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1. 计算:
(1)$(-1)^{2026} × (\dfrac{1}{2})^{-2} + (\sqrt{3} - π)^0 + |1 - 2\sin 30°|$；
(2)$-2^3 - \sqrt{48} + |1 - 2\sin 60°| + (-\dfrac{1}{3})^{-3}$。
(1)$(-1)^{2026} × (\dfrac{1}{2})^{-2} + (\sqrt{3} - π)^0 + |1 - 2\sin 30°|$；
(2)$-2^3 - \sqrt{48} + |1 - 2\sin 60°| + (-\dfrac{1}{3})^{-3}$。
答案
(1)原式=5；
(2)原式=$-36-3\sqrt{3}$。
(2)原式=$-36-3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
这两道题均为实数混合运算类题目，解题遵循“先算高级运算、后算低级运算”的顺序：第一步先分别计算每一项的乘方、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，再根据绝对值内式子的正负性化简绝对值；第二步计算乘法运算；第三步合并同类项、计算加减得到最终结果。解题时需注意符号判断，不要将$-2^3$错算为$(-2)^3$，化简绝对值前要先判断绝对值内表达式的正负。
【解析】
(1) 分步计算各项：
$(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正数），
$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$（负整数指数幂规则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p},a≠0$），
$(\sqrt{3}-π)^0=1$（非零数的零次幂等于1），
$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，因此$|1-2\sin30°|=|1-2×\dfrac{1}{2}|=|1-1|=0$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1×4 + 1 + 0\\&=4+1\\&=5\end{aligned}$
(2) 分步计算各项：
$-2^3=-8$（底数为2，不是$-2$），
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$1-2\sin60°=1-\sqrt{3}＜0$，因此$|1-2\sin60°|=\sqrt{3}-1$，
$(-\dfrac{1}{3})^{-3}=(-3)^3=-27$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-8 -4\sqrt{3} + (\sqrt{3}-1) + (-27)\\&=-8 -4\sqrt{3} +\sqrt{3} -1 -27\\&=(-8-1-27)+(-4\sqrt{3}+\sqrt{3})\\&=-36-3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-36-3\sqrt{3}}$
【知识点】
实数混合运算、特殊角三角函数值、幂的运算
【点评】
本题是实数运算的典型易错题，解题的核心是牢记运算顺序、特殊角三角函数值以及幂运算、绝对值化简的规则，尤其要注意负整数指数幂的转化和乘方的符号判断，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.6
这两道题均为实数混合运算类题目，解题遵循“先算高级运算、后算低级运算”的顺序：第一步先分别计算每一项的乘方、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值，再根据绝对值内式子的正负性化简绝对值；第二步计算乘法运算；第三步合并同类项、计算加减得到最终结果。解题时需注意符号判断，不要将$-2^3$错算为$(-2)^3$，化简绝对值前要先判断绝对值内表达式的正负。
【解析】
(1) 分步计算各项：
$(-1)^{2026}=1$（负数的偶次幂为正数），
$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$（负整数指数幂规则：$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p},a≠0$），
$(\sqrt{3}-π)^0=1$（非零数的零次幂等于1），
$\sin30°=\dfrac{1}{2}$，因此$|1-2\sin30°|=|1-2×\dfrac{1}{2}|=|1-1|=0$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1×4 + 1 + 0\\&=4+1\\&=5\end{aligned}$
(2) 分步计算各项：
$-2^3=-8$（底数为2，不是$-2$），
$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
$\sin60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$1-2\sin60°=1-\sqrt{3}＜0$，因此$|1-2\sin60°|=\sqrt{3}-1$，
$(-\dfrac{1}{3})^{-3}=(-3)^3=-27$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=-8 -4\sqrt{3} + (\sqrt{3}-1) + (-27)\\&=-8 -4\sqrt{3} +\sqrt{3} -1 -27\\&=(-8-1-27)+(-4\sqrt{3}+\sqrt{3})\\&=-36-3\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{5}$；(2) $\boxed{-36-3\sqrt{3}}$
【知识点】
实数混合运算、特殊角三角函数值、幂的运算
【点评】
本题是实数运算的典型易错题，解题的核心是牢记运算顺序、特殊角三角函数值以及幂运算、绝对值化简的规则，尤其要注意负整数指数幂的转化和乘方的符号判断，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.6
2. 如图,已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD,坝顶宽AD是6米,坝高24米,背水坡AB的坡度为1:3,迎水坡CD的坡度为1:2.求:
(1)背水坡AB的长度;
(2)坝底BC的长度.
(1)背水坡AB的长度;
(2)坝底BC的长度.
答案
(1)分别过点A,D作AM⊥BC,DN⊥BC,垂足分别为M,N.根据题意知,AM=DN=24米,MN=AD=6米.
在Rt△ABM中,
∵$\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$,
∴BM=72米.
∵$AB^2=AM^2+BM^2$,
∴$AB=\sqrt{24^2+72^2}=24\sqrt{10}$(米).
故背水坡AB的长度为$24\sqrt{10}$米.
(2)在Rt△DNC中,
∵$\frac{DN}{CN}=\frac{1}{2}$,
∴CN=48米,
∴BC=72+6+48=126(米).
故坝底BC的长度为126米.
在Rt△ABM中,
∵$\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$,
∴BM=72米.
∵$AB^2=AM^2+BM^2$,
∴$AB=\sqrt{24^2+72^2}=24\sqrt{10}$(米).
故背水坡AB的长度为$24\sqrt{10}$米.
(2)在Rt△DNC中,
∵$\frac{DN}{CN}=\frac{1}{2}$,
∴CN=48米,
∴BC=72+6+48=126(米).
故坝底BC的长度为126米.
解析
【分析】
解决本题首先要明确坡度的定义（坡度为铅直高度与水平宽度的比），对于梯形类的几何计算问题，通常通过作高的辅助线，将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，把已知的坝高、坝顶宽转化为直角三角形和矩形的边长。先在直角三角形中利用坡度求出对应的水平边长度，再用勾股定理计算背水坡AB的长度，最后将三段水平长度相加即可得到坝底BC的长度。
【解析】
(1) 分别过点A、D作$AM⊥ BC$，$DN⊥ BC$，垂足分别为M、N。
根据题意可知：$AM=DN=24$米，四边形AMND为矩形，因此$MN=AD=6$米。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，背水坡AB的坡度为$1:3$，即$\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$，
代入$AM=24$米，可得$BM=3×24=72$米。
由勾股定理得$AB^2=AM^2+BM^2$，
因此$AB=\sqrt{24^2+72^2}=\sqrt{576+5184}=24\sqrt{10}$（米）。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ DNC$中，迎水坡CD的坡度为$1:2$，即$\frac{DN}{CN}=\frac{1}{2}$，
代入$DN=24$米，可得$CN=2×24=48$米。
因此坝底长度$BC=BM+MN+CN=72+6+48=126$（米）。
【答案】
(1) 背水坡AB的长度为$24\sqrt{10}$米；
(2) 坝底BC的长度为126米。
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 勾股定理
3. 梯形的辅助线作法
【点评】
本题属于坡度相关的实际应用类题型，解题核心是通过作高将梯形转化为直角三角形和矩形求解，需要准确理解坡度的含义，避免将坡度的比例关系搞反，是几何实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确坡度的定义（坡度为铅直高度与水平宽度的比），对于梯形类的几何计算问题，通常通过作高的辅助线，将梯形转化为两个直角三角形和一个矩形，把已知的坝高、坝顶宽转化为直角三角形和矩形的边长。先在直角三角形中利用坡度求出对应的水平边长度，再用勾股定理计算背水坡AB的长度，最后将三段水平长度相加即可得到坝底BC的长度。
【解析】
(1) 分别过点A、D作$AM⊥ BC$，$DN⊥ BC$，垂足分别为M、N。
根据题意可知：$AM=DN=24$米，四边形AMND为矩形，因此$MN=AD=6$米。
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，背水坡AB的坡度为$1:3$，即$\frac{AM}{BM}=\frac{1}{3}$，
代入$AM=24$米，可得$BM=3×24=72$米。
由勾股定理得$AB^2=AM^2+BM^2$，
因此$AB=\sqrt{24^2+72^2}=\sqrt{576+5184}=24\sqrt{10}$（米）。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ DNC$中，迎水坡CD的坡度为$1:2$，即$\frac{DN}{CN}=\frac{1}{2}$，
代入$DN=24$米，可得$CN=2×24=48$米。
因此坝底长度$BC=BM+MN+CN=72+6+48=126$（米）。
【答案】
(1) 背水坡AB的长度为$24\sqrt{10}$米；
(2) 坝底BC的长度为126米。
【知识点】
1. 坡度的定义
2. 勾股定理
3. 梯形的辅助线作法
【点评】
本题属于坡度相关的实际应用类题型，解题核心是通过作高将梯形转化为直角三角形和矩形求解，需要准确理解坡度的含义，避免将坡度的比例关系搞反，是几何实际应用的常见考法。
【难度系数】
0.7
3. 新情境 维修输电铁塔 去年,我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响,被冰雪从C处压折,塔尖恰好落在坡面上的点B处,造成局部地区供电中断,为尽快抢通供电线路,专业维修人员迅速奔赴现场进行处理,在B处测得BC与水平线的夹角为$45°$,塔基A所在斜坡与水平线的夹角为$30°$,A,B两点间的距离为16米,求压折前该输电铁塔的高度.(结果保留根号)
答案
如图,由已知可得,BD//EF,AB=16 米,∠E=30°,∠BDA=∠BDC=90°,
∴∠E=∠DBA=30°,
∴AD=8米,
∴$BD=AB·\cos30°=8\sqrt{3}$(米).
∵∠CBD=45°,
∴$CD=BD=8\sqrt{3}$米,
$BC=\frac{BD}{\cos45°}=8\sqrt{6}$(米),
∴AC+CB=AD+CD+CB
=$(8+8\sqrt{3}+8\sqrt{6})$米.
故压折前该输电铁塔的高度是$(8+8\sqrt{3}+8\sqrt{6})$米.
解析
【分析】
解决这道解直角三角形的实际应用题，首先要构造合适的直角三角形：过点B作BD⊥AC于点D，即可得到Rt△ABD和Rt△BCD两个直角三角形。第一步先处理Rt△ABD：已知斜坡与水平线夹角为30°，BD平行于水平线，可推出∠DBA=30°，结合AB=16米，利用30°直角三角形的性质和三角函数就能求出AD、BD的长度；第二步处理Rt△BCD：已知∠CBD=45°，可知该三角形为等腰直角三角形，可得CD=BD，再结合三角函数求出BC的长度；最后压折前铁塔的总高度为AC+CB，即AD+CD+BC，将三段长度求和即可得到结果。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D，由已知可得BD//EF，AB=16米，∠E=30°，∠BDA=∠BDC=90°，
∵BD//EF，
∴∠DBA=∠E=30°，
在Rt△ABD中，∠DBA=30°，AB=16米，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=8$米，
$BD=AB·\cos30°=16×\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$米。
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴∠C=∠CBD=45°，即CD=BD=$8\sqrt{3}$米，
$BC=\frac{BD}{\cos45°}=8\sqrt{3}÷\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{6}$米。
∴压折前铁塔的高度为$AC+CB=AD+CD+CB=8+8\sqrt{3}+8\sqrt{6}$米。
【答案】
压折前该输电铁塔的高度是$(8+8\sqrt{3}+8\sqrt{6})$米。
【知识点】
解直角三角形的应用、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际抢修情境考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边角计算问题，结合特殊角的三角函数值求出对应线段长度后即可求解。
【难度系数】
0.7
解决这道解直角三角形的实际应用题，首先要构造合适的直角三角形：过点B作BD⊥AC于点D，即可得到Rt△ABD和Rt△BCD两个直角三角形。第一步先处理Rt△ABD：已知斜坡与水平线夹角为30°，BD平行于水平线，可推出∠DBA=30°，结合AB=16米，利用30°直角三角形的性质和三角函数就能求出AD、BD的长度；第二步处理Rt△BCD：已知∠CBD=45°，可知该三角形为等腰直角三角形，可得CD=BD，再结合三角函数求出BC的长度；最后压折前铁塔的总高度为AC+CB，即AD+CD+BC，将三段长度求和即可得到结果。
【解析】
过点B作BD⊥AC于点D，由已知可得BD//EF，AB=16米，∠E=30°，∠BDA=∠BDC=90°，
∵BD//EF，
∴∠DBA=∠E=30°，
在Rt△ABD中，∠DBA=30°，AB=16米，
∴$AD=\frac{1}{2}AB=8$米，
$BD=AB·\cos30°=16×\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$米。
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∠BDC=90°，
∴∠C=∠CBD=45°，即CD=BD=$8\sqrt{3}$米，
$BC=\frac{BD}{\cos45°}=8\sqrt{3}÷\frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{6}$米。
∴压折前铁塔的高度为$AC+CB=AD+CD+CB=8+8\sqrt{3}+8\sqrt{6}$米。
【答案】
压折前该输电铁塔的高度是$(8+8\sqrt{3}+8\sqrt{6})$米。
【知识点】
解直角三角形的应用、特殊角的三角函数值、直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际抢修情境考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为直角三角形边角计算问题，结合特殊角的三角函数值求出对应线段长度后即可求解。
【难度系数】
0.7
