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14. (12分)若关于$ x $的一元二次方程$(m + 1)x^2 - 2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$ m $的取值范围；
(2)若$ x = 1 $是方程的一个根，求$ m $的值和另一个根.
(1)求$ m $的取值范围；
(2)若$ x = 1 $是方程的一个根，求$ m $的值和另一个根.
答案
(1)根据题意,得$\Delta=(-2)^2+4(m+1)＞0$,
解得$m＞-2$.又$m+1≠0$,即$m≠-1$,
所以$m＞-2$且$m≠-1$.
(2)把$x=1$代入原方程,得$m+1-3=0$,解得$m=2$,
$\therefore$原方程变为$3x^2-2x-1=0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$.
$\therefore$方程的另一个根为$x_2=-\frac{1}{3}$.
解得$m＞-2$.又$m+1≠0$,即$m≠-1$,
所以$m＞-2$且$m≠-1$.
(2)把$x=1$代入原方程,得$m+1-3=0$,解得$m=2$,
$\therefore$原方程变为$3x^2-2x-1=0$,解得$x_1=1,x_2=-\frac{1}{3}$.
$\therefore$方程的另一个根为$x_2=-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
（1）求解一元二次方程有两个不相等实数根的参数范围，需要同时满足两个条件：① 二次项系数不为0，确保方程是一元二次方程；② 根的判别式Δ＞0，确保方程有两个不相等的实数根。先根据判别式公式列不等式求解，再排除二次项系数为0的情况，综合得到m的取值范围。
（2）已知方程的一个根，可将根代入原方程得到关于m的一元一次方程，求解得到m的值，再将m代入原方程得到完整的一元二次方程，求解即可得到另一个根。
【解析】
(1) 由题意得方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根：
首先二次项系数不为0，即 $m+1≠0$，解得 $m≠-1$；
根据根的判别式公式 $\Delta = b^2-4ac$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=-1$，可得：
$\Delta=(-2)^2 -4×(m+1)×(-1)=4+4(m+1)$
由$\Delta＞0$得$4+4(m+1)＞0$，化简得$4m＞-8$，解得$m＞-2$。
综上，m的取值范围是$m＞-2$且$m≠-1$。
(2) 将$x=1$代入原方程得：
$(m+1)×1^2 -2×1 -1=0$，化简得$m-2=0$，解得$m=2$。
把$m=2$代入原方程得$3x^2-2x-1=0$，因式分解得$(3x+1)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$。
所以方程的另一个根为$-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $m ＞ -2$ 且 $m ≠ -1$
(2) $m=2$，另一个根为$-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，第一问容易忽略二次项系数不为0的隐含条件导致取值范围出错，第二问只需利用方程根的定义代入求参数，再解方程即可，解题时注意细节即可避免失分。
【难度系数】
0.7
（1）求解一元二次方程有两个不相等实数根的参数范围，需要同时满足两个条件：① 二次项系数不为0，确保方程是一元二次方程；② 根的判别式Δ＞0，确保方程有两个不相等的实数根。先根据判别式公式列不等式求解，再排除二次项系数为0的情况，综合得到m的取值范围。
（2）已知方程的一个根，可将根代入原方程得到关于m的一元一次方程，求解得到m的值，再将m代入原方程得到完整的一元二次方程，求解即可得到另一个根。
【解析】
(1) 由题意得方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根：
首先二次项系数不为0，即 $m+1≠0$，解得 $m≠-1$；
根据根的判别式公式 $\Delta = b^2-4ac$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=-1$，可得：
$\Delta=(-2)^2 -4×(m+1)×(-1)=4+4(m+1)$
由$\Delta＞0$得$4+4(m+1)＞0$，化简得$4m＞-8$，解得$m＞-2$。
综上，m的取值范围是$m＞-2$且$m≠-1$。
(2) 将$x=1$代入原方程得：
$(m+1)×1^2 -2×1 -1=0$，化简得$m-2=0$，解得$m=2$。
把$m=2$代入原方程得$3x^2-2x-1=0$，因式分解得$(3x+1)(x-1)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{3}$。
所以方程的另一个根为$-\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $m ＞ -2$ 且 $m ≠ -1$
(2) $m=2$，另一个根为$-\frac{1}{3}$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，第一问容易忽略二次项系数不为0的隐含条件导致取值范围出错，第二问只需利用方程根的定义代入求参数，再解方程即可，解题时注意细节即可避免失分。
【难度系数】
0.7
15. (12分)如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥ AB$于点E,点P在$\odot O$上,PD恰好经过圆心O,连接PB.
(1)若$CD=8,BE=2$,求$\odot O$的周长.
(2)若$∠ P=∠ D$,则点E是AB的一个四等分点吗?为什么?
(1)若$CD=8,BE=2$,求$\odot O$的周长.
(2)若$∠ P=∠ D$,则点E是AB的一个四等分点吗?为什么?
答案
(1)设$\odot O$的半径为$R$.
$\because AB⊥ CD$,$AB$为$\odot O$的直径,$CD=8$,
$\therefore∠ OED=90°,CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$.
在$\mathrm{Rt}△ OED$中,由勾股定理,
得$OD^2=OE^2+DE^2$,即$R^2=(R-2)^2+4^2$,解得$R=5$,
$\therefore\odot O$的半径为5,
$\therefore\odot O$的周长为$2π×5=10π$.
(2)若$∠ P=∠ D$,则点E是AB的一个四等分点.理由如下:
$\because∠ P=∠ D,∠ BOD=2∠ P$,
$\therefore∠ BOD=2∠ D$.
$\because CD⊥ OB,\therefore∠ OED=90°$,
$\therefore∠ EOD+∠ D=3∠ D=90°$,
$\therefore∠ D=30°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB$,
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB$,
$\therefore$点E是AB的一个四等分点.
一题多解 (2)若$∠ P=∠ D$,则点E是AB的一个四等分点.理由如下:
连接OC.$\because AB⊥ CD,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},∠ OED=90°$.
$\because∠ P=∠ D,\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore∠ BOD=∠ POC=∠ BOC=60°$,
$\therefore∠ D=\frac{1}{2}∠ POC=30°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB$,
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB$,
$\therefore$点E是AB的一个四等分点.
$\because AB⊥ CD$,$AB$为$\odot O$的直径,$CD=8$,
$\therefore∠ OED=90°,CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$.
在$\mathrm{Rt}△ OED$中,由勾股定理,
得$OD^2=OE^2+DE^2$,即$R^2=(R-2)^2+4^2$,解得$R=5$,
$\therefore\odot O$的半径为5,
$\therefore\odot O$的周长为$2π×5=10π$.
(2)若$∠ P=∠ D$,则点E是AB的一个四等分点.理由如下:
$\because∠ P=∠ D,∠ BOD=2∠ P$,
$\therefore∠ BOD=2∠ D$.
$\because CD⊥ OB,\therefore∠ OED=90°$,
$\therefore∠ EOD+∠ D=3∠ D=90°$,
$\therefore∠ D=30°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB$,
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB$,
$\therefore$点E是AB的一个四等分点.
一题多解 (2)若$∠ P=∠ D$,则点E是AB的一个四等分点.理由如下:
连接OC.$\because AB⊥ CD,\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},∠ OED=90°$.
$\because∠ P=∠ D,\therefore\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{PC}=\overset{\frown}{BC}$,
$\therefore∠ BOD=∠ POC=∠ BOC=60°$,
$\therefore∠ D=\frac{1}{2}∠ POC=30°$,
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB$,
$\therefore BE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB$,
$\therefore$点E是AB的一个四等分点.
解析
【分析】
(1) 求解第一问的思路：首先利用垂径定理，由直径AB垂直弦CD得到DE的长度，再设圆的半径为R，将Rt△OED的三边用含R的式子表示，结合勾股定理列方程求出半径，最后代入圆的周长公式计算即可。
(2) 求解第二问的思路：先根据圆周角定理得到同弧所对圆心角和圆周角的关系，结合已知∠P=∠D推出∠BOD和∠D的数量关系，再由CD⊥AB得到△OED是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数，结合30°直角三角形的性质得到OE和半径的关系，进而推导BE和AB的比例，即可判断E是否为AB的四等分点。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为$R$。
$\because AB⊥ CD$，$AB$为$\odot O$的直径，$CD=8$，
$\therefore∠ OED=90°$，由垂径定理得$CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，由勾股定理，得$OD^2=OE^2+DE^2$，
其中$OD=R$，$OE=OB-BE=R-2$，代入得$R^2=(R-2)^2+4^2$，
展开化简得$4R=20$，解得$R=5$。
$\therefore\odot O$的周长为$2π×5=10π$。
(2) 点E是AB的一个四等分点，理由如下：
$\because∠ P$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，
$\therefore$由圆周角定理得$∠ BOD=2∠ P$。
$\because∠ P=∠ D$，$\therefore∠ BOD=2∠ D$。
$\because CD⊥ OB$，$\therefore∠ OED=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OED$中，$∠ EOD+∠ D=3∠ D=90°$，解得$∠ D=30°$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore BE=OB-OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB$，
$\therefore$点E是AB的一个四等分点。
【答案】
(1) $\odot O$的周长为$\boxed{10π}$；
(2) 点E是AB的一个四等分点，理由见解析。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了圆的核心性质及直角三角形相关性质的应用，第一问的方程思想是求解圆中线段长度的常用思路，第二问需要熟练掌握圆心角与圆周角的数量关系，结合特殊直角三角形的性质推导边长比例，是圆章节的经典考法。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问的思路：首先利用垂径定理，由直径AB垂直弦CD得到DE的长度，再设圆的半径为R，将Rt△OED的三边用含R的式子表示，结合勾股定理列方程求出半径，最后代入圆的周长公式计算即可。
(2) 求解第二问的思路：先根据圆周角定理得到同弧所对圆心角和圆周角的关系，结合已知∠P=∠D推出∠BOD和∠D的数量关系，再由CD⊥AB得到△OED是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠D的度数，结合30°直角三角形的性质得到OE和半径的关系，进而推导BE和AB的比例，即可判断E是否为AB的四等分点。
【解析】
(1) 设$\odot O$的半径为$R$。
$\because AB⊥ CD$，$AB$为$\odot O$的直径，$CD=8$，
$\therefore∠ OED=90°$，由垂径定理得$CE=DE=\frac{1}{2}CD=4$。
在$\mathrm{Rt}△ OED$中，由勾股定理，得$OD^2=OE^2+DE^2$，
其中$OD=R$，$OE=OB-BE=R-2$，代入得$R^2=(R-2)^2+4^2$，
展开化简得$4R=20$，解得$R=5$。
$\therefore\odot O$的周长为$2π×5=10π$。
(2) 点E是AB的一个四等分点，理由如下：
$\because∠ P$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆周角，$∠ BOD$是$\overset{\frown}{BD}$所对的圆心角，
$\therefore$由圆周角定理得$∠ BOD=2∠ P$。
$\because∠ P=∠ D$，$\therefore∠ BOD=2∠ D$。
$\because CD⊥ OB$，$\therefore∠ OED=90°$，
$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ OED$中，$∠ EOD+∠ D=3∠ D=90°$，解得$∠ D=30°$，
$\therefore OE=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}OB$，
$\therefore BE=OB-OE=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{4}AB$，
$\therefore$点E是AB的一个四等分点。
【答案】
(1) $\odot O$的周长为$\boxed{10π}$；
(2) 点E是AB的一个四等分点，理由见解析。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆周角定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，考查了圆的核心性质及直角三角形相关性质的应用，第一问的方程思想是求解圆中线段长度的常用思路，第二问需要熟练掌握圆心角与圆周角的数量关系，结合特殊直角三角形的性质推导边长比例，是圆章节的经典考法。
【难度系数】
0.7
16. (16分)如图,二次函数$y=x^2+bx+c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点,其中点$A$的坐标为$(-3,0)$,与$y$轴交于点$C$,点$D(-2,-3)$在抛物线上.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点$P$,求出$PA+PD$的最小值;
(3)若抛物线上有一动点$M$(点$C$除外),使$△ ABM$的面积等于$△ ABC$的面积,求点$M$的坐标.
(1)求抛物线的表达式;
(2)抛物线的对称轴上有一动点$P$,求出$PA+PD$的最小值;
(3)若抛物线上有一动点$M$(点$C$除外),使$△ ABM$的面积等于$△ ABC$的面积,求点$M$的坐标.
答案
(1)抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)求得点B的坐标为$(1,0)$.如图,连接BD,交抛物线的对称轴于点P.
$\because PA=PB$,
$\therefore PA+PD$的最小值为线段BD的长度.
$\because BD=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-0)^2}=3\sqrt{2}$,
$\therefore PA+PD$的最小值为$3\sqrt{2}$.(注意:求$AC=3\sqrt{2}$亦可)
(3)设点M的坐标为$(x,x^2+2x-3)$.
可求得点C的坐标为$(0,-3)$.
$\because S_{△ ABM}=S_{△ ABC}$,
$\therefore |x^2+2x-3|=3$,
即$x^2+2x-6=0$或$x^2+2x=0$,
解得$x_1=-1-\sqrt{7}$或$x_2=-1+\sqrt{7}$或$x_3=-2$或$x_4=0$(舍去).
$\therefore$点M的坐标为$(-1-\sqrt{7},3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-2,-3)$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线表达式采用待定系数法：已知二次函数过A(-3,0)、D(-2,-3)两点，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 求对称轴上动点P使得PA+PD最小属于轴对称最短路径问题：抛物线对称轴是A、B两点的垂直平分线，对称轴上任意点P到A、B的距离相等，即PA=PB，因此PA+PD可转化为PB+PD，根据两点之间线段最短，当P为BD与对称轴的交点时，PB+PD最小，最小值即为BD的长度，用两点间距离公式计算即可。
(3) 两三角形△ABM和△ABC同底AB，若面积相等则高相等，即点M到x轴的距离等于点C到x轴的距离，也就是M的纵坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，据此列方程求解，最后排除与C重合的点即可。
【解析】
(1) 将点A(-3,0)、D(-2,-3)代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9-3b+c=0 \\4-2b+c=-3 \end{cases}$
两式相减得$5-b=3$，解得$b=2$，代入第一个方程得$c=-3$，因此抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 令$y=0$，解方程$x^2+2x-3=0$得$x_1=-3$，$x_2=1$，故点B坐标为$(1,0)$。
抛物线对称轴为直线$x=-1$，因为A、B关于对称轴对称，故对称轴上任意点P满足$PA=PB$，因此$PA+PD=PB+PD$。根据两点之间线段最短，当P为BD与对称轴交点时，$PB+PD$最小，最小值为BD的长度。
由两点间距离公式：$BD=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，即$PA+PD$的最小值为$3\sqrt{2}$。
(3) 令$x=0$得$y=-3$，故点C坐标为$(0,-3)$。
△ABM与△ABC同底AB，面积相等则高相等，即$|y_M|=|y_C|=3$。设$M(x,x^2+2x-3)$，则$|x^2+2x-3|=3$：
① 当$x^2+2x-3=3$时，$x^2+2x-6=0$，解得$x=-1\pm\sqrt{7}$，对应点为$(-1-\sqrt{7},3)$、$(-1+\sqrt{7},3)$；
② 当$x^2+2x-3=-3$时，$x^2+2x=0$，解得$x=0$（对应点C，舍去）或$x=-2$，对应点为$(-2,-3)$。
综上可得点M的坐标。
【答案】
(1)抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)求得点B的坐标为$(1,0)$.如图,连接BD,交抛物线的对称轴于点P.
$\because PA=PB$,
$\therefore PA+PD$的最小值为线段BD的长度.
$\because BD=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-0)^2}=3\sqrt{2}$,
$\therefore PA+PD$的最小值为$3\sqrt{2}$.(注意:求$AC=3\sqrt{2}$亦可)
(3)设点M的坐标为$(x,x^2+2x-3)$.
可求得点C的坐标为$(0,-3)$.
$\because S_{△ ABM}=S_{△ ABC}$,
$\therefore |x^2+2x-3|=3$,
即$x^2+2x-6=0$或$x^2+2x=0$,
解得$x_1=-1-\sqrt{7}$或$x_2=-1+\sqrt{7}$或$x_3=-2$或$x_4=0$(舍去).
$\therefore$点M的坐标为$(-1-\sqrt{7},3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-2,-3)$.
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，二次函数面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考察了二次函数解析式求解、最短路径转化、同底等高三角形面积关系等核心考点，解题需运用转化思想，将线段和最值转化为线段长度、面积相等转化为纵坐标绝对值相等，是二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 求抛物线表达式采用待定系数法：已知二次函数过A(-3,0)、D(-2,-3)两点，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，得到解析式。
(2) 求对称轴上动点P使得PA+PD最小属于轴对称最短路径问题：抛物线对称轴是A、B两点的垂直平分线，对称轴上任意点P到A、B的距离相等，即PA=PB，因此PA+PD可转化为PB+PD，根据两点之间线段最短，当P为BD与对称轴的交点时，PB+PD最小，最小值即为BD的长度，用两点间距离公式计算即可。
(3) 两三角形△ABM和△ABC同底AB，若面积相等则高相等，即点M到x轴的距离等于点C到x轴的距离，也就是M的纵坐标的绝对值等于C点纵坐标的绝对值，据此列方程求解，最后排除与C重合的点即可。
【解析】
(1) 将点A(-3,0)、D(-2,-3)代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}9-3b+c=0 \\4-2b+c=-3 \end{cases}$
两式相减得$5-b=3$，解得$b=2$，代入第一个方程得$c=-3$，因此抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$。
(2) 令$y=0$，解方程$x^2+2x-3=0$得$x_1=-3$，$x_2=1$，故点B坐标为$(1,0)$。
抛物线对称轴为直线$x=-1$，因为A、B关于对称轴对称，故对称轴上任意点P满足$PA=PB$，因此$PA+PD=PB+PD$。根据两点之间线段最短，当P为BD与对称轴交点时，$PB+PD$最小，最小值为BD的长度。
由两点间距离公式：$BD=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-0)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，即$PA+PD$的最小值为$3\sqrt{2}$。
(3) 令$x=0$得$y=-3$，故点C坐标为$(0,-3)$。
△ABM与△ABC同底AB，面积相等则高相等，即$|y_M|=|y_C|=3$。设$M(x,x^2+2x-3)$，则$|x^2+2x-3|=3$：
① 当$x^2+2x-3=3$时，$x^2+2x-6=0$，解得$x=-1\pm\sqrt{7}$，对应点为$(-1-\sqrt{7},3)$、$(-1+\sqrt{7},3)$；
② 当$x^2+2x-3=-3$时，$x^2+2x=0$，解得$x=0$（对应点C，舍去）或$x=-2$，对应点为$(-2,-3)$。
综上可得点M的坐标。
【答案】
(1)抛物线的表达式为$y=x^2+2x-3$.
(2)求得点B的坐标为$(1,0)$.如图,连接BD,交抛物线的对称轴于点P.
$\because PA=PB$,
$\therefore PA+PD$的最小值为线段BD的长度.
$\because BD=\sqrt{(-2-1)^2+(-3-0)^2}=3\sqrt{2}$,
$\therefore PA+PD$的最小值为$3\sqrt{2}$.(注意:求$AC=3\sqrt{2}$亦可)
(3)设点M的坐标为$(x,x^2+2x-3)$.
可求得点C的坐标为$(0,-3)$.
$\because S_{△ ABM}=S_{△ ABC}$,
$\therefore |x^2+2x-3|=3$,
即$x^2+2x-6=0$或$x^2+2x=0$,
解得$x_1=-1-\sqrt{7}$或$x_2=-1+\sqrt{7}$或$x_3=-2$或$x_4=0$(舍去).
$\therefore$点M的坐标为$(-1-\sqrt{7},3)$或$(-1+\sqrt{7},3)$或$(-2,-3)$.
【知识点】
待定系数法求解析式，轴对称最短路径，二次函数面积计算
【点评】
本题是二次函数基础综合题，考察了二次函数解析式求解、最短路径转化、同底等高三角形面积关系等核心考点，解题需运用转化思想，将线段和最值转化为线段长度、面积相等转化为纵坐标绝对值相等，是二次函数的常考题型。
【难度系数】
0.65
