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16. (10分) 新情境 计算最大利润 某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件. 经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件. 若规定每天该商品的销售量不低于300件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
答案
16. 设当销售单价为x元时,每天获取的利润为y元.
则$y=(x-30)[100+10(60-x)]=-10x^2+1000x-21000=-10(x-50)^2+4000$.
∵$100+10(60-x)≥300$,
∴$x≤40$.
又当$x＜50$时,y随x的增大而增大,
∴当x=40时,y有最大值为3000.
故当销售单价为40元时,每天获取的利润最大,最大利润是3000元.
则$y=(x-30)[100+10(60-x)]=-10x^2+1000x-21000=-10(x-50)^2+4000$.
∵$100+10(60-x)≥300$,
∴$x≤40$.
又当$x＜50$时,y随x的增大而增大,
∴当x=40时,y有最大值为3000.
故当销售单价为40元时,每天获取的利润最大,最大利润是3000元.
解析
【分析】
本题属于销售利润最大化的应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售量”的等量关系构建函数模型，再结合约束条件求最值。第一步设销售单价为x元，先表示出单件利润为(x-30)元；第二步根据“单价每降1元销量增加10件”，计算单价从60元降到x元的降幅为(60-x)元，因此销售量为100+10(60-x)件；第三步根据“销量不低于300件”列不等式，求出自变量x的取值范围；第四步将总利润y整理为x的二次函数，结合二次函数的开口方向和增减性，在x的取值范围内找到使y最大的x值，计算最大利润即可。
【解析】
解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(x-30)[100+10(60-x)]\\&=-10x^2+1000x-21000\\&=-10(x-50)^2+4000\end{aligned}$
由题意得销售量不低于300件，因此列不等式：
$100+10(60-x)≥300$
解得：$x≤40$
∵二次函数$y=-10(x-50)^2+4000$的二次项系数为-10＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=50$，
∴当$x＜50$时，y随x的增大而增大，
结合$x≤40$的取值范围，可知当$x=40$时，y取得最大值，
将$x=40$代入函数得：$y=-10×(40-50)^2+4000=3000$
【答案】
当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是3000元。
【知识点】
销售利润计算，二次函数的性质，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数最值的求解，易错点是容易忽略题目中“销售量不低于300件”的约束条件，直接取抛物线顶点处的最值导致出错，解题时要先确定自变量的合法取值范围，再结合函数增减性求最值。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润最大化的应用题，解题核心是抓住“总利润=单件利润×销售量”的等量关系构建函数模型，再结合约束条件求最值。第一步设销售单价为x元，先表示出单件利润为(x-30)元；第二步根据“单价每降1元销量增加10件”，计算单价从60元降到x元的降幅为(60-x)元，因此销售量为100+10(60-x)件；第三步根据“销量不低于300件”列不等式，求出自变量x的取值范围；第四步将总利润y整理为x的二次函数，结合二次函数的开口方向和增减性，在x的取值范围内找到使y最大的x值，计算最大利润即可。
【解析】
解：设当销售单价为x元时，每天获取的利润为y元。
根据总利润=单件利润×销售量，可得：
$\begin{aligned}y&=(x-30)[100+10(60-x)]\\&=-10x^2+1000x-21000\\&=-10(x-50)^2+4000\end{aligned}$
由题意得销售量不低于300件，因此列不等式：
$100+10(60-x)≥300$
解得：$x≤40$
∵二次函数$y=-10(x-50)^2+4000$的二次项系数为-10＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=50$，
∴当$x＜50$时，y随x的增大而增大，
结合$x≤40$的取值范围，可知当$x=40$时，y取得最大值，
将$x=40$代入函数得：$y=-10×(40-50)^2+4000=3000$
【答案】
当销售单价为40元时，每天获取的利润最大，最大利润是3000元。
【知识点】
销售利润计算，二次函数的性质，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合实际销售场景考查函数最值的求解，易错点是容易忽略题目中“销售量不低于300件”的约束条件，直接取抛物线顶点处的最值导致出错，解题时要先确定自变量的合法取值范围，再结合函数增减性求最值。
【难度系数】
0.7
17. (12分)(绍兴中考)已知二次函数$y=-x^2+bx+c$.
(1)当$b=4,c=3$时,
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时,求$y$的取值范围.
(2)当$x≤ 0$时,$y$的最大值为$2$；当$x＞0$时,$y$的最大值为$3$,求二次函数的表达式.
(1)当$b=4,c=3$时,
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$-1≤ x≤ 3$时,求$y$的取值范围.
(2)当$x≤ 0$时,$y$的最大值为$2$；当$x＞0$时,$y$的最大值为$3$,求二次函数的表达式.
答案
17. (1)①
∵b=4,c=3,
∴$y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7$,
∴顶点坐标为(2,7).
②
∵$-1≤x≤3$,
∴当x=2时,y有最大值7.
∵当x=-1时,y=-2,
当x=3时,y=6,
∴当x=-1时,y有最小值为-2,
∴当$-1≤x≤3$时,$-2≤y≤7$.
(2)
∵$x≤0$时,y的最大值为2;$x＞0$时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}$在y轴的右侧,
∴$b＞0$.
∵抛物线开口向下,$x≤0$时,y的最大值为2,
∴c=2.
当$x＞0$时,y的最大值为$\frac{4×(-1)×c-b^2}{4×(-1)}=3$,
解得$b=±2$.
∵$b＞0$,
∴b=2.
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+2$.
∵b=4,c=3,
∴$y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7$,
∴顶点坐标为(2,7).
②
∵$-1≤x≤3$,
∴当x=2时,y有最大值7.
∵当x=-1时,y=-2,
当x=3时,y=6,
∴当x=-1时,y有最小值为-2,
∴当$-1≤x≤3$时,$-2≤y≤7$.
(2)
∵$x≤0$时,y的最大值为2;$x＞0$时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}$在y轴的右侧,
∴$b＞0$.
∵抛物线开口向下,$x≤0$时,y的最大值为2,
∴c=2.
当$x＞0$时,y的最大值为$\frac{4×(-1)×c-b^2}{4×(-1)}=3$,
解得$b=±2$.
∵$b＞0$,
∴b=2.
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+2$.
解析
【分析】
(1)①已知b、c的取值，先将参数代入二次函数解析式，再通过配方法把一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标，也可使用顶点坐标公式直接计算。
②求给定区间内y的取值范围时，首先明确该二次函数开口向下，对称轴x=2在区间$-1≤x≤3$内，因此最大值在顶点处取得；再分别计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最小值，即可确定y的取值范围。
(2)首先根据x≤0和x＞0时的最大值差异，判断对称轴位置：函数开口向下，若对称轴在y轴左侧或y轴上，x≤0时的最大值应为全局最大值，和题设矛盾，因此对称轴在y轴右侧，即b＞0；此时x≤0时y随x增大而增大，最大值在x=0处取得，可得c=2；再根据全局最大值（顶点纵坐标）为3，代入公式求解b，结合b＞0的条件取舍参数，即可得到函数解析式。
【解析】
(1)①
∵b=4,c=3，
∴$y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7$，
∴顶点坐标为(2,7)。
②
∵抛物线开口向下，对称轴为x=2，且$2∈[-1,3]$，
∴当x=2时，y有最大值7。
分别计算区间端点的函数值：
当x=-1时，$y=-(-1)^2+4×(-1)+3=-2$，
当x=3时，$y=-3^2+4×3+3=6$，
∵-2＜6，
∴当x=-1时，y有最小值为-2，
∴当$-1≤x≤3$时，y的取值范围是$-2≤y≤7$。
(2)
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$开口向下，
∴函数的最大值为顶点处的函数值。
由题意$x≤0$时y的最大值为2，$x＞0$时y的最大值为3，可知全局最大值在x＞0的区域取得，
∴抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}$在y轴右侧，即$\frac{b}{2}＞0$，得$b＞0$。
当$x≤0$时，y随x的增大而增大，最大值在x=0处取得，代入得$y=c=2$。
函数的全局最大值为顶点纵坐标，即$\frac{4×(-1)×c - b^2}{4×(-1)}=3$，
将c=2代入得：$\frac{-8 - b^2}{-4}=3$，
化简得$8 + b^2=12$，解得$b^2=4$，即$b=±2$。
∵$b＞0$，
∴b=2。
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+2$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(2,7)}$；②$\boldsymbol{-2≤y≤7}$
(2)$\boldsymbol{y=-x^2+2x+2}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，既考查了顶点坐标、区间最值的基础计算能力，也考查了结合最值条件分析对称轴位置、求解参数的逻辑推理能力，解题时需重点关注开口方向、对称轴与自变量取值范围的位置关系对最值的影响。
【难度系数】
0.65
(1)①已知b、c的取值，先将参数代入二次函数解析式，再通过配方法把一般式转化为顶点式，即可直接得到顶点坐标，也可使用顶点坐标公式直接计算。
②求给定区间内y的取值范围时，首先明确该二次函数开口向下，对称轴x=2在区间$-1≤x≤3$内，因此最大值在顶点处取得；再分别计算区间两个端点的函数值，比较大小得到最小值，即可确定y的取值范围。
(2)首先根据x≤0和x＞0时的最大值差异，判断对称轴位置：函数开口向下，若对称轴在y轴左侧或y轴上，x≤0时的最大值应为全局最大值，和题设矛盾，因此对称轴在y轴右侧，即b＞0；此时x≤0时y随x增大而增大，最大值在x=0处取得，可得c=2；再根据全局最大值（顶点纵坐标）为3，代入公式求解b，结合b＞0的条件取舍参数，即可得到函数解析式。
【解析】
(1)①
∵b=4,c=3，
∴$y=-x^2+4x+3=-(x-2)^2+7$，
∴顶点坐标为(2,7)。
②
∵抛物线开口向下，对称轴为x=2，且$2∈[-1,3]$，
∴当x=2时，y有最大值7。
分别计算区间端点的函数值：
当x=-1时，$y=-(-1)^2+4×(-1)+3=-2$，
当x=3时，$y=-3^2+4×3+3=6$，
∵-2＜6，
∴当x=-1时，y有最小值为-2，
∴当$-1≤x≤3$时，y的取值范围是$-2≤y≤7$。
(2)
∵二次函数$y=-x^2+bx+c$开口向下，
∴函数的最大值为顶点处的函数值。
由题意$x≤0$时y的最大值为2，$x＞0$时y的最大值为3，可知全局最大值在x＞0的区域取得，
∴抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}$在y轴右侧，即$\frac{b}{2}＞0$，得$b＞0$。
当$x≤0$时，y随x的增大而增大，最大值在x=0处取得，代入得$y=c=2$。
函数的全局最大值为顶点纵坐标，即$\frac{4×(-1)×c - b^2}{4×(-1)}=3$，
将c=2代入得：$\frac{-8 - b^2}{-4}=3$，
化简得$8 + b^2=12$，解得$b^2=4$，即$b=±2$。
∵$b＞0$，
∴b=2。
∴二次函数的表达式为$y=-x^2+2x+2$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(2,7)}$；②$\boldsymbol{-2≤y≤7}$
(2)$\boldsymbol{y=-x^2+2x+2}$
【知识点】
二次函数的性质，二次函数区间最值，待定系数法求解析式
【点评】
本题是二次函数的典型综合题，既考查了顶点坐标、区间最值的基础计算能力，也考查了结合最值条件分析对称轴位置、求解参数的逻辑推理能力，解题时需重点关注开口方向、对称轴与自变量取值范围的位置关系对最值的影响。
【难度系数】
0.65
