28. (12分)【问题探究】
(1)如图1,在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,$BP$,$CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,$∠ BPC$的度数是________;
(2)如图2,$∠ DBC$与$∠ ECB$分别是$△ ABC$的两个外角,若$∠ DBC + ∠ ECB = 210°$,则$∠ A = \_\_\_\_\_\_$;
【拓展与应用】
(3)如图3,在四边形$ABCD$中,$∠ F$为四边形$ABCD$的$∠ ABC$的平分线及外角$∠ DCE$的平分线所在的直线构成的锐角,若设$∠ A=α$,$∠ D=β$,求$∠ F$的度数;(用含$α,β$的式子表示)
(4)如图4,$BI$平分$∠ ABC$,$CI$平分$∠ ACB$,把$△ ABC$沿$DE$折叠,使点$A$与点$I$重合,若$∠1 + ∠2 = 130°$,则$∠ BIC = \_\_\_\_\_\_$.
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28. 【点拨】本题考查角平分线的定义,三角形内角和定理,四边形内角和定理,折叠的性质,解题的关键是综合应用以上知识点分析求解.
【解析】(1)在$△ ABC$中,$∠ A=60°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°-60°=120°$.
$\because BP,CP$分别平分$∠ ABC$和$∠ ACB$,
$\therefore ∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC$,$∠ PCB=\frac{1}{2}∠ ACB$,
$\therefore ∠ PBC+∠ PCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=60°$,
$\therefore ∠ BPC=180°-(∠ PBC+∠ PCB)=120°$.
故答案为$120°$.
(2)$\because ∠ DBC$与$∠ ECB$分别是$△ ABC$的两个外角,且$∠ DBC+∠ ECB=210°$,
$\therefore ∠ ABC+∠ ACB=180°+180°-(∠ DBC+∠ ECB)=360°-210°=150°$,
$\therefore ∠ A=180°-(∠ ABC+∠ ACB)=180°-150°=30°$.
故答案为$30°$.
(3)如图,延长$BA$,$CD$交于点$Q$.
$\because ∠ BAD=α$,$∠ ADC=β$,且$α+β=∠ QDA+∠ Q+∠ QAD+∠ Q=180°+∠ Q$,
$\therefore ∠ Q=α+β-180°$.
$\because ∠ F$为四边形$ABCD$的$∠ ABC$的平分线及外角$∠ DCE$的平分线所在的直线构成的锐角,
$\therefore ∠ FBE=\frac{1}{2}∠ QBC$,$∠ FCE=\frac{1}{2}∠ QCE$,
$\because ∠ QCE=∠ QBC+∠ Q$,$∠ FCE=∠ FBC+∠ F$,
$\therefore ∠ Q=∠ QCE-∠ QBC$,$2∠ F=2∠ FCE-2∠ FBC=∠ QCE-∠ QBC$,$\therefore ∠ Q=2∠ F$,
$\therefore ∠ F=\frac{1}{2}∠ Q=\frac{1}{2}(α+β)-90°$.
(4)已知$∠1+∠2=130°$,由折叠的性质,得$∠ ADI+∠ AEI=180°+180°-(∠1+∠2)=230°$,$∠ A=∠ DIE$,
$\therefore ∠ A=∠ DIE=\frac{1}{2}×(360°-230°)=65°$.
$\because BI$平分$∠ ABC$,$CI$平分$∠ ACB$,
$\therefore ∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}(180°-∠ A)=57.5°$,
$\therefore ∠ BIC=180°-57.5°=122.5°$.
故答案为$122.5°$.