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三、解答题(本大题共52分)
13. (12分)解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+2}{2}≥1,\\2(x+4)＞4x+2,\end{cases}$并求出它的所有整数解的和.
13. (12分)解不等式组$\begin{cases}\dfrac{x+2}{2}≥1,\\2(x+4)＞4x+2,\end{cases}$并求出它的所有整数解的和.
答案
13. $0≤x＜3$,所有整数解的和为 3.
解析
【分析】
本题按照“先分后合”的思路求解：首先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据解集的取值规律找到两个解集的公共部分，得到不等式组的最终解集，最后在解集范围内找出所有整数解，相加即可得到整数解的和。解题时要注意：当不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变，找整数解时不要遗漏边界符合要求的整数。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{x+2}{2}≥1$：
两边同时乘2去分母得：$x+2≥2$
移项计算得：$x≥0$
2. 解不等式$2(x+4)＞4x+2$：
去括号得：$2x+8＞4x+2$
移项得：$2x-4x＞2-8$
合并同类项得：$-2x＞-6$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＜3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$0≤x＜3$。
该解集范围内的整数解为0、1、2，所有整数解的和为$0+1+2=3$。
【答案】
$0≤x＜3$,所有整数解的和为 3.
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，侧重考察解不等式的规范步骤，需要重点注意系数化为1时的不等号方向变化，找整数解时要仔细核对避免漏解、多解。
【难度系数】
0.8
本题按照“先分后合”的思路求解：首先分别解出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据解集的取值规律找到两个解集的公共部分，得到不等式组的最终解集，最后在解集范围内找出所有整数解，相加即可得到整数解的和。解题时要注意：当不等式两边同时乘除负数时，不等号方向需要改变，找整数解时不要遗漏边界符合要求的整数。
【解析】
分别求解两个不等式：
1. 解不等式$\dfrac{x+2}{2}≥1$：
两边同时乘2去分母得：$x+2≥2$
移项计算得：$x≥0$
2. 解不等式$2(x+4)＞4x+2$：
去括号得：$2x+8＞4x+2$
移项得：$2x-4x＞2-8$
合并同类项得：$-2x＞-6$
系数化为1（不等号方向改变）得：$x＜3$
取两个解集的公共部分，可得不等式组的解集为$0≤x＜3$。
该解集范围内的整数解为0、1、2，所有整数解的和为$0+1+2=3$。
【答案】
$0≤x＜3$,所有整数解的和为 3.
【知识点】
1. 一元一次不等式解法
2. 不等式组解集确定
3. 整数解求解
【点评】
本题是不等式组的基础考查题型，侧重考察解不等式的规范步骤，需要重点注意系数化为1时的不等号方向变化，找整数解时要仔细核对避免漏解、多解。
【难度系数】
0.8
14. (12分)先化简,再求值:$(a-1+\dfrac{2}{a+1})÷(a^2+1)$,其中$a=\sqrt{2}-1$.
答案
14. 原式$=\dfrac{1}{a+1}$. 当$a=\sqrt{2}-1$时,原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可分为两大步：第一步先化简原式，首先处理括号内的加法运算，将整式$a-1$通分转化为分母为$a+1$的分式，和$\frac{2}{a+1}$进行同分母分式相加；再将除法运算转化为乘法运算，通过约分化为最简分式。第二步将$a$的取值代入最简分式，计算出最终结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}+\frac{2}{a+1}]÷(a^2+1)\\&=\frac{a^2-1+2}{a+1}×\frac{1}{a^2+1}\\&=\frac{a^2+1}{a+1}×\frac{1}{a^2+1}\\&=\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
当$a=\sqrt{2}-1$时，代入最简式计算：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{\sqrt{2}-1+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
原式$=\dfrac{1}{a+1}$. 当$a=\sqrt{2}-1$时,原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
【知识点】
分式混合运算，化简求值，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式的四则运算法则，解题时需注意先将整式通分转化为同分母分式再进行加减运算，运算过程中及时约分可简化计算步骤，代入二次根式求值后注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题可分为两大步：第一步先化简原式，首先处理括号内的加法运算，将整式$a-1$通分转化为分母为$a+1$的分式，和$\frac{2}{a+1}$进行同分母分式相加；再将除法运算转化为乘法运算，通过约分化为最简分式。第二步将$a$的取值代入最简分式，计算出最终结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{(a-1)(a+1)}{a+1}+\frac{2}{a+1}]÷(a^2+1)\\&=\frac{a^2-1+2}{a+1}×\frac{1}{a^2+1}\\&=\frac{a^2+1}{a+1}×\frac{1}{a^2+1}\\&=\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
当$a=\sqrt{2}-1$时，代入最简式计算：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{\sqrt{2}-1+1}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
【答案】
原式$=\dfrac{1}{a+1}$. 当$a=\sqrt{2}-1$时,原式$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
【知识点】
分式混合运算，化简求值，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查分式的四则运算法则，解题时需注意先将整式通分转化为同分母分式再进行加减运算，运算过程中及时约分可简化计算步骤，代入二次根式求值后注意结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8
15. (12分)如图,点A的坐标是(2,0),△ABO是等边三角形,点B在第一象限.若反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点B,求k的值.
答案
15. 过点 B 作$BC⊥OA$于点 C.
$\because$点 A 的坐标是$(2,0),\therefore AO=2$.
$\because△ ABO$是等边三角形,
$\therefore OB=AB=2$. 又$BC⊥OA$,
$\therefore OC=1,BC=\sqrt{3}$,
$\therefore$点 B 的坐标是$(1,\sqrt{3})$.
把$(1,\sqrt{3})$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=\sqrt{3}$.
$\because$点 A 的坐标是$(2,0),\therefore AO=2$.
$\because△ ABO$是等边三角形,
$\therefore OB=AB=2$. 又$BC⊥OA$,
$\therefore OC=1,BC=\sqrt{3}$,
$\therefore$点 B 的坐标是$(1,\sqrt{3})$.
把$(1,\sqrt{3})$代入$y=\dfrac{k}{x}$,得$k=\sqrt{3}$.
解析
【分析】
要求反比例函数中k的值，首先需要得到反比例函数图象上点B的坐标。已知△ABO是等边三角形，点A坐标为(2,0)，可通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点B的横、纵坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
过点B作$BC⊥OA$于点C。
$\because$点A的坐标是$(2,0)$，$\therefore AO=2$。
$\because△ABO$是等边三角形，
$\therefore OB=AB=OA=2$。
又$\because BC⊥OA$，根据等边三角形三线合一的性质，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OA=1$，
在$Rt△OBC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore$点B的坐标是$(1,\sqrt{3})$。
把$B(1,\sqrt{3})$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$\sqrt{3}=\dfrac{k}{1}$，解得$k=\sqrt{3}$。
【答案】
$k=\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式确定
【点评】
本题是平面几何与反比例函数的基础综合题，解题的核心是利用等边三角形的性质求出点B的坐标，整体思路清晰，步骤固定，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求反比例函数中k的值，首先需要得到反比例函数图象上点B的坐标。已知△ABO是等边三角形，点A坐标为(2,0)，可通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求出点B的横、纵坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出k值。
【解析】
过点B作$BC⊥OA$于点C。
$\because$点A的坐标是$(2,0)$，$\therefore AO=2$。
$\because△ABO$是等边三角形，
$\therefore OB=AB=OA=2$。
又$\because BC⊥OA$，根据等边三角形三线合一的性质，
$\therefore OC=\frac{1}{2}OA=1$，
在$Rt△OBC$中，由勾股定理得：$BC=\sqrt{OB^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore$点B的坐标是$(1,\sqrt{3})$。
把$B(1,\sqrt{3})$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$\sqrt{3}=\dfrac{k}{1}$，解得$k=\sqrt{3}$。
【答案】
$k=\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，反比例函数解析式确定
【点评】
本题是平面几何与反比例函数的基础综合题，解题的核心是利用等边三角形的性质求出点B的坐标，整体思路清晰，步骤固定，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
16. (16分)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是边AB上的一点,且$∠ A=2∠ DCB$,E是BC上的一点,以EC为直径的$\odot O$经过点D.
(1)求证:AB是$\odot O$的切线;
(2)若圆心O到弦CD的距离为1,$BE=EO$,求BD的长.
(1)求证:AB是$\odot O$的切线;
(2)若圆心O到弦CD的距离为1,$BE=EO$,求BD的长.
答案
16. (1)连接 OD,则$∠ODC=∠DCB$.
又$∠A=2∠DCB,∠DOB=∠ODC+∠DCB$,
$\therefore∠A=∠DOB$.
$\because∠ACB=90°,\therefore∠A+∠B=90°$,
$\therefore∠DOB+∠B=90°$,
$\therefore∠ODB=90°,\therefore OD⊥AB$.
又 OD 是$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
(2)过点 O 作$OF⊥CD$于点 F,则$OF=1$.
$\because BE=EO=OD,\therefore OB=2OD$.
又由(1)知,$OD⊥AB$,
$\therefore∠B=30°$,
$\therefore∠DOB=60°,∠ODC=∠OCD=30°$,
$\therefore OD=2OF=2$,
$\therefore OB=2OD=4$,
$\therefore BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=2\sqrt{3}$.
又$∠A=2∠DCB,∠DOB=∠ODC+∠DCB$,
$\therefore∠A=∠DOB$.
$\because∠ACB=90°,\therefore∠A+∠B=90°$,
$\therefore∠DOB+∠B=90°$,
$\therefore∠ODB=90°,\therefore OD⊥AB$.
又 OD 是$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
(2)过点 O 作$OF⊥CD$于点 F,则$OF=1$.
$\because BE=EO=OD,\therefore OB=2OD$.
又由(1)知,$OD⊥AB$,
$\therefore∠B=30°$,
$\therefore∠DOB=60°,∠ODC=∠OCD=30°$,
$\therefore OD=2OF=2$,
$\therefore OB=2OD=4$,
$\therefore BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
(1)要证明AB是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AB垂直于过点D的半径，因此先连接OD。利用等腰△ODC的两底角相等，结合三角形外角性质可得∠DOB=2∠DCB，结合已知∠A=2∠DCB，可推出∠A=∠DOB。再根据Rt△ABC中两锐角互余，得∠A+∠B=90°，代换后可得∠DOB+∠B=90°，即可证得OD⊥AB，满足切线判定条件。
(2)求BD的长度时，先过圆心O作OF⊥CD于点F，得到OF=1。由BE=EO可知OB=2OE=2OD，在Rt△ODB中，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用，可得∠B=30°，进而推出∠DOB=60°，结合等腰△ODC的性质可得∠ODC=30°，在Rt△ODF中求出OD=2OF=2，最后用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1)证明：连接OD，
∵OD=OC（⊙O的半径相等），
∴∠ODC=∠DCB，
∵∠DOB是△ODC的外角，
∴∠DOB=∠ODC+∠DCB=2∠DCB，
又
∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴在△ODB中，∠ODB=180°-(∠DOB+∠B)=90°，即OD⊥AB，
又
∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。
(2)解：过点O作OF⊥CD于点F，由题意得OF=1，
∵BE=EO，OD=OE（⊙O的半径相等），
∴OB=BE+EO=2EO=2OD，
由(1)知OD⊥AB，即△ODB是直角三角形，
在Rt△ODB中，OD=½OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=90°-∠B=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等腰三角形，∠ODC=∠OCD，
又
∵∠DOB=∠ODC+∠OCD=60°，
∴∠ODC=30°，
在Rt△ODF中，∠ODF=30°，
∴OD=2OF=2×1=2，
∴OB=2OD=4，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)AB是⊙O的切线，证明成立；
(2)BD的长为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
1.切线的判定
2.含30°角的直角三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规综合题，解题的关键是熟练掌握切线判定的辅助线构造方法（连半径证垂直），同时灵活运用等腰三角形性质、直角三角形的边角关系进行推导计算，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
(1)要证明AB是⊙O的切线，根据切线判定定理，需证明AB垂直于过点D的半径，因此先连接OD。利用等腰△ODC的两底角相等，结合三角形外角性质可得∠DOB=2∠DCB，结合已知∠A=2∠DCB，可推出∠A=∠DOB。再根据Rt△ABC中两锐角互余，得∠A+∠B=90°，代换后可得∠DOB+∠B=90°，即可证得OD⊥AB，满足切线判定条件。
(2)求BD的长度时，先过圆心O作OF⊥CD于点F，得到OF=1。由BE=EO可知OB=2OE=2OD，在Rt△ODB中，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”的逆用，可得∠B=30°，进而推出∠DOB=60°，结合等腰△ODC的性质可得∠ODC=30°，在Rt△ODF中求出OD=2OF=2，最后用勾股定理计算BD的长度即可。
【解析】
(1)证明：连接OD，
∵OD=OC（⊙O的半径相等），
∴∠ODC=∠DCB，
∵∠DOB是△ODC的外角，
∴∠DOB=∠ODC+∠DCB=2∠DCB，
又
∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴Rt△ABC中，∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴在△ODB中，∠ODB=180°-(∠DOB+∠B)=90°，即OD⊥AB，
又
∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线。
(2)解：过点O作OF⊥CD于点F，由题意得OF=1，
∵BE=EO，OD=OE（⊙O的半径相等），
∴OB=BE+EO=2EO=2OD，
由(1)知OD⊥AB，即△ODB是直角三角形，
在Rt△ODB中，OD=½OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=90°-∠B=60°，
∵OD=OC，
∴△ODC是等腰三角形，∠ODC=∠OCD，
又
∵∠DOB=∠ODC+∠OCD=60°，
∴∠ODC=30°，
在Rt△ODF中，∠ODF=30°，
∴OD=2OF=2×1=2，
∴OB=2OD=4，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：$BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
(1)AB是⊙O的切线，证明成立；
(2)BD的长为$2\sqrt{3}$。
【知识点】
1.切线的判定
2.含30°角的直角三角形的性质
3.勾股定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的常规综合题，解题的关键是熟练掌握切线判定的辅助线构造方法（连半径证垂直），同时灵活运用等腰三角形性质、直角三角形的边角关系进行推导计算，能够有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.65
