0$,解不等式②得$x≤3m+1$,
$\therefore$原不等式组的解集为$0＜x≤3m+1$.
$\because$不等式组有4个整数解,$\therefore$整数解为1,2,3,4,
$\therefore 4≤3m+1＜5$,$\therefore 1≤ m＜\frac{4}{3}$.
$\because$关于$x$的方程$\frac{x+7}{2}-3m=0$是关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x+2m}{2}＞m,\\x-m≤2m+1\end{cases}$的“关联方程”,
$\therefore \begin{cases}6m-7＞0,\\6m-7≤3m+1,\end{cases}$解得$\frac{7}{6}＜m≤\frac{8}{3}$,
$\therefore m$的取值范围为$\frac{7}{6}＜m＜\frac{4}{3}$.
【解析】(1)由方程$3(x+1)-x=9$,解得$x=3$,
不等式组$\begin{cases}2x-2＞x-1,①\\3(x-2)-x≤4,②\end{cases}$
解不等式①得$x＞1$,解不等式②得$x≤5$,
$\therefore$原不等式组的解集为$1＜x≤5$.
$\because x=3$在$1＜x≤5$的范围内,
$\therefore$方程$3(x+1)-x=9$是不等式组$\begin{cases}2x-2＞x-1,\\3(x-2)-x≤4\end{cases}$的“关联方程”.故答案为是.
(2)$\begin{cases}\frac{3x+1}{2}≥ x,①\\\frac{x-1}{2}≥ \frac{2x+1}{3}-2,②\end{cases}$
解不等式①得$x≥-1$,解不等式②得$x≤7$,
$\therefore$原不等式组的解集为$-1≤ x≤7$,
由方程$2x-k=6$,解得$x=\frac{k+6}{2}$.
$\because$关于$x$的方程$2x-k=6$是不等式组$\begin{cases}\frac{3x+1}{2}≥ x,\\\frac{x-1}{2}≥ \frac{2x+1}{3}-2\end{cases}$的“关联方程”,$\therefore -1≤\frac{k+6}{2}≤7$,解得$-8≤ k≤8$.
(3)由方程$\frac{x+7}{2}-3m=0$,解得$x=6m-7$.
$\begin{cases}\frac{x+2m}{2}＞m,①\\x-m≤2m+1,②\end{cases}$
解不等式①得$x＞0$,解不等式②得$x≤3m+1$,
$\therefore$原不等式组的解集为$0＜x≤3m+1$.
$\because$不等式组有4个整数解,$\therefore$整数解为1,2,3,4,
$\therefore 4≤3m+1＜5$,$\therefore 1≤ m＜\frac{4}{3}$.
$\because$关于$x$的方程$\frac{x+7}{2}-3m=0$是关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{x+2m}{2}＞m,\\x-m≤2m+1\end{cases}$的“关联方程”,
$\therefore \begin{cases}6m-7＞0,\\6m-7≤3m+1,\end{cases}$解得$\frac{7}{6}＜m≤\frac{8}{3}$,
$\therefore m$的取值范围为$\frac{7}{6}＜m＜\frac{4}{3}$.
