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三、解答题(本大题共52分)
13. (10分)解方程：
(1)$x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2)$(x - 1)^2 = 2(1 - x)$。
13. (10分)解方程：
(1)$x^2 - 4x - 1 = 0$；
(2)$(x - 1)^2 = 2(1 - x)$。
答案
13. (1)$x_1=2+\sqrt{5}$,$x_2=2-\sqrt{5}$.
(2)$x_1=1$,$x_2=-1$.
(2)$x_1=1$,$x_2=-1$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的结构特征选择合适的解法：
(1) 第一个方程是一般形式的一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，步骤为：移项将常数项移到等号右侧，左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解即可。
(2) 第二个方程左右两边含有关联的公因式，若直接展开会增加计算量，适合用因式分解法求解，注意不要直接两边除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$的根，先移项将右边的式子移到左边，提取公因式后转化为两个一次方程求解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$
移项，得：$x^2 - 4x = 1$
配方，左右两边同时加4（一次项系数-4一半的平方），得：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
即$(x - 2)^2 = 5$
开平方，得：$x - 2 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$
(2) 解方程$(x - 1)^2 = 2(1 - x)$
移项，得：$(x - 1)^2 + 2(x - 1) = 0$
提取公因式$(x - 1)$，得：
$(x - 1)(x - 1 + 2) = 0$
整理得：$(x - 1)(x + 1) = 0$
则$x - 1 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -1$
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$；
(2)$x_1=1$，$x_2=-1$。
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需结合方程特点选择简便解法，解含相同因式的方程时，切记不要随意约去含有未知数的整式，避免出现漏根的问题，提高解题的准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的结构特征选择合适的解法：
(1) 第一个方程是一般形式的一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，步骤为：移项将常数项移到等号右侧，左右两边同时加一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式后开方求解即可。
(2) 第二个方程左右两边含有关联的公因式，若直接展开会增加计算量，适合用因式分解法求解，注意不要直接两边除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$的根，先移项将右边的式子移到左边，提取公因式后转化为两个一次方程求解。
【解析】
(1) 解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$
移项，得：$x^2 - 4x = 1$
配方，左右两边同时加4（一次项系数-4一半的平方），得：
$x^2 - 4x + 4 = 1 + 4$
即$(x - 2)^2 = 5$
开平方，得：$x - 2 = \pm\sqrt{5}$
解得：$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$
(2) 解方程$(x - 1)^2 = 2(1 - x)$
移项，得：$(x - 1)^2 + 2(x - 1) = 0$
提取公因式$(x - 1)$，得：
$(x - 1)(x - 1 + 2) = 0$
整理得：$(x - 1)(x + 1) = 0$
则$x - 1 = 0$或$x + 1 = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = -1$
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$；
(2)$x_1=1$，$x_2=-1$。
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，解题时需结合方程特点选择简便解法，解含相同因式的方程时，切记不要随意约去含有未知数的整式，避免出现漏根的问题，提高解题的准确率。
【难度系数】
0.8
14. (10 分)化简求值: $(\dfrac{1}{a-2}-1)÷\dfrac{a^2-9}{a^2-4a+4}$. 从 $1,2,3,-3$ 中选择一个合适的数代入并求值.
答案
14. 原式=$\frac{2-a}{a+3}$,当a=1时,原式=$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
解题时先处理括号内的分式减法，将整数1通分化为与前项同分母的分式，合并后将分式除法转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式进行因式分解，约分得到最简结果；接着根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不合适的a的取值，选择符合要求的数代入最简式计算即可。
【解析】
解：先化简原式
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\dfrac{1}{a-2}-\dfrac{a-2}{a-2})÷\dfrac{(a+3)(a-3)}{(a-2)^2}\\&=\dfrac{1-(a-2)}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{3-a}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{-(a-3)}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{2-a}{a+3}\end{aligned}$
要使分式有意义，需保证所有分母不为0，即：
$a-2≠0$，$a^2-9≠0$，$a^2-4a+4≠0$
解得$a≠2$，$a≠3$，$a≠-3$，因此仅可选择$a=1$代入。
当$a=1$时，原式$=\dfrac{2-1}{1+3}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
原式化简为$\dfrac{2-a}{a+3}$，当$a=1$时，原式的值为$\dfrac{1}{4}$。
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题重点考查分式的混合运算规则，解题时需先化简再代入求值，尤其要注意代入的数值必须保证原分式中所有分母和除式不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
解题时先处理括号内的分式减法，将整数1通分化为与前项同分母的分式，合并后将分式除法转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式进行因式分解，约分得到最简结果；接着根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不合适的a的取值，选择符合要求的数代入最简式计算即可。
【解析】
解：先化简原式
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(\dfrac{1}{a-2}-\dfrac{a-2}{a-2})÷\dfrac{(a+3)(a-3)}{(a-2)^2}\\&=\dfrac{1-(a-2)}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{3-a}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{-(a-3)}{a-2}×\dfrac{(a-2)^2}{(a+3)(a-3)}\\&=\dfrac{2-a}{a+3}\end{aligned}$
要使分式有意义，需保证所有分母不为0，即：
$a-2≠0$，$a^2-9≠0$，$a^2-4a+4≠0$
解得$a≠2$，$a≠3$，$a≠-3$，因此仅可选择$a=1$代入。
当$a=1$时，原式$=\dfrac{2-1}{1+3}=\dfrac{1}{4}$。
【答案】
原式化简为$\dfrac{2-a}{a+3}$，当$a=1$时，原式的值为$\dfrac{1}{4}$。
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题重点考查分式的混合运算规则，解题时需先化简再代入求值，尤其要注意代入的数值必须保证原分式中所有分母和除式不为0，避免出现无意义的情况。
【难度系数】
0.7
15.（10分）小明有黑色和蓝色的2双袜子，它们除了颜色外都相同，这两双袜子散乱地放在包裹中.小明任意取出2只袜子，恰好是颜色相同的袜子的概率是多少？（用画树状图或列表的方法写出分析过程，并求出结果）
答案
15. 画树状图如下：
由图可知,共有12种等可能的结果,取出的2只袜子颜色相同的结果有4种,
∴P(取出的2只袜子恰好颜色相同)=$\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
这是不放回的两步随机试验求概率问题，解题时可通过树状图列举所有等可能的结果：第一步先列出第一次抽取袜子的所有可能，共4种；第二步对应每种第一次抽取的情况，列出剩余3只袜子的抽取可能，再从中筛选出两只袜子颜色相同的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
将2只黑色袜子标记为黑1、黑2，2只蓝色袜子标记为蓝1、蓝2，抽取2只袜子为不放回试验：
1. 第一次抽取有4种等可能的选择：黑1、黑2、蓝1、蓝2；
2. 第一次抽取后剩余3只袜子，对应每一种第一次的抽取结果，第二次均有3种等可能的选择，因此总共有$4×3=12$种等可能的结果；
3. 其中取出的2只袜子颜色相同的结果为：（黑1，黑2）、（黑2，黑1）、（蓝1，蓝2）、（蓝2，蓝1），共4种；
代入概率公式计算得：$P(\mathrm{取出的2只袜子恰好颜色相同})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
画树状图如下：
由图可知,共有12种等可能的结果,取出的2只袜子颜色相同的结果有4种,
∴P(取出的2只袜子恰好颜色相同)=$\frac{1}{3}$。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题考查概率的求解，解题的关键是利用树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果，需注意本题是不放回抽取，避免计数错误，是概率部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
这是不放回的两步随机试验求概率问题，解题时可通过树状图列举所有等可能的结果：第一步先列出第一次抽取袜子的所有可能，共4种；第二步对应每种第一次抽取的情况，列出剩余3只袜子的抽取可能，再从中筛选出两只袜子颜色相同的结果，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数”计算即可。
【解析】
将2只黑色袜子标记为黑1、黑2，2只蓝色袜子标记为蓝1、蓝2，抽取2只袜子为不放回试验：
1. 第一次抽取有4种等可能的选择：黑1、黑2、蓝1、蓝2；
2. 第一次抽取后剩余3只袜子，对应每一种第一次的抽取结果，第二次均有3种等可能的选择，因此总共有$4×3=12$种等可能的结果；
3. 其中取出的2只袜子颜色相同的结果为：（黑1，黑2）、（黑2，黑1）、（蓝1，蓝2）、（蓝2，蓝1），共4种；
代入概率公式计算得：$P(\mathrm{取出的2只袜子恰好颜色相同})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
画树状图如下：
由图可知,共有12种等可能的结果,取出的2只袜子颜色相同的结果有4种,
∴P(取出的2只袜子恰好颜色相同)=$\frac{1}{3}$。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式
【点评】
本题考查概率的求解，解题的关键是利用树状图不重不漏地列举出所有等可能的结果，需注意本题是不放回抽取，避免计数错误，是概率部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
