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一、选择题(每小题4分,共24分)
1. 二次函数$y=-\dfrac{1}{9}(x+3)^2 - 2$的图象的顶点坐标为(
A.$(3,2)$
B.$(3,-2)$
C.$(-3,2)$
D.$(-3,-2)$
1. 二次函数$y=-\dfrac{1}{9}(x+3)^2 - 2$的图象的顶点坐标为(
D
).A.$(3,2)$
B.$(3,-2)$
C.$(-3,2)$
D.$(-3,-2)$
答案
1. D
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点坐标与式中参数的对应关系，再将题干给出的函数解析式变形为标准顶点式的形式，对应找到h、k的值即可得到顶点坐标，解题时要注意括号内x后面的符号，避免横坐标符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其图象的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数解析式变形为标准顶点式：
$y=-\dfrac{1}{9}(x+3)^2 - 2 = -\dfrac{1}{9}[x-(-3)]^2 + (-2)$
对比顶点式可得：$h=-3$，$k=-2$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对二次函数顶点式结构的掌握，易错点是容易误将顶点横坐标的符号判断错误，牢记顶点式的参数对应关系即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数顶点式的应用，解题思路如下：首先回忆二次函数顶点式的标准形式，明确顶点坐标与式中参数的对应关系，再将题干给出的函数解析式变形为标准顶点式的形式，对应找到h、k的值即可得到顶点坐标，解题时要注意括号内x后面的符号，避免横坐标符号判断错误。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其图象的顶点坐标为$(h,k)$。
将题干中的函数解析式变形为标准顶点式：
$y=-\dfrac{1}{9}(x+3)^2 - 2 = -\dfrac{1}{9}[x-(-3)]^2 + (-2)$
对比顶点式可得：$h=-3$，$k=-2$，因此该二次函数图象的顶点坐标为$(-3,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式；二次函数顶点坐标
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查对二次函数顶点式结构的掌握，易错点是容易误将顶点横坐标的符号判断错误，牢记顶点式的参数对应关系即可快速准确作答。
【难度系数】
0.9
2. 一个不透明的口袋中装有1个黄球和1白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球然后放回，再搅匀任意摸出1个球，小红第1次摸到的是黄球，那么小红第2次摸到黄球的概率（
A.大于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.小于$\frac{1}{2}$
D.不能确定
B
）.A.大于$\frac{1}{2}$
B.等于$\frac{1}{2}$
C.小于$\frac{1}{2}$
D.不能确定
答案
2. B
解析
【分析】
首先判断该摸球试验属于放回试验，每次摸球前口袋内球的数量、种类都没有发生变化，两次摸球的结果互不影响，前一次的摸球结果不会改变后一次摸球的概率。要求第二次摸到黄球的概率，只需分析第二次摸球时的等可能总结果数、摸到黄球的结果数，再结合等可能事件的概率计算方法求解即可，无需受第一次摸球结果的干扰。
【解析】
解：
∵ 该试验为有放回的摸球试验，每次摸球前口袋中都装有1个黄球和1个白球，共2个球，且两球除颜色外其余特征均相同，搅匀后摸球时摸到每个球的可能性相等，
∴ 第二次摸球时，总共有2种等可能的结果，其中摸到黄球的结果有1种，
∴ 第2次摸到黄球的概率为$\frac{1}{2}$，该结果与第一次摸到什么球无关。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，放回试验特征
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题的核心是明确放回试验中每次摸球的条件保持不变，前一次的试验结果不会对后一次的概率产生影响，牢记等可能事件的概率计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先判断该摸球试验属于放回试验，每次摸球前口袋内球的数量、种类都没有发生变化，两次摸球的结果互不影响，前一次的摸球结果不会改变后一次摸球的概率。要求第二次摸到黄球的概率，只需分析第二次摸球时的等可能总结果数、摸到黄球的结果数，再结合等可能事件的概率计算方法求解即可，无需受第一次摸球结果的干扰。
【解析】
解：
∵ 该试验为有放回的摸球试验，每次摸球前口袋中都装有1个黄球和1个白球，共2个球，且两球除颜色外其余特征均相同，搅匀后摸球时摸到每个球的可能性相等，
∴ 第二次摸球时，总共有2种等可能的结果，其中摸到黄球的结果有1种，
∴ 第2次摸到黄球的概率为$\frac{1}{2}$，该结果与第一次摸到什么球无关。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算，放回试验特征
【点评】
本题属于概率基础应用类题目，解题的核心是明确放回试验中每次摸球的条件保持不变，前一次的试验结果不会对后一次的概率产生影响，牢记等可能事件的概率计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 有4根细木棒，它们的长度分别是3 cm，5 cm，8 cm，9 cm. 从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是(
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
B
).A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{4}$
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先计算从4根木棒中任取3根一共有多少种等可能的情况；第二步，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的判定规则，逐一判断每种抽取情况是否能搭成三角形，统计符合条件的情况数；第三步，利用“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算出最终概率。
【解析】
首先，列举从4根长度为3cm、5cm、8cm、9cm的木棒中任取3根的所有等可能组合，共4种：
①3cm，5cm，8cm：最短两边和为$3+5=8\mathrm{cm}$，等于第三边，不符合三角形三边关系，不能搭成三角形；
②3cm，5cm，9cm：最短两边和为$3+5=8\mathrm{cm}＜9\mathrm{cm}$，不符合三角形三边关系，不能搭成三角形；
③3cm，8cm，9cm：最短两边和为$3+8=11\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，符合三角形三边关系，可以搭成三角形；
④5cm，8cm，9cm：最短两边和为$5+8=13\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，符合三角形三边关系，可以搭成三角形。
综上，能搭成三角形的情况共有2种，总情况数为4种，因此概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率与三角形知识的结合类基础题，解题的关键是正确列举所有抽取组合，并用简便方法（较短两边之和大于最长边）快速判断能否构成三角形，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先计算从4根木棒中任取3根一共有多少种等可能的情况；第二步，根据三角形“任意两边之和大于第三边”的判定规则，逐一判断每种抽取情况是否能搭成三角形，统计符合条件的情况数；第三步，利用“概率=符合条件的情况数÷总情况数”的公式计算出最终概率。
【解析】
首先，列举从4根长度为3cm、5cm、8cm、9cm的木棒中任取3根的所有等可能组合，共4种：
①3cm，5cm，8cm：最短两边和为$3+5=8\mathrm{cm}$，等于第三边，不符合三角形三边关系，不能搭成三角形；
②3cm，5cm，9cm：最短两边和为$3+5=8\mathrm{cm}＜9\mathrm{cm}$，不符合三角形三边关系，不能搭成三角形；
③3cm，8cm，9cm：最短两边和为$3+8=11\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，符合三角形三边关系，可以搭成三角形；
④5cm，8cm，9cm：最短两边和为$5+8=13\mathrm{cm}＞9\mathrm{cm}$，符合三角形三边关系，可以搭成三角形。
综上，能搭成三角形的情况共有2种，总情况数为4种，因此概率为$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是概率与三角形知识的结合类基础题，解题的关键是正确列举所有抽取组合，并用简便方法（较短两边之和大于最长边）快速判断能否构成三角形，是考试中常见的基础题型。
【难度系数】
0.7
4. 将二次函数$y=x^2$的图象沿$y$轴向上平移2个单位长度，再沿$x$轴向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数表达式为(
A.$y=(x+3)^2+2$
B.$y=(x-3)^2+2$
C.$y=(x+2)^2+3$
D.$y=(x-2)^2+3$
A
).A.$y=(x+3)^2+2$
B.$y=(x-3)^2+2$
C.$y=(x+2)^2+3$
D.$y=(x-2)^2+3$
答案
4. A
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆函数图象平移的核心规律：平移只改变图象位置，不改变函数形状，二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的规则。其中上下平移是对整个函数值调整：向上平移n个单位就给函数整体加n，向下就减n；左右平移是对自变量x调整：向左平移m个单位就把x替换为x+m，向右就替换为x-m。接下来按照题目给出的平移顺序逐步推导即可。
【解析】
已知原二次函数为$y=x^2$
1. 第一步沿y轴向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，平移后函数表达式为：
$y=x^2 + 2$
2. 第二步沿x轴向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+3$，代入得：
$y=(x+3)^2 + 2$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其注意左右平移是针对自变量x进行加减运算，避免混淆平移方向和运算符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要回忆函数图象平移的核心规律：平移只改变图象位置，不改变函数形状，二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的规则。其中上下平移是对整个函数值调整：向上平移n个单位就给函数整体加n，向下就减n；左右平移是对自变量x调整：向左平移m个单位就把x替换为x+m，向右就替换为x-m。接下来按照题目给出的平移顺序逐步推导即可。
【解析】
已知原二次函数为$y=x^2$
1. 第一步沿y轴向上平移2个单位长度，根据“上加下减”的规律，平移后函数表达式为：
$y=x^2 + 2$
2. 第二步沿x轴向左平移3个单位长度，根据“左加右减”的规律，将自变量$x$替换为$x+3$，代入得：
$y=(x+3)^2 + 2$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移；函数平移规律
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，解题关键是牢记“左加右减、上加下减”的平移规则，尤其注意左右平移是针对自变量x进行加减运算，避免混淆平移方向和运算符号即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. (广安中考)若关于 $ x $ 的一元二次方程 $(m+1)x^2 - 2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m＜0 $ 且 $ m ≠ -1 $
B.$ m ≥ 0 $
C.$ m ≤ 0 $ 且 $ m ≠ -1 $
D.$ m＜0 $
A
).A.$ m＜0 $ 且 $ m ≠ -1 $
B.$ m ≥ 0 $
C.$ m ≤ 0 $ 且 $ m ≠ -1 $
D.$ m＜0 $
答案
5. A
解析
【分析】
要解决这个问题，需要同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程，二是方程有两个不相等的实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；再根据根的判别式与实数根个数的关系，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，列出不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(m+1)x^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(m+1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(m+1) ＞ 0$
展开化简：$4 - 4m - 4 ＞ 0$，即$-4m ＞ 0$
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ＜ 0$
综合两个条件，$m$的取值范围是$m ＜ 0$且$m ≠ -1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，从而误选D，求解时需注意结合两个条件综合判断，不要漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需要同时满足两个条件：一是方程为一元二次方程，二是方程有两个不相等的实数根。首先根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，得到第一个限制条件；再根据根的判别式与实数根个数的关系，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根，列出不等式求解，最后综合两个条件得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 方程$(m+1)x^2 - 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m+1 ≠ 0$，解得$m ≠ -1$
又
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=m+1$，$b=-2$，$c=1$
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×(m+1)×1 ＞ 0$
计算得：$4 - 4(m+1) ＞ 0$
展开化简：$4 - 4m - 4 ＞ 0$，即$-4m ＞ 0$
两边同时除以-4，不等号方向改变，得$m ＜ 0$
综合两个条件，$m$的取值范围是$m ＜ 0$且$m ≠ -1$
故选A
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式的应用
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，从而误选D，求解时需注意结合两个条件综合判断，不要漏解。
【难度系数】
0.7
6. 在正方形ABCD中，G为边CD的中点，连接AG并延长交边BC的延长线于点E，对角线BD交AG于点F. 已知$FG=2$，则线段AE的长为（
A.6
B.8
C.10
D.12
D
）.A.6
B.8
C.10
D.12
答案
6. D
解析
【分析】
解题时先从正方形的性质入手，首先利用正方形对边平行的性质，可证△ABF与△GDF相似，结合G是CD中点得到两三角形的相似比为2:1，结合已知FG=2可求出AF的长度，进而得到AG的长度；再利用AD平行于BC的性质，结合G是CD中点，证明△ADG与△ECG全等，得到AG=GE，最后将AG与GE相加即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠GCE=180°-∠BCD=90°=∠ADC。
∵G为CD的中点，
∴DG=CG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB。
1. 求AG的长度：
∵AB//DG，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AB}{DG}=\frac{2}{1}$。
已知FG=2，
∴AF=2×FG=2×2=4，
∴AG=AF+FG=4+2=6。
2. 求AE的长度：
在△ADG和△ECG中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠GCE \\DG=CG \\∠AGD=∠EGC\end{array} $
∴△ADG≌△ECG（ASA），
∴AG=GE=6，
∴AE=AG+GE=6+6=12。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合小题，解题的核心是利用正方形对边平行的特点，找到对应的相似、全等三角形，结合中点条件推导线段间的数量关系，考查了学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从正方形的性质入手，首先利用正方形对边平行的性质，可证△ABF与△GDF相似，结合G是CD中点得到两三角形的相似比为2:1，结合已知FG=2可求出AF的长度，进而得到AG的长度；再利用AD平行于BC的性质，结合G是CD中点，证明△ADG与△ECG全等，得到AG=GE，最后将AG与GE相加即可得到AE的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB//CD，AB=CD，AD//BC，∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠GCE=180°-∠BCD=90°=∠ADC。
∵G为CD的中点，
∴DG=CG=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB。
1. 求AG的长度：
∵AB//DG，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AF}{FG}=\frac{AB}{DG}=\frac{2}{1}$。
已知FG=2，
∴AF=2×FG=2×2=4，
∴AG=AF+FG=4+2=6。
2. 求AE的长度：
在△ADG和△ECG中：
$\{\begin{array}{l}∠ADC=∠GCE \\DG=CG \\∠AGD=∠EGC\end{array} $
∴△ADG≌△ECG（ASA），
∴AG=GE=6，
∴AE=AG+GE=6+6=12。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何综合小题，解题的核心是利用正方形对边平行的特点，找到对应的相似、全等三角形，结合中点条件推导线段间的数量关系，考查了学生的几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 已知100件某种产品中有4件次品,从中任意抽取1件,则恰好抽到次品的概率是________。
7. 已知100件某种产品中有4件次品,从中任意抽取1件,则恰好抽到次品的概率是________。
答案
7. $\frac{1}{25}$
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先判断该事件属于等可能事件，每件产品被抽到的可能性完全相等；其次找到两个核心数据：一是抽取的总情况数，也就是产品的总件数100，二是抽到次品的情况数，也就是次品的件数4；最后将两个数据代入概率计算公式，约分得到最简分数即可。
【解析】
解：已知产品总数量为100件，其中次品数量为4件，任意抽取1件时，每件产品被抽到的可能性相等。
根据概率计算公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合要求的情况数}}{\mathrm{总的情况数}}$
代入对应数据可得抽到次品的概率：$P=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题型，主要考查对概率计算公式的掌握，只需准确找到总情况数和符合条件的情况数，代入计算并约分就能得到正确结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
本题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先判断该事件属于等可能事件，每件产品被抽到的可能性完全相等；其次找到两个核心数据：一是抽取的总情况数，也就是产品的总件数100，二是抽到次品的情况数，也就是次品的件数4；最后将两个数据代入概率计算公式，约分得到最简分数即可。
【解析】
解：已知产品总数量为100件，其中次品数量为4件，任意抽取1件时，每件产品被抽到的可能性相等。
根据概率计算公式：$P(\mathrm{事件发生})=\frac{\mathrm{符合要求的情况数}}{\mathrm{总的情况数}}$
代入对应数据可得抽到次品的概率：$P=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 等可能事件
【点评】
本题属于概率基础题型，主要考查对概率计算公式的掌握，只需准确找到总情况数和符合条件的情况数，代入计算并约分就能得到正确结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
8. 若关于$ x $的方程$ x^2 + bx + 1 = 0 $的一个根是2，则它的另一个根为
$\frac{1}{2}$
.答案
8. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题可以通过两种思路求解：思路一，先利用“方程的根满足方程”的性质，将已知根x=2代入原方程求出参数b的值，再解得到的一元二次方程即可求出另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，无需计算参数b，直接求出另一个根，这种方法更简便。
【解析】
解法1：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：两根之积$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，已知其中一个根$x_2=2$，代入得：
$2x_1 = \frac{1}{1} = 1$
解得$x_1 = \frac{1}{2}$。
解法2：代入求参再解方程
将$x=2$代入原方程$x^2 + bx + 1 = 0$，得：
$2^2 + 2b + 1 = 0$
计算得$4 + 2b + 1 = 0$，即$2b = -5$，解得$b = -\frac{5}{2}$。
原方程即为$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$，整理得$2x^2 - 5x + 2 = 0$，因式分解得$(2x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，即另一个根为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，其中运用根与系数的关系求解可以减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
本题可以通过两种思路求解：思路一，先利用“方程的根满足方程”的性质，将已知根x=2代入原方程求出参数b的值，再解得到的一元二次方程即可求出另一个根；思路二，利用一元二次方程根与系数的关系，两根之积等于常数项与二次项系数的比值，无需计算参数b，直接求出另一个根，这种方法更简便。
【解析】
解法1：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$x^2 + bx + 1 = 0$，二次项系数$a=1$，常数项$c=1$。
根据一元二次方程根与系数的关系：两根之积$x_1 · x_2 = \frac{c}{a}$，已知其中一个根$x_2=2$，代入得：
$2x_1 = \frac{1}{1} = 1$
解得$x_1 = \frac{1}{2}$。
解法2：代入求参再解方程
将$x=2$代入原方程$x^2 + bx + 1 = 0$，得：
$2^2 + 2b + 1 = 0$
计算得$4 + 2b + 1 = 0$，即$2b = -5$，解得$b = -\frac{5}{2}$。
原方程即为$x^2 - \frac{5}{2}x + 1 = 0$，整理得$2x^2 - 5x + 2 = 0$，因式分解得$(2x-1)(x-2)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=\frac{1}{2}$，即另一个根为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，两种解题方法都需要熟练掌握，其中运用根与系数的关系求解可以减少计算量，提高解题效率。
【难度系数】
0.9
9. 若代数式 $4x^2 - 2x - 5$ 与 $2x^2 + 1$ 的值互为相反数，则 $x$ 的值是
1或$-\frac{2}{3}$
.答案
9. 1或$-\frac{2}{3}$
解析
【分析】
首先根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可将题目中两个代数式相加等于0，列出关于x的方程，再通过整理得到一元二次方程，选择合适的方法求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵代数式$4x^2 - 2x - 5$与$2x^2 + 1$的值互为相反数
∴$(4x^2 - 2x - 5)+(2x^2 + 1)=0$
去括号、合并同类项得：$6x^2 - 2x - 4=0$
两边同时除以2化简得：$3x^2 - x - 2=0$
因式分解得：$(3x+2)(x-1)=0$
∴$3x+2=0$或$x-1=0$
解得$x=1$或$x=-\frac{2}{3}$
【答案】
1或$-\frac{2}{3}$
【知识点】
相反数的性质，一元二次方程的解法，整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是利用相反数的性质建立方程，求解过程中注意整式运算的符号准确性，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速答题。
【难度系数】
0.7
首先根据相反数的性质：互为相反数的两个数之和为0，可将题目中两个代数式相加等于0，列出关于x的方程，再通过整理得到一元二次方程，选择合适的方法求解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵代数式$4x^2 - 2x - 5$与$2x^2 + 1$的值互为相反数
∴$(4x^2 - 2x - 5)+(2x^2 + 1)=0$
去括号、合并同类项得：$6x^2 - 2x - 4=0$
两边同时除以2化简得：$3x^2 - x - 2=0$
因式分解得：$(3x+2)(x-1)=0$
∴$3x+2=0$或$x-1=0$
解得$x=1$或$x=-\frac{2}{3}$
【答案】
1或$-\frac{2}{3}$
【知识点】
相反数的性质，一元二次方程的解法，整式的加减运算
【点评】
本题属于基础题，解题关键是利用相反数的性质建立方程，求解过程中注意整式运算的符号准确性，熟练掌握一元二次方程的常见解法即可快速答题。
【难度系数】
0.7
10.(扬州中考)在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$分别为$∠ A,∠ B,∠ C$的对边，若$b^2=ac$，则$\sin A$的值为________.
答案
10. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ 解析:
∵在△ABC中,∠C=90°,
∴$c^2=a^2+b^2$.
∵$b^2=ac$,
∴$c^2=a^2+ac$,
等式两边同时除以ac,得$\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+1$,
令$\frac{a}{c}=x$,则有$\frac{1}{x}=x+1$,
∴$x^2+x-1=0$,
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去),
当$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,$x≠0$,
∴$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是原分式方程的解,
∴$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
∵在△ABC中,∠C=90°,
∴$c^2=a^2+b^2$.
∵$b^2=ac$,
∴$c^2=a^2+ac$,
等式两边同时除以ac,得$\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+1$,
令$\frac{a}{c}=x$,则有$\frac{1}{x}=x+1$,
∴$x^2+x-1=0$,
解得$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去),
当$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$时,$x≠0$,
∴$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是原分式方程的解,
∴$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
解析
【分析】
要求$\sin A$的值，首先根据锐角正弦的定义可知$\sin A=∠ A$的对边/斜边$=\frac{a}{c}$，因此核心是求出$a$与$c$的比值。已知$△ ABC$是直角三角形，可先利用勾股定理得到三边关系，再结合已知条件$b^2=ac$消去$b$，得到仅含$a$、$c$的等式，再通过变形构造出关于$\frac{a}{c}$的方程，求解方程后结合三角函数值为正的要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
∵在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴由勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，
又
∵$b^2=ac$，将其代入上式可得：
$c^2=a^2+ac$，
∵$a$、$c$为三角形的边长，均大于0，等式两边同时除以$ac$得：
$\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+1$，
设$x=\frac{a}{c}$（$x＞0$，因为锐角的正弦值为正数），则$\frac{c}{a}=\frac{1}{x}$，代入得：
$\frac{1}{x}=x+1$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2+x-1=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵$x＞0$，
∴负根$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$不符合题意，舍去，
经检验$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是原分式方程的解，
∴$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理；正弦的定义；一元二次方程求解
【点评】
本题属于直角三角形与方程的综合题，解题关键是通过等量代换消去中间量$b$，将三边关系转化为关于待求比值的方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.6
要求$\sin A$的值，首先根据锐角正弦的定义可知$\sin A=∠ A$的对边/斜边$=\frac{a}{c}$，因此核心是求出$a$与$c$的比值。已知$△ ABC$是直角三角形，可先利用勾股定理得到三边关系，再结合已知条件$b^2=ac$消去$b$，得到仅含$a$、$c$的等式，再通过变形构造出关于$\frac{a}{c}$的方程，求解方程后结合三角函数值为正的要求舍去不符合题意的根，即可得到结果。
【解析】
∵在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，
∴由勾股定理得：$c^2=a^2+b^2$，
又
∵$b^2=ac$，将其代入上式可得：
$c^2=a^2+ac$，
∵$a$、$c$为三角形的边长，均大于0，等式两边同时除以$ac$得：
$\frac{c}{a}=\frac{a}{c}+1$，
设$x=\frac{a}{c}$（$x＞0$，因为锐角的正弦值为正数），则$\frac{c}{a}=\frac{1}{x}$，代入得：
$\frac{1}{x}=x+1$，
两边同乘$x$（$x≠0$）整理得：$x^2+x-1=0$，
由求根公式解得：$x=\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵$x＞0$，
∴负根$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$不符合题意，舍去，
经检验$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$是原分式方程的解，
∴$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
勾股定理；正弦的定义；一元二次方程求解
【点评】
本题属于直角三角形与方程的综合题，解题关键是通过等量代换消去中间量$b$，将三边关系转化为关于待求比值的方程，同时要注意结合实际意义对方程的根进行取舍。
【难度系数】
0.6
11. 用半径为 30 的一个扇形纸片围成一个底面半径为 10 的圆锥的侧面,则这个圆锥的侧面面积为________.
答案
11. $300π$ 解析:
∵这个扇形的弧长为$l=2π×10=20π$,
∴这个圆锥的侧面积为$S=\frac{1}{2}×20π×30=300π$.
∵这个扇形的弧长为$l=2π×10=20π$,
∴这个圆锥的侧面积为$S=\frac{1}{2}×20π×30=300π$.
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，首先明确圆锥的侧面由题目给出的扇形围成，因此圆锥侧面积等于该扇形的面积。计算扇形面积需要已知扇形的半径和弧长：扇形半径题目已给出为30；而扇形的弧长等于围成的圆锥的底面周长，我们可以先通过底面半径算出底面周长得到弧长，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
首先计算圆锥底面周长，也就是扇形的弧长：
$l=2π r_{底面}=2π×10=20π$
再根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}×弧长×扇形半径$，代入弧长和扇形半径（即圆锥母线长）计算侧面积：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×20π×30=300π$
【答案】
$300π$
【知识点】
圆锥侧面展开图、扇形面积计算、圆周长计算
【点评】
本题考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系应用，解题核心是抓住“圆锥底面周长等于展开扇形的弧长”这一核心对应关系，属于基础类题型，是立体图形展开图相关知识的常见考查方向。
【难度系数】
0.8
要计算圆锥的侧面积，首先明确圆锥的侧面由题目给出的扇形围成，因此圆锥侧面积等于该扇形的面积。计算扇形面积需要已知扇形的半径和弧长：扇形半径题目已给出为30；而扇形的弧长等于围成的圆锥的底面周长，我们可以先通过底面半径算出底面周长得到弧长，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
首先计算圆锥底面周长，也就是扇形的弧长：
$l=2π r_{底面}=2π×10=20π$
再根据扇形面积公式$S_{扇形}=\frac{1}{2}×弧长×扇形半径$，代入弧长和扇形半径（即圆锥母线长）计算侧面积：
$S_{侧}=\frac{1}{2}×20π×30=300π$
【答案】
$300π$
【知识点】
圆锥侧面展开图、扇形面积计算、圆周长计算
【点评】
本题考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系应用，解题核心是抓住“圆锥底面周长等于展开扇形的弧长”这一核心对应关系，属于基础类题型，是立体图形展开图相关知识的常见考查方向。
【难度系数】
0.8
12. 已知二次函数$y=-x^2+2x+k$的图象的顶点在$x$轴上方，则实数$k$的取值范围是________.
答案
12. $k＞-1$ 解析:
∵二次函数$y=-x^2+2x+k$的图象的顶点在x轴上方,且$y=-x^2+2x+k=-(x-1)^2+k+1$,
∴$k+1＞0$,解得$k＞-1$.
一题多解
∵二次函数$y=-x^2+2x+k$的图象的顶点在x轴上方,
∴$\frac{4×(-1)·k-2^2}{4×(-1)}＞0$,
解得$k＞-1$.
∵二次函数$y=-x^2+2x+k$的图象的顶点在x轴上方,且$y=-x^2+2x+k=-(x-1)^2+k+1$,
∴$k+1＞0$,解得$k＞-1$.
一题多解
∵二次函数$y=-x^2+2x+k$的图象的顶点在x轴上方,
∴$\frac{4×(-1)·k-2^2}{4×(-1)}＞0$,
解得$k＞-1$.
解析
【分析】
要解决本题，首先明确二次函数顶点在x轴上方的含义：顶点的纵坐标大于0。我们可以通过两种思路求解：一是用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标后列不等式；二是直接套用二次函数顶点纵坐标公式，代入参数列不等式求解即可。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+k\\&=-(x^2-2x)+k\\&=-(x^2-2x+1-1)+k\\&=-(x-1)^2+k+1\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(1, k+1)$，
因为顶点在x轴上方，所以顶点纵坐标大于0，即：
$k+1＞0$
解得$k＞-1$。
方法二（顶点坐标公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1,b=2,c=k$，结合顶点在x轴上方的条件列不等式：
$\frac{4×(-1)·k - 2^2}{4×(-1)}＞0$
化简得：$\frac{-4k-4}{-4}＞0$，即$k+1＞0$，
解得$k＞-1$。
【答案】
$k＞-1$
【知识点】
二次函数顶点性质；配方法；解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点坐标的两种求解方法，以及结合图象位置列不等式求参数的能力，熟练掌握顶点式转化和顶点坐标公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决本题，首先明确二次函数顶点在x轴上方的含义：顶点的纵坐标大于0。我们可以通过两种思路求解：一是用配方法将二次函数一般式转化为顶点式，直接得到顶点纵坐标后列不等式；二是直接套用二次函数顶点纵坐标公式，代入参数列不等式求解即可。
【解析】
方法一（配方法）：
将二次函数解析式配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x+k\\&=-(x^2-2x)+k\\&=-(x^2-2x+1-1)+k\\&=-(x-1)^2+k+1\end{aligned}$
可得顶点坐标为$(1, k+1)$，
因为顶点在x轴上方，所以顶点纵坐标大于0，即：
$k+1＞0$
解得$k＞-1$。
方法二（顶点坐标公式法）：
对于二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$。
本题中$a=-1,b=2,c=k$，结合顶点在x轴上方的条件列不等式：
$\frac{4×(-1)·k - 2^2}{4×(-1)}＞0$
化简得：$\frac{-4k-4}{-4}＞0$，即$k+1＞0$，
解得$k＞-1$。
【答案】
$k＞-1$
【知识点】
二次函数顶点性质；配方法；解一元一次不等式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查顶点坐标的两种求解方法，以及结合图象位置列不等式求参数的能力，熟练掌握顶点式转化和顶点坐标公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
