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一、选择题(每小题4分,共24分)
1. 实数$\sqrt{2}$的相反数是(
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$-\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
1. 实数$\sqrt{2}$的相反数是(
C
).A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$-\sqrt{2}$
D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求任意一个数的相反数，只需在这个数的前面添加负号即可。本题要求$\sqrt{2}$的相反数，按照定义直接推导就能得到结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数就是在该数前加上负号。
因此实数$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义；实数的基本概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查相反数的核心概念，只要熟练掌握相关定义即可快速得出正确答案，是考试中常见的送分题型。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求任意一个数的相反数，只需在这个数的前面添加负号即可。本题要求$\sqrt{2}$的相反数，按照定义直接推导就能得到结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数就是在该数前加上负号。
因此实数$\sqrt{2}$的相反数是$-\sqrt{2}$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
相反数的定义；实数的基本概念
【点评】
本题属于基础题，主要考查相反数的核心概念，只要熟练掌握相关定义即可快速得出正确答案，是考试中常见的送分题型。
【难度系数】
0.9
2. 下列运算正确的是(
A.$x · x^6 = x^6$
B.$(x^2)^3 = x^6$
C.$(x+2)^2 = x^2 + 4$
D.$(2x)^3 = 2x^3$
B
).A.$x · x^6 = x^6$
B.$(x^2)^3 = x^6$
C.$(x+2)^2 = x^2 + 4$
D.$(2x)^3 = 2x^3$
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查整式的各类运算，解题时需逐一对应每个选项涉及的运算法则，分别计算出正确结果后与选项表述对比，即可选出正确答案。首先回忆同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方的运算规则，依次判断4个选项的正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，可得$x · x^6 = x^{1+6}=x^7 ≠ x^6$，故A错误；
B选项：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得$(x^2)^3 = x^{2×3}=x^6$，故B正确；
C选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 ≠ x^2 + 4$，故C错误；
D选项：根据积的乘方法则，需将积的每个因式分别乘方再相乘，可得$(2x)^3 = 2^3 · x^3=8x^3 ≠ 2x^3$，故D错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
【点评】
本题为基础运算类题目，核心考查整式运算的基本法则与公式，是代数运算的基础题型，常见易错点为完全平方公式展开漏写中间项、积的乘方运算时忽略常数项的乘方，熟练掌握各运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的各类运算，解题时需逐一对应每个选项涉及的运算法则，分别计算出正确结果后与选项表述对比，即可选出正确答案。首先回忆同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式、积的乘方的运算规则，依次判断4个选项的正误。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加，可得$x · x^6 = x^{1+6}=x^7 ≠ x^6$，故A错误；
B选项：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得$(x^2)^3 = x^{2×3}=x^6$，故B正确；
C选项：根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，可得$(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 ≠ x^2 + 4$，故C错误；
D选项：根据积的乘方法则，需将积的每个因式分别乘方再相乘，可得$(2x)^3 = 2^3 · x^3=8x^3 ≠ 2x^3$，故D错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
【点评】
本题为基础运算类题目，核心考查整式运算的基本法则与公式，是代数运算的基础题型，常见易错点为完全平方公式展开漏写中间项、积的乘方运算时忽略常数项的乘方，熟练掌握各运算规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
3. 在式子$\frac{1}{x-3},\frac{1}{x-4},\sqrt{x-3},\sqrt{x-4}$中，$x$可以取到3和4的是(
A.$\frac{1}{x-3}$
B.
C.$\sqrt{x-3}$
D.$\sqrt{x-4}$
C
).A.$\frac{1}{x-3}$
B.
C.$\sqrt{x-3}$
D.$\sqrt{x-4}$
答案
3. C
解析
【分析】
要判断x能否取3和4，需先明确不同代数式有意义的条件：分式要求分母不为0，二次根式要求被开方数为非负数。我们只需逐个求出每个选项中x的取值范围，再判断哪个范围同时包含3和4即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的x取值范围：
1. 选项A：$\frac{1}{x-3}$是分式，需满足分母不为0，即$x-3≠0$，得$x≠3$，因此x不能取3，不符合要求；
2. 选项B：$\frac{1}{x-4}$是分式，需满足分母不为0，即$x-4≠0$，得$x≠4$，因此x不能取4，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{x-3}$是二次根式，需满足被开方数非负，即$x-3≥0$，得$x≥3$，3和4都满足$x≥3$，因此x可以取3和4，符合要求；
4. 选项D：$\sqrt{x-4}$是二次根式，需满足被开方数非负，即$x-4≥0$，得$x≥4$，x=3时不满足条件，因此x不能取3，不符合要求。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对分式和二次根式取值范围的掌握，解题时只需牢记两类代数式有意义的限制条件，逐一排查即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
要判断x能否取3和4，需先明确不同代数式有意义的条件：分式要求分母不为0，二次根式要求被开方数为非负数。我们只需逐个求出每个选项中x的取值范围，再判断哪个范围同时包含3和4即可。
【解析】
我们逐一分析各选项的x取值范围：
1. 选项A：$\frac{1}{x-3}$是分式，需满足分母不为0，即$x-3≠0$，得$x≠3$，因此x不能取3，不符合要求；
2. 选项B：$\frac{1}{x-4}$是分式，需满足分母不为0，即$x-4≠0$，得$x≠4$，因此x不能取4，不符合要求；
3. 选项C：$\sqrt{x-3}$是二次根式，需满足被开方数非负，即$x-3≥0$，得$x≥3$，3和4都满足$x≥3$，因此x可以取3和4，符合要求；
4. 选项D：$\sqrt{x-4}$是二次根式，需满足被开方数非负，即$x-4≥0$，得$x≥4$，x=3时不满足条件，因此x不能取3，不符合要求。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对分式和二次根式取值范围的掌握，解题时只需牢记两类代数式有意义的限制条件，逐一排查即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4. 从$-5,-\dfrac{10}{3},-\sqrt{6},-1,0,2,π$这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（
A.$\dfrac{2}{7}$
B.$\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{4}{7}$
D.$\dfrac{5}{7}$
A
）。A.$\dfrac{2}{7}$
B.$\dfrac{3}{7}$
C.$\dfrac{4}{7}$
D.$\dfrac{5}{7}$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这道概率题，首先回忆简单概率的计算规则：随机事件的概率等于该事件包含的符合条件的结果数除以所有等可能的结果总数。解题可分三步推进：第一步先统计抽取的总结果数，也就是题干给出的数的总个数；第二步结合负整数的定义，从给出的7个数中筛选出符合要求的负整数，统计其个数；最后用负整数的个数除以总个数，即可得到所求概率。
【解析】
1. 确定总等可能结果数：从给定的7个数中随机抽取1个，共有7种等可能的结果。
2. 筛选负整数：负整数是指小于0的整数，逐个判断各数：
$-5$是小于0的整数，属于负整数；
$-\dfrac{10}{3}$是负分数，不属于整数；
$-\sqrt{6}$是负无理数，不属于整数；
$-1$是小于0的整数，属于负整数；
$0$、$2$、$π$都不符合负整数的要求。
因此符合条件的负整数共2个。
3. 计算概率：根据概率公式，恰好抽到负整数的概率$=\dfrac{\mathrm{负整数的个数}}{\mathrm{数的总个数}}=\dfrac{2}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算；实数的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查负整数概念的识别和简单概率公式的应用，解题时只要仔细分辨不同数的属性，避免把负分数、负无理数错判为负整数，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道概率题，首先回忆简单概率的计算规则：随机事件的概率等于该事件包含的符合条件的结果数除以所有等可能的结果总数。解题可分三步推进：第一步先统计抽取的总结果数，也就是题干给出的数的总个数；第二步结合负整数的定义，从给出的7个数中筛选出符合要求的负整数，统计其个数；最后用负整数的个数除以总个数，即可得到所求概率。
【解析】
1. 确定总等可能结果数：从给定的7个数中随机抽取1个，共有7种等可能的结果。
2. 筛选负整数：负整数是指小于0的整数，逐个判断各数：
$-5$是小于0的整数，属于负整数；
$-\dfrac{10}{3}$是负分数，不属于整数；
$-\sqrt{6}$是负无理数，不属于整数；
$-1$是小于0的整数，属于负整数；
$0$、$2$、$π$都不符合负整数的要求。
因此符合条件的负整数共2个。
3. 计算概率：根据概率公式，恰好抽到负整数的概率$=\dfrac{\mathrm{负整数的个数}}{\mathrm{数的总个数}}=\dfrac{2}{7}$。
【答案】
A
【知识点】
概率计算；实数的分类
【点评】
本题属于基础题型，核心考查负整数概念的识别和简单概率公式的应用，解题时只要仔细分辨不同数的属性，避免把负分数、负无理数错判为负整数，就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
5. 若一个正比例函数的图象经过不同象限的两点$A(-2,m),B(n,3)$，那么一定有（
A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$
C
）。A.$m＞0,n＞0$
B.$m＞0,n＜0$
C.$m＜0,n＞0$
D.$m＜0,n＜0$
答案
5. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的基本性质：正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，图象是过原点的直线，当$k＞0$时图象过一、三象限，点的横纵坐标同号；当$k＜0$时图象过二、四象限，点的横纵坐标异号。题目已知A、B在不同象限，我们可以先将两点坐标代入解析式，再分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论，排除不符合“不同象限”的情况，就能得到m、n的符号。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx(k≠0)$。
将$A(-2,m)$、$B(n,3)$分别代入解析式，可得：
$m=-2k$，$3=kn$，即$n=\frac{3}{k}$。
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
$m=-2k＜0$，$n=\frac{3}{k}＞0$，此时点$A(-2,m)$在第三象限，点$B(n,3)$在第一象限，两点在不同象限，符合题意。
2. 当$k＜0$时：
$m=-2k＞0$，$n=\frac{3}{k}＜0$，此时点$A(-2,m)$在第二象限，点$B(n,3)$也在第二象限，两点在同一象限，不符合题意，舍去。
综上可得$m＜0,n＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题核心考查正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是结合函数性质分类讨论k的符号，再根据两点在不同象限的约束条件排除错误情况，属于基础题型，熟练掌握正比例函数的图象特征是解题的前提。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆正比例函数的基本性质：正比例函数解析式为$y=kx(k≠0)$，图象是过原点的直线，当$k＞0$时图象过一、三象限，点的横纵坐标同号；当$k＜0$时图象过二、四象限，点的横纵坐标异号。题目已知A、B在不同象限，我们可以先将两点坐标代入解析式，再分$k＞0$和$k＜0$两种情况讨论，排除不符合“不同象限”的情况，就能得到m、n的符号。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx(k≠0)$。
将$A(-2,m)$、$B(n,3)$分别代入解析式，可得：
$m=-2k$，$3=kn$，即$n=\frac{3}{k}$。
分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
$m=-2k＜0$，$n=\frac{3}{k}＞0$，此时点$A(-2,m)$在第三象限，点$B(n,3)$在第一象限，两点在不同象限，符合题意。
2. 当$k＜0$时：
$m=-2k＞0$，$n=\frac{3}{k}＜0$，此时点$A(-2,m)$在第二象限，点$B(n,3)$也在第二象限，两点在同一象限，不符合题意，舍去。
综上可得$m＜0,n＞0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 平面直角坐标系象限特征
【点评】
本题核心考查正比例函数图象与系数的关系，解题的关键是结合函数性质分类讨论k的符号，再根据两点在不同象限的约束条件排除错误情况，属于基础题型，熟练掌握正比例函数的图象特征是解题的前提。
【难度系数】
0.7
6. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CM$为边$AB$上的中线，$AN⊥ CM$，交$BC$于点$N$。若$CM=3$，$AN=4$，则$\tan∠ CAN$的值为（
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
A
）。A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{3}{4}$
C.$\dfrac{3}{5}$
D.$\dfrac{4}{5}$
答案
6. A
解析
【分析】
解题首先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB长度，再通过等边对等角、同角的余角相等推导得到∠CAN=∠B，接着证明△ACN与△BCA相似，得到对应边的比例关系，最后结合正切的定义即可求出tan∠CAN的值。
步骤思路：1. 由斜边中线性质得AB=2CM、∠B=∠MCB；2. 利用余角性质推出∠CAN=∠MCB，进而得∠CAN=∠B；3. 证明两三角形相似得到边的比例，结合正切定义计算结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CM$为$AB$边上的中线，$CM=3$
∴$AB=2CM=6$，且$CM=BM$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴$∠B=∠MCB$（等边对等角）
∵$AN⊥ CM$
∴$∠CAN + ∠ACM = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵$∠MCB + ∠ACM = ∠ACB=90°$
∴$∠CAN=∠MCB$（同角的余角相等）
∴$∠CAN=∠B$
在$△ACN$和$△BCA$中：
$\begin{cases}∠ACN=∠BCA=90° \\∠CAN=∠B \end{cases}$
∴$△ACN∽△BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{AN}{AB}$（相似三角形对应边成比例）
代入$AN=4$，$AB=6$得：$\frac{CN}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
在$\mathrm{Rt}△ACN$中，$∠ACN=90°$，由正切定义得：
$\tan∠CAN=\frac{CN}{AC}=\frac{2}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查角的等量转化能力，解题的突破口是通过余角性质和等边对等角找到相等的角，再结合相似三角形得到边的比例关系，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题首先利用直角三角形斜边中线的性质求出AB长度，再通过等边对等角、同角的余角相等推导得到∠CAN=∠B，接着证明△ACN与△BCA相似，得到对应边的比例关系，最后结合正切的定义即可求出tan∠CAN的值。
步骤思路：1. 由斜边中线性质得AB=2CM、∠B=∠MCB；2. 利用余角性质推出∠CAN=∠MCB，进而得∠CAN=∠B；3. 证明两三角形相似得到边的比例，结合正切定义计算结果。
【解析】
解：
∵在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CM$为$AB$边上的中线，$CM=3$
∴$AB=2CM=6$，且$CM=BM$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
∴$∠B=∠MCB$（等边对等角）
∵$AN⊥ CM$
∴$∠CAN + ∠ACM = 90°$（直角三角形两锐角互余）
又
∵$∠MCB + ∠ACM = ∠ACB=90°$
∴$∠CAN=∠MCB$（同角的余角相等）
∴$∠CAN=∠B$
在$△ACN$和$△BCA$中：
$\begin{cases}∠ACN=∠BCA=90° \\∠CAN=∠B \end{cases}$
∴$△ACN∽△BCA$（两角分别相等的两个三角形相似）
∴$\frac{CN}{AC}=\frac{AN}{AB}$（相似三角形对应边成比例）
代入$AN=4$，$AB=6$得：$\frac{CN}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
在$\mathrm{Rt}△ACN$中，$∠ACN=90°$，由正切定义得：
$\tan∠CAN=\frac{CN}{AC}=\frac{2}{3}$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义
【点评】
本题是几何基础综合题，核心考查角的等量转化能力，解题的突破口是通过余角性质和等边对等角找到相等的角，再结合相似三角形得到边的比例关系，对逻辑推导能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
二、填空题(每小题4分,共24分)
7. 已知$1＜ x＜2$,化简$\sqrt{(x-1)^2}+|x-2|$的结果为
7. 已知$1＜ x＜2$,化简$\sqrt{(x-1)^2}+|x-2|$的结果为
1
.答案
7. 1
解析
【分析】
要化简该式，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将根号部分转化为绝对值形式，再结合已知的$1＜x＜2$的取值范围，分别判断两个绝对值内代数式的正负性，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|x-1|+|x-2|$
$\because 1＜x＜2$
$\therefore x-1＞0$，$x-2＜0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，得：
$|x-1|=x-1$，$|x-2|=-(x-2)=2-x$
$\therefore$原式$=(x-1)+(2-x)=x-1+2-x=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先通过二次根式性质将根号转化为绝对值，再结合给定取值范围去绝对值后计算，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
要化简该式，首先需利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将根号部分转化为绝对值形式，再结合已知的$1＜x＜2$的取值范围，分别判断两个绝对值内代数式的正负性，根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，可得：
原式$=|x-1|+|x-2|$
$\because 1＜x＜2$
$\therefore x-1＞0$，$x-2＜0$
根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，得：
$|x-1|=x-1$，$|x-2|=-(x-2)=2-x$
$\therefore$原式$=(x-1)+(2-x)=x-1+2-x=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，整式的加减
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是先通过二次根式性质将根号转化为绝对值，再结合给定取值范围去绝对值后计算，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 某中学图书馆藏书12 000本，数据“12 000”用科学记数法可表示为$\underline{1.2×10^{4}}$.
答案
8. $1.2×10^4$
解析
【分析】
要解决用科学记数法表示数的问题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的固定形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，当原数绝对值≥10时$n$为正整数。解题时分两步走：第一步确定$a$的值，把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1到10之间的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向左移动的位数，按这两步即可得出结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
对于12000，将小数点向左移动4位，可得$a=1.2$，符合$1 ≤ a ＜ 10$的要求；
小数点一共向左移动了4位，且原数绝对值大于10，因此$n=4$；
综上，12000用科学记数法可表示为$1.2 × 10^4$。
【答案】
$1.2 × 10^4$
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查科学记数法的表示规则，只要掌握$a$和$n$的确定方法，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决用科学记数法表示数的问题，首先回忆科学记数法的定义：科学记数法的固定形式为$a × 10^n$，其中要求$1 ≤ |a| ＜ 10$，当原数绝对值≥10时$n$为正整数。解题时分两步走：第一步确定$a$的值，把原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1到10之间的要求；第二步确定$n$的值，$n$的大小等于小数点向左移动的位数，按这两步即可得出结果。
【解析】
科学记数法的表示形式为$a × 10^n$，其中$1 ≤ |a| ＜ 10$，$n$为整数。
对于12000，将小数点向左移动4位，可得$a=1.2$，符合$1 ≤ a ＜ 10$的要求；
小数点一共向左移动了4位，且原数绝对值大于10，因此$n=4$；
综上，12000用科学记数法可表示为$1.2 × 10^4$。
【答案】
$1.2 × 10^4$
【知识点】
科学记数法的表示
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查科学记数法的表示规则，只要掌握$a$和$n$的确定方法，就能快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
9. 已知关于$ x $的一元二次方程$ 2x^2 + 2x - m = 0 $有实数根，则$ m $的取值范围是________。
答案
9. $m≥-\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决这类已知一元二次方程有实数根求参数范围的问题，核心是运用一元二次方程根的判别式：首先明确当判别式Δ≥0时，一元二次方程有实数根（包含两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况）；接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式列出关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 2x - m = 0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=2$，$b=2$，$c=-m$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×2×(-m) ≥ 0$
计算化简得：$4 + 8m ≥ 0$
移项得：$8m ≥ -4$
两边同时除以8得：$m ≥ -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$m≥ -\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题时需要注意“有实数根”对应的判别式是大于等于0，不要遗漏等号，同时代入常数项计算时要注意符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决这类已知一元二次方程有实数根求参数范围的问题，核心是运用一元二次方程根的判别式：首先明确当判别式Δ≥0时，一元二次方程有实数根（包含两个相等的实数根和两个不相等的实数根两种情况）；接下来先确定方程中二次项系数a、一次项系数b、常数项c的取值，代入判别式公式列出关于m的不等式，最后解不等式即可得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 2x - m = 0$有实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=2$，$b=2$，$c=-m$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×2×(-m) ≥ 0$
计算化简得：$4 + 8m ≥ 0$
移项得：$8m ≥ -4$
两边同时除以8得：$m ≥ -\dfrac{1}{2}$
【答案】
$m≥ -\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题时需要注意“有实数根”对应的判别式是大于等于0，不要遗漏等号，同时代入常数项计算时要注意符号，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
10. (宿迁中考)用半径为6 cm，圆心角为$120°$的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是________ cm.
答案
10. 2
解析
【分析】
解决本题的核心是抓住扇形围成圆锥侧面的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时第一步先根据扇形弧长公式计算出扇形的弧长，第二步将弧长作为圆锥底面圆的周长，利用圆的周长公式反向求解底面圆的半径即可。
【解析】
首先计算扇形的弧长，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知扇形半径$R=6\mathrm{cm}$，圆心角$n=120°$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$r$，圆的周长公式为$C=2π r$，则：
$2π r=4π$
两边同时除以$2π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开图的性质；圆周长计算
【点评】
本题是几何展开图类的基础题型，解题核心是找准平面图形和立体图形转换前后的不变量，属于中考常考的基础考点，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是抓住扇形围成圆锥侧面的等量关系：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时第一步先根据扇形弧长公式计算出扇形的弧长，第二步将弧长作为圆锥底面圆的周长，利用圆的周长公式反向求解底面圆的半径即可。
【解析】
首先计算扇形的弧长，扇形弧长公式为$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）。
已知扇形半径$R=6\mathrm{cm}$，圆心角$n=120°$，代入公式得：
$l=\frac{120×π×6}{180}=4π\ \mathrm{cm}$
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，设圆锥底面圆半径为$r$，圆的周长公式为$C=2π r$，则：
$2π r=4π$
两边同时除以$2π$，解得$r=2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
2
【知识点】
扇形弧长计算；圆锥侧面展开图的性质；圆周长计算
【点评】
本题是几何展开图类的基础题型，解题核心是找准平面图形和立体图形转换前后的不变量，属于中考常考的基础考点，熟练掌握相关公式即可快速解题。
【难度系数】
0.8
11. 某一型号飞机着陆后滑行的距离$ y $（单位：$\mathrm{m}$）与滑行时间$ x $（单位：$\mathrm{s}$）之间的函数关系式为$ y = -1.5x^2 + 60x $，该型号飞机着陆后滑行$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{m}$才能停下来。
答案
11. 600 解析:$y=-1.5x^2+60x=-1.5(x-20)^2+600$，
∴当$x=20$时,$y$取得最大值,此时$y=600$,即该型号飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来.
∴当$x=20$时,$y$取得最大值,此时$y=600$,即该型号飞机着陆后滑行 600 m 才能停下来.
解析
【分析】
飞机着陆后滑行直到停下来的过程中，滑行距离会逐渐增大到最大值，因此本题本质是求二次函数$y = -1.5x^2 + 60x$的最大值。该函数二次项系数为负，图象开口向下，顶点对应的y值就是最大值，我们可以通过配方法将函数转化为顶点式，直接求出最大值。
【解析】
对函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-1.5x^2 + 60x\\&=-1.5(x^2 - 40x)\\&=-1.5[(x^2 - 40x + 400) - 400]\\&=-1.5(x - 20)^2 + 600\end{aligned}$
因为二次项系数$-1.5＜0$，所以函数图象开口向下，当$x=20$时，$y$取得最大值，最大值为600，即飞机着陆后滑行600m才能停下来。
【答案】
600
【知识点】
二次函数的应用、配方法求最值、二次函数的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数最值的应用，解题核心是明确“飞机停下来”对应滑行距离取得最大值，掌握配方法求解二次函数最值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
飞机着陆后滑行直到停下来的过程中，滑行距离会逐渐增大到最大值，因此本题本质是求二次函数$y = -1.5x^2 + 60x$的最大值。该函数二次项系数为负，图象开口向下，顶点对应的y值就是最大值，我们可以通过配方法将函数转化为顶点式，直接求出最大值。
【解析】
对函数解析式进行配方变形：
$\begin{aligned}y&=-1.5x^2 + 60x\\&=-1.5(x^2 - 40x)\\&=-1.5[(x^2 - 40x + 400) - 400]\\&=-1.5(x - 20)^2 + 600\end{aligned}$
因为二次项系数$-1.5＜0$，所以函数图象开口向下，当$x=20$时，$y$取得最大值，最大值为600，即飞机着陆后滑行600m才能停下来。
【答案】
600
【知识点】
二次函数的应用、配方法求最值、二次函数的性质
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数最值的应用，解题核心是明确“飞机停下来”对应滑行距离取得最大值，掌握配方法求解二次函数最值的方法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
12. 我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”，记作k. 若k$=\frac{1}{2}$，则该等腰三角形的顶角为________度.
答案
12. 36 解析:依题意设顶角度数为$x$,则底角度数为$2x$,根据三角形内角和为$180°$可列方程$x+2x+2x=180°$,解得$x=36°$.
解析
【分析】
首先明确题目中“特征值”的定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值为k。已知k=1/2，说明顶角度数是底角度数的$\frac{1}{2}$，结合等腰三角形两底角相等的性质，我们可以通过设未知数表示三个内角的度数，再利用三角形内角和为180°的定理列方程求解，即可得到顶角的度数。
【解析】
设该等腰三角形的顶角度数为$x$，
∵ 特征值$k=\frac{1}{2}$，即顶角与底角的度数比为$1:2$，
∴ 一个底角的度数为$2x$。
根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为$180°$，列方程得：
$x + 2x + 2x = 180°$
合并同类项得：$5x = 180°$
解得：$x = 36°$
【答案】
36
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形基础性质，解题的核心是准确理解“特征值”的含义，结合等腰三角形的性质和内角和定理列方程求解，整体考查方式灵活，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
首先明确题目中“特征值”的定义：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值为k。已知k=1/2，说明顶角度数是底角度数的$\frac{1}{2}$，结合等腰三角形两底角相等的性质，我们可以通过设未知数表示三个内角的度数，再利用三角形内角和为180°的定理列方程求解，即可得到顶角的度数。
【解析】
设该等腰三角形的顶角度数为$x$，
∵ 特征值$k=\frac{1}{2}$，即顶角与底角的度数比为$1:2$，
∴ 一个底角的度数为$2x$。
根据等腰三角形两底角相等，以及三角形内角和为$180°$，列方程得：
$x + 2x + 2x = 180°$
合并同类项得：$5x = 180°$
解得：$x = 36°$
【答案】
36
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、新定义理解
【点评】
本题结合新定义考查三角形基础性质，解题的核心是准确理解“特征值”的含义，结合等腰三角形的性质和内角和定理列方程求解，整体考查方式灵活，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
