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一、选择题(每小题4分,共24分)
1. 二次函数$y=x^2 - x + 1$的图象与$x$轴的交点个数是(
A.0个
B.1个
C.2个
D.不能确定
1. 二次函数$y=x^2 - x + 1$的图象与$x$轴的交点个数是(
A
).A.0个
B.1个
C.2个
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用一元二次方程根的判别式Δ判断：当二次函数对应的一元二次方程无实根时，图象与x轴无交点；有1个相等实根时，有1个交点；有2个不等实根时，有2个交点。解题时先确定二次函数各项系数a、b、c，代入Δ=b²-4ac计算结果，再与0比较即可得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - x + 1$，对应一元二次方程为$x^2 - x + 1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，说明一元二次方程$x^2 - x + 1=0$没有实数根，因此二次函数$y=x^2 - x + 1$的图象与x轴没有交点。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式的取值与交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要判断二次函数图象与x轴的交点个数，可利用一元二次方程根的判别式Δ判断：当二次函数对应的一元二次方程无实根时，图象与x轴无交点；有1个相等实根时，有1个交点；有2个不等实根时，有2个交点。解题时先确定二次函数各项系数a、b、c，代入Δ=b²-4ac计算结果，再与0比较即可得出结论。
【解析】
对于二次函数$y=x^2 - x + 1$，对应一元二次方程为$x^2 - x + 1=0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-1$，常数项$c=1$。
根据根的判别式公式$\Delta = b^2 - 4ac$，代入得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×1 = 1 - 4 = -3$
因为$\Delta = -3 ＜ 0$，说明一元二次方程$x^2 - x + 1=0$没有实数根，因此二次函数$y=x^2 - x + 1$的图象与x轴没有交点。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数与x轴交点判定
2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次函数图象与x轴交点个数和对应一元二次方程根的判别式的对应关系，牢记判别式的取值与交点个数的对应规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 若一组数据 3,x,4,5,6 的众数是 3,则这组数据的中位数为(
A.3
B.4
C.5
D.6
B
).A.3
B.4
C.5
D.6
答案
B
解析
【分析】
解题思路：首先回忆众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，题目已知众数是3，说明3出现的次数多于其他数，现有数据中3、4、5、6均只出现1次，因此可推出x的值为3；接下来求中位数，需要先将这组数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是奇数个，中位数就是排序后最中间的数，找到对应数值即可得到答案。
【解析】
1. 根据众数定义确定x的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，已知这组数据的众数是3，现有数据中3、4、5、6各仅出现1次，因此x=3，此时3共出现2次，为出现次数最多的数，符合众数要求。
2. 计算中位数：
将这组数据按从小到大的顺序排列为：3，3，4，5，6。
这组数据共5个，是奇数个，中位数为排序后第3个数据，即4。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基础概念，解题核心是先利用众数的性质确定未知参数的值，再按中位数的计算规则求解，属于概念类基础题型，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数，题目已知众数是3，说明3出现的次数多于其他数，现有数据中3、4、5、6均只出现1次，因此可推出x的值为3；接下来求中位数，需要先将这组数据按从小到大的顺序排列，因为数据总个数是奇数个，中位数就是排序后最中间的数，找到对应数值即可得到答案。
【解析】
1. 根据众数定义确定x的值：
众数是一组数据中出现次数最多的数，已知这组数据的众数是3，现有数据中3、4、5、6各仅出现1次，因此x=3，此时3共出现2次，为出现次数最多的数，符合众数要求。
2. 计算中位数：
将这组数据按从小到大的顺序排列为：3，3，4，5，6。
这组数据共5个，是奇数个，中位数为排序后第3个数据，即4。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
众数的定义；中位数的计算
【点评】
本题考查统计中众数和中位数的基础概念，解题核心是先利用众数的性质确定未知参数的值，再按中位数的计算规则求解，属于概念类基础题型，熟练掌握相关定义即可快速解答。
【难度系数】
0.8
3. (兰州中考)关于$x$的一元二次方程$9x^2 - 6x + c = 0$有两个相等的实数根,则$c$等于(
A.$-9$
B.$4$
C.$-1$
D.$1$
D
).A.$-9$
B.$4$
C.$-1$
D.$1$
答案
D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用。解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的个数与判别式$\Delta = b^2-4ac$的对应关系：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。结合题目给出的“有两个相等的实数根”的条件，先确定方程中对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项的取值，再代入$\Delta=0$的等式，解关于$c$的一元一次方程即可得到结果，计算时注意不要弄错一次项系数的符号。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$9x^2 - 6x + c = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中该方程的二次项系数$a=9$，一次项系数$b=-6$，常数项为$c$，代入得：
$(-6)^2 - 4×9× c = 0$
化简计算：
$36 - 36c = 0$
移项得$36c=36$，
解得$c=1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查根的判别式的应用，熟记判别式与根的个数的对应关系，准确代入系数计算即可得分，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的判别式的应用。解题思路如下：首先明确一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的根的个数与判别式$\Delta = b^2-4ac$的对应关系：当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根。结合题目给出的“有两个相等的实数根”的条件，先确定方程中对应二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项的取值，再代入$\Delta=0$的等式，解关于$c$的一元一次方程即可得到结果，计算时注意不要弄错一次项系数的符号。
【解析】
解：
∵关于$x$的一元二次方程$9x^2 - 6x + c = 0$有两个相等的实数根，
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$。
其中该方程的二次项系数$a=9$，一次项系数$b=-6$，常数项为$c$，代入得：
$(-6)^2 - 4×9× c = 0$
化简计算：
$36 - 36c = 0$
移项得$36c=36$，
解得$c=1$。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查根的判别式的应用，熟记判别式与根的个数的对应关系，准确代入系数计算即可得分，是一元二次方程章节的常考题型。
【难度系数】
0.9
4. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是(
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
C
).A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
答案
C
解析
【分析】
要计算甲被选中的可能性，属于简单概率计算问题，解题思路分三步：第一步先列举出从三人中任选两名代表的所有等可能的情况，得到总情况数；第二步找出其中甲被选中的情况数；第三步根据“可能性=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
首先用枚举法列出所有等可能的选法：
从甲、乙、丙三人中任选两名代表，所有可能的结果有：（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙），共3种，且每种结果出现的可能性相等。
其中甲被选中的结果有：（甲，乙）、（甲，丙），共2种。
根据概率的计算方法，甲被选中的可能性为：$2÷3=\frac{2}{3}$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，枚举法，古典概型
【点评】
本题是概率基础题，解题核心是用枚举法不重不漏地列出所有等可能事件，再结合概率公式计算即可，掌握枚举法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要计算甲被选中的可能性，属于简单概率计算问题，解题思路分三步：第一步先列举出从三人中任选两名代表的所有等可能的情况，得到总情况数；第二步找出其中甲被选中的情况数；第三步根据“可能性=符合条件的情况数÷总情况数”计算结果即可。
【解析】
首先用枚举法列出所有等可能的选法：
从甲、乙、丙三人中任选两名代表，所有可能的结果有：（甲，乙）、（甲，丙）、（乙，丙），共3种，且每种结果出现的可能性相等。
其中甲被选中的结果有：（甲，乙）、（甲，丙），共2种。
根据概率的计算方法，甲被选中的可能性为：$2÷3=\frac{2}{3}$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
概率计算，枚举法，古典概型
【点评】
本题是概率基础题，解题核心是用枚举法不重不漏地列出所有等可能事件，再结合概率公式计算即可，掌握枚举法是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
5. 一个扇形的圆心角是$120°$，面积为$3π\ \mathrm{cm}^2$，那么这个扇形的半径是(
A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm}$
B
).A.$1\ \mathrm{cm}$
B.$3\ \mathrm{cm}$
C.$6\ \mathrm{cm}$
D.$9\ \mathrm{cm}$
答案
解析:设扇形的半径为R.由题意,得$3π=\frac{120π· R^2}{360}$,解得$R=±3$.
$\because R＞0,\therefore R=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$这个扇形的半径为3 cm.故选B.
$\because R＞0,\therefore R=3\ \mathrm{cm}$,
$\therefore$这个扇形的半径为3 cm.故选B.
解析
【分析】解题时首先回忆扇形的面积公式：$S_{扇形}=\frac{nπR^2}{360}$，其中n是圆心角度数，R是扇形半径，S是扇形面积。题目已经给出圆心角n=120°，面积S=3π，要求半径R，我们可以设R为未知数，将已知量代入公式列方程，解方程后结合半径为正数的实际要求舍去负根，即可得到正确结果。
【解析】设扇形的半径为R，由题意得：
$3π=\frac{120π· R^2}{360}$
化简等式右侧得$3π=\frac{πR^2}{3}$，两边同时除以π得$3=\frac{R^2}{3}$，
进一步计算得$R^2=9$，解得$R=±3$。
∵半径为长度，取值大于0，即$R＞0$，
∴$R=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】扇形面积公式；一元二次方程求解；实际问题根的取舍
【点评】本题属于基础题，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题时需注意结合实际意义舍去不符合要求的负根，整体计算量小，易于掌握。
【难度系数】0.8
【解析】设扇形的半径为R，由题意得：
$3π=\frac{120π· R^2}{360}$
化简等式右侧得$3π=\frac{πR^2}{3}$，两边同时除以π得$3=\frac{R^2}{3}$，
进一步计算得$R^2=9$，解得$R=±3$。
∵半径为长度，取值大于0，即$R＞0$，
∴$R=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】扇形面积公式；一元二次方程求解；实际问题根的取舍
【点评】本题属于基础题，主要考查扇形面积公式的直接应用，解题时需注意结合实际意义舍去不符合要求的负根，整体计算量小，易于掌握。
【难度系数】0.8
6. 若点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 $ AB=2(AC＞BC) $，则 AC 等于（
A.$ \sqrt{5}-1 $
B.$ 3-\sqrt{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $
D.$ \sqrt{5}-1 $ 或 $ 3-\sqrt{5} $
A
）.A.$ \sqrt{5}-1 $
B.$ 3-\sqrt{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $
D.$ \sqrt{5}-1 $ 或 $ 3-\sqrt{5} $
答案
解析:$\because$点C是线段AB的黄金分割点,且$AB=2,AC＞BC,\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$.故选A.
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成AC和BC两段（AC＞BC），且AC是AB和BC的比例中项，此时较长线段AC与全长AB的比值为固定的黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已经明确给出AC＞BC，说明AC是较长的那段，直接代入黄金比公式计算即可；如果没有给出AC和BC的大小关系会有两种结果，本题有明确限定，因此无需考虑另一种情况。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
又
∵$AB=2$，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于黄金分割的基础考查题，解题核心是牢记黄金分割的比例关系，同时要注意题目给出的线段大小限定条件，避免忽略条件误选多解选项。
【难度系数】
0.8
首先回忆黄金分割的定义：若点C把线段AB分成AC和BC两段（AC＞BC），且AC是AB和BC的比例中项，此时较长线段AC与全长AB的比值为固定的黄金比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。本题已经明确给出AC＞BC，说明AC是较长的那段，直接代入黄金比公式计算即可；如果没有给出AC和BC的大小关系会有两种结果，本题有明确限定，因此无需考虑另一种情况。
【解析】
解：
∵点C是线段AB的黄金分割点，且$AC＞BC$，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB$，
又
∵$AB=2$，
∴$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×2=\sqrt{5}-1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
黄金分割的定义；线段长度计算
【点评】
本题属于黄金分割的基础考查题，解题核心是牢记黄金分割的比例关系，同时要注意题目给出的线段大小限定条件，避免忽略条件误选多解选项。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$,且$x+y=24$,则$x-y$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
7. 已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}$,且$x+y=24$,则$x-y$的值是$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
-6
解析
【分析】
本题给出了x与y的比例关系以及两者的和，解题时可利用比例的性质设参数，将x、y用含同一个参数的式子表示，再代入x+y=24求出参数，最后计算x-y即可。具体思路：第一步，根据比例式设公共比值为k，得到x=3k、y=5k；第二步，将x、y代入x+y=24，解关于k的一元一次方程求出k的值；第三步，代入k得到x、y的具体数值，计算x-y的结果。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=k$（$k\ne0$），则：
$x=3k$，$y=5k$
把$x=3k$、$y=5k$代入$x+y=24$，可得：
$3k+5k=24$
合并同类项得：$8k=24$
解得：$k=3$
因此$x=3×3=9$，$y=5×3=15$
则$x-y=9-15=-6$
【答案】
-6
【知识点】
比例的性质；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查比例式的常用处理方法——设参数法，通过引入公共参数将两个未知数转化为同一个参数的表达式，可大幅简化计算过程，熟练掌握比例的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题给出了x与y的比例关系以及两者的和，解题时可利用比例的性质设参数，将x、y用含同一个参数的式子表示，再代入x+y=24求出参数，最后计算x-y即可。具体思路：第一步，根据比例式设公共比值为k，得到x=3k、y=5k；第二步，将x、y代入x+y=24，解关于k的一元一次方程求出k的值；第三步，代入k得到x、y的具体数值，计算x-y的结果。
【解析】
设$\frac{x}{3}=\frac{y}{5}=k$（$k\ne0$），则：
$x=3k$，$y=5k$
把$x=3k$、$y=5k$代入$x+y=24$，可得：
$3k+5k=24$
合并同类项得：$8k=24$
解得：$k=3$
因此$x=3×3=9$，$y=5×3=15$
则$x-y=9-15=-6$
【答案】
-6
【知识点】
比例的性质；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查比例式的常用处理方法——设参数法，通过引入公共参数将两个未知数转化为同一个参数的表达式，可大幅简化计算过程，熟练掌握比例的基本性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. 将函数$y=2x^2 -1$的图象向左平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
$y=2x^2+4x+1$
解析
【分析】
解决这道题首先要掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量$x$进行操作：向左平移$m$个单位，就将原式中的$x$替换为$x+m$；向右平移则替换为$x-m$。本题要求向左平移1个单位，因此只需把原函数中的$x$换成$x+1$，再将得到的式子化简为一般形式即可。
【解析】
已知原函数为$y=2x^2 -1$，将其图象向左平移1个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，把函数中的$x$替换为$x+1$，可得平移后的函数表达式为：
$y=2(x+1)^2 -1$
接下来展开化简：
先根据完全平方公式计算$(x+1)^2 = x^2 + 2x +1$，代入上式得：
$y=2(x^2 +2x +1) -1 = 2x^2 +4x +2 -1 = 2x^2 +4x +1$
【答案】
$y=2x^2+4x+1$
【知识点】
二次函数图象平移，整式化简
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是明确平移规律中“左加右减”是针对自变量$x$的操作，不要直接对常数项变形，展开计算时要注意完全平方公式的正确运用，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，其中左右平移是针对自变量$x$进行操作：向左平移$m$个单位，就将原式中的$x$替换为$x+m$；向右平移则替换为$x-m$。本题要求向左平移1个单位，因此只需把原函数中的$x$换成$x+1$，再将得到的式子化简为一般形式即可。
【解析】
已知原函数为$y=2x^2 -1$，将其图象向左平移1个单位长度，根据“左加右减”的平移规律，把函数中的$x$替换为$x+1$，可得平移后的函数表达式为：
$y=2(x+1)^2 -1$
接下来展开化简：
先根据完全平方公式计算$(x+1)^2 = x^2 + 2x +1$，代入上式得：
$y=2(x^2 +2x +1) -1 = 2x^2 +4x +2 -1 = 2x^2 +4x +1$
【答案】
$y=2x^2+4x+1$
【知识点】
二次函数图象平移，整式化简
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是明确平移规律中“左加右减”是针对自变量$x$的操作，不要直接对常数项变形，展开计算时要注意完全平方公式的正确运用，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
9. 某招聘考试分笔试和面试两部分，小明笔试成绩90分，面试成绩85分，如果笔试成绩、面试成绩按$6:4$计算，那么小明的平均成绩是
88
分.答案
88
解析
【分析】
这是一道加权平均数的计算题目，解题思路如下：首先明确笔试和面试成绩的权重比为6:4，说明计算平均成绩时，笔试成绩占6份、面试成绩占4份，总权重为6+4=10。我们只需要用对应成绩乘以各自的权重，求和后再除以总权重，就能得到加权平均成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法：
加权平均成绩 =（笔试成绩×笔试权重 + 面试成绩×面试权重）÷ 总权重
先计算总权重：$6+4=10$
代入数据计算：
$\begin{aligned}平均成绩&=(90×6 + 85×4) ÷ 10\\&=(540 + 340) ÷ 10\\&=880 ÷ 10\\&=88\end{aligned}$
【答案】
88
【知识点】
加权平均数计算、比例的应用
【点评】
本题是加权平均数在实际场景中的基础应用题，解题核心是准确识别各数据对应的权重，按照加权平均数的计算规则代入求解即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
这是一道加权平均数的计算题目，解题思路如下：首先明确笔试和面试成绩的权重比为6:4，说明计算平均成绩时，笔试成绩占6份、面试成绩占4份，总权重为6+4=10。我们只需要用对应成绩乘以各自的权重，求和后再除以总权重，就能得到加权平均成绩。
【解析】
根据加权平均数的计算方法：
加权平均成绩 =（笔试成绩×笔试权重 + 面试成绩×面试权重）÷ 总权重
先计算总权重：$6+4=10$
代入数据计算：
$\begin{aligned}平均成绩&=(90×6 + 85×4) ÷ 10\\&=(540 + 340) ÷ 10\\&=880 ÷ 10\\&=88\end{aligned}$
【答案】
88
【知识点】
加权平均数计算、比例的应用
【点评】
本题是加权平均数在实际场景中的基础应用题，解题核心是准确识别各数据对应的权重，按照加权平均数的计算规则代入求解即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
10. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1.5$，$\sin A=\dfrac{5}{13}$，则$AB=\underline{\hspace{5em}}$.
答案
3.9
解析
【分析】
解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。本题中∠C=90°，∠A的对边是BC，斜边是AB，已知sinA和BC的长度，可直接根据正弦的定义列等式求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\dfrac{5}{13}$，$BC=1.5$，将数值代入上式得：
$\dfrac{5}{13}=\dfrac{1.5}{AB}$
解得：
$AB=1.5÷\dfrac{5}{13}=1.5×\dfrac{13}{5}=3.9$
【答案】
3.9
【知识点】
正弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础应用题，重点考查锐角三角函数中正弦定义的掌握情况，解题的关键是准确找到锐角对应的对边和斜边，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆锐角正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦值等于它的对边与斜边的比值。本题中∠C=90°，∠A的对边是BC，斜边是AB，已知sinA和BC的长度，可直接根据正弦的定义列等式求出AB的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦的定义可得：
$\sin A=\dfrac{∠ A\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\dfrac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\dfrac{5}{13}$，$BC=1.5$，将数值代入上式得：
$\dfrac{5}{13}=\dfrac{1.5}{AB}$
解得：
$AB=1.5÷\dfrac{5}{13}=1.5×\dfrac{13}{5}=3.9$
【答案】
3.9
【知识点】
正弦的定义；解直角三角形
【点评】
本题是基础应用题，重点考查锐角三角函数中正弦定义的掌握情况，解题的关键是准确找到锐角对应的对边和斜边，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
11. 已知关于$ x $的方程$ x^2 - 3x + a = 0 $有一个根为1，则方程的另一个根为________.
答案
2
解析
【分析】
本题有两种常用解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算参数a，步骤更简便：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于$-b$，已知其中一个根，直接设另一个根列等式即可求出结果；思路2：先将已知根代入原方程求出参数$a$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一：设方程的另一个根为$m$，对于方程$x^2-3x+a=0$，根据根与系数的关系，两根之和为$3$。
已知一个根为$1$，可得：$1+m=3$，解得$m=2$。
方法二：把$x=1$代入原方程，得：$1^2-3×1+a=0$，解得$a=2$。
此时原方程为$x^2-3x+2=0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，即另一个根为$2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都符合课标要求，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系可以进一步提升解题速度。
【难度系数】
0.8
本题有两种常用解题思路：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系求解，无需计算参数a，步骤更简便：对于二次项系数为1的一元二次方程$x^2+bx+c=0$，两根之和等于$-b$，已知其中一个根，直接设另一个根列等式即可求出结果；思路2：先将已知根代入原方程求出参数$a$的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一：设方程的另一个根为$m$，对于方程$x^2-3x+a=0$，根据根与系数的关系，两根之和为$3$。
已知一个根为$1$，可得：$1+m=3$，解得$m=2$。
方法二：把$x=1$代入原方程，得：$1^2-3×1+a=0$，解得$a=2$。
此时原方程为$x^2-3x+2=0$，因式分解得$(x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=2$，即另一个根为$2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都符合课标要求，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系可以进一步提升解题速度。
【难度系数】
0.8
12.二次函数$y=ax^2+bx+2(a≠0)$的图象经过点$(-1,1)$，则代数式$1+a-b$的值为________.
答案
0
解析
【分析】
解题时首先回忆函数图象与点坐标的关系：若点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式。第一步将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到含a、b的等式，整理求出a-b的值，第二步将a-b的值整体代入待求代数式即可算出结果，不需要分别求出a、b的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+2(a≠0)$的图象经过点$(-1,1)$
∴将$x=-1$，$y=1$代入函数解析式，可得：
$1 = a×(-1)^2 + b×(-1) + 2$
化简得：$1 = a - b + 2$
移项计算得：$a - b = 1 - 2 = -1$
将$a - b = -1$代入代数式$1+a-b$，得：
$1+a-b=1+(-1)=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象上点的坐标性质，解题关键是代入点坐标得到a与b的数量关系，结合整体代入思想即可快速求解，主要考察学生对基础性质的掌握和简单运算能力。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆函数图象与点坐标的关系：若点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式。第一步将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到含a、b的等式，整理求出a-b的值，第二步将a-b的值整体代入待求代数式即可算出结果，不需要分别求出a、b的具体值，用整体代入法更简便。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+2(a≠0)$的图象经过点$(-1,1)$
∴将$x=-1$，$y=1$代入函数解析式，可得：
$1 = a×(-1)^2 + b×(-1) + 2$
化简得：$1 = a - b + 2$
移项计算得：$a - b = 1 - 2 = -1$
将$a - b = -1$代入代数式$1+a-b$，得：
$1+a-b=1+(-1)=0$
【答案】
0
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；代数式求值
【点评】
本题是基础题型，核心考查函数图象上点的坐标性质，解题关键是代入点坐标得到a与b的数量关系，结合整体代入思想即可快速求解，主要考察学生对基础性质的掌握和简单运算能力。
【难度系数】
0.85
三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)解方程:
(1)$x^2 + 4x = 0$;
(2)$2x(x - 3) = x - 3$.
13. (12分)解方程:
(1)$x^2 + 4x = 0$;
(2)$2x(x - 3) = x - 3$.
答案
(1)$x_1=0,x_2=-4$
(2)$x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
(2)$x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
解析
【分析】
这两道一元二次方程题都适合用因式分解法求解，解题思路如下：1. 第(1)题观察左侧式子，可直接提取公因式x，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；2. 第(2)题注意不能直接两边除以(x-3)，否则会漏掉x=3的根，需先移项把所有项移到左侧，再提取公因式(x-3)；3. 最后根据“若ab=0，则a=0或b=0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x = 0$：
对左侧提取公因式$x$，得：
$x(x + 4) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x + 4 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(2) 解方程$2x(x - 3) = x - 3$：
移项，将右侧的$x-3$移到左侧，得：
$2x(x - 3) - (x - 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$，得：
$(x - 3)(2x - 1) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-4$
(2)$x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的灵活应用，解题时要注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根，掌握因式分解的技巧可以大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.85
这两道一元二次方程题都适合用因式分解法求解，解题思路如下：1. 第(1)题观察左侧式子，可直接提取公因式x，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；2. 第(2)题注意不能直接两边除以(x-3)，否则会漏掉x=3的根，需先移项把所有项移到左侧，再提取公因式(x-3)；3. 最后根据“若ab=0，则a=0或b=0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。
【解析】
(1) 解方程$x^2 + 4x = 0$：
对左侧提取公因式$x$，得：
$x(x + 4) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x + 4 = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-4$
(2) 解方程$2x(x - 3) = x - 3$：
移项，将右侧的$x-3$移到左侧，得：
$2x(x - 3) - (x - 3) = 0$
提取公因式$(x - 3)$，得：
$(x - 3)(2x - 1) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x - 3 = 0$ 或 $2x - 1 = 0$
解得：$x_1=3$，$x_2=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-4$
(2)$x_1=3,x_2=\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解方程、提取公因式、一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，重点考查因式分解法的灵活应用，解题时要注意不要随意两边除以含未知数的整式，避免漏根，掌握因式分解的技巧可以大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.85
