登录
1. 计算：
(1)$\cos 30° · \tan 60° - \sin^{2}45° + (1 - \tan 30°)^{0}$；
(2)$-2^{4} - \sqrt{12} + |1 - 4\sin 60°| + (2026π)^{0}$；
(3)$(\dfrac{1}{3})^{-1} - \sqrt[3]{-8} + |\sqrt{3} - 2| + 4\sin 60°$；
(4)$2\sin 60° + 2^{-1} - (π - 2026)^{0} - |1 - \sqrt{3}|$。
(1)$\cos 30° · \tan 60° - \sin^{2}45° + (1 - \tan 30°)^{0}$；
(2)$-2^{4} - \sqrt{12} + |1 - 4\sin 60°| + (2026π)^{0}$；
(3)$(\dfrac{1}{3})^{-1} - \sqrt[3]{-8} + |\sqrt{3} - 2| + 4\sin 60°$；
(4)$2\sin 60° + 2^{-1} - (π - 2026)^{0} - |1 - \sqrt{3}|$。
答案
(1)原式=2；
(2)原式=-16；
(3)原式=$7+\sqrt{3}$；
(4)原式=$\dfrac{1}{2}$。
(2)原式=-16；
(3)原式=$7+\sqrt{3}$；
(4)原式=$\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
这类实数混合运算题的解题思路可分为三步：第一步，先回忆所有涉及的运算法则：①30°、45°、60°的特殊角三角函数值；②零指数幂：非零数的0次幂等于1；③负整数指数幂：等于对应正指数幂的倒数；④绝对值化简：先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号；⑤根式化简：正确计算算术平方根、立方根。第二步，将原式中每一项分别化简。第三步，按照先乘除后加减的顺序计算，合并同类项得到结果，解题时要重点注意符号判断，避免出错。
【解析】
(1) 先代入特殊角三角函数值、计算零指数幂：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$1-\tan30°=1-\frac{\sqrt{3}}{3}≠0$，故$(1-\tan30°)^0=1$
原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1$
$=\frac{3}{2} - \frac{1}{2} +1$
$=1+1=2$
(2) 分别化简每一项：
$-2^4=-16$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$4\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$1-2\sqrt{3}＜0$，故$|1-4\sin60°|=2\sqrt{3}-1$，$(2026π)^0=1$
原式$=-16 - 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3}-1) +1$
$=-16 -2\sqrt{3} +2\sqrt{3} -1 +1$
$=-16$
(3) 分别化简每一项：
$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{3}＜2$，故$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，$4\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
原式$=3 - (-2) + (2-\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}$
$=3+2+2 -\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
$=7+\sqrt{3}$
(4) 分别化简每一项：
$2\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，$(π-2026)^0=1$，$1＜\sqrt{3}$，故$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
原式$=\sqrt{3} + \frac{1}{2} -1 - (\sqrt{3}-1)$
$=\sqrt{3} +\frac{1}{2} -1 -\sqrt{3} +1$
$=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$2$；(2)$-16$；(3)$7+\sqrt{3}$；(4)$\frac{1}{2}$
【知识点】
特殊角三角函数值、实数混合运算、零负指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规题型，重点考查对基础运算法则的掌握程度和特殊角三角函数值的记忆，解题时需注意先逐项化简再计算，尤其要避免符号判断错误、记错三角函数值等低级失误。
【难度系数】
0.7
这类实数混合运算题的解题思路可分为三步：第一步，先回忆所有涉及的运算法则：①30°、45°、60°的特殊角三角函数值；②零指数幂：非零数的0次幂等于1；③负整数指数幂：等于对应正指数幂的倒数；④绝对值化简：先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号；⑤根式化简：正确计算算术平方根、立方根。第二步，将原式中每一项分别化简。第三步，按照先乘除后加减的顺序计算，合并同类项得到结果，解题时要重点注意符号判断，避免出错。
【解析】
(1) 先代入特殊角三角函数值、计算零指数幂：
$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$1-\tan30°=1-\frac{\sqrt{3}}{3}≠0$，故$(1-\tan30°)^0=1$
原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3} - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 1$
$=\frac{3}{2} - \frac{1}{2} +1$
$=1+1=2$
(2) 分别化简每一项：
$-2^4=-16$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$4\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，$1-2\sqrt{3}＜0$，故$|1-4\sin60°|=2\sqrt{3}-1$，$(2026π)^0=1$
原式$=-16 - 2\sqrt{3} + (2\sqrt{3}-1) +1$
$=-16 -2\sqrt{3} +2\sqrt{3} -1 +1$
$=-16$
(3) 分别化简每一项：
$(\frac{1}{3})^{-1}=3$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$\sqrt{3}＜2$，故$|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}$，$4\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
原式$=3 - (-2) + (2-\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}$
$=3+2+2 -\sqrt{3}+2\sqrt{3}$
$=7+\sqrt{3}$
(4) 分别化简每一项：
$2\sin60°=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，$2^{-1}=\frac{1}{2}$，$(π-2026)^0=1$，$1＜\sqrt{3}$，故$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
原式$=\sqrt{3} + \frac{1}{2} -1 - (\sqrt{3}-1)$
$=\sqrt{3} +\frac{1}{2} -1 -\sqrt{3} +1$
$=\frac{1}{2}$
【答案】
(1)$2$；(2)$-16$；(3)$7+\sqrt{3}$；(4)$\frac{1}{2}$
【知识点】
特殊角三角函数值、实数混合运算、零负指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的常规题型，重点考查对基础运算法则的掌握程度和特殊角三角函数值的记忆，解题时需注意先逐项化简再计算，尤其要避免符号判断错误、记错三角函数值等低级失误。
【难度系数】
0.7
2. 如图,某兴趣小组想测量某时刻飞机的高度,在地面点 A 处设置了一个观察点,沿水平方向前进 4 千米到达点 B 处,再沿坡比$i=1:\sqrt{3}$的斜坡行走 2 千米到达观察点 C 处,某时刻空中点 M 处有一架正在降落的飞机,在 A 处测得飞机的仰角为$60°$,同时在 C 处测得飞机的仰角为$30°$,求此时飞机的高度?
答案
如图,过点M作MN⊥AB于点N,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D,作CE⊥MN于点E,设ME=h千米.
∵BC=2千米,i=1:√3,
∴CD²+(√3 CD)²=2²,
∴CD=1千米,
∴EN=1千米,BD=√3千米.
又AB=4千米,
∴AD=(4+√3)千米.
∵在Rt△MCE中,∠MCE=30°,ME=h千米,
∴tan∠MCE=ME/CE,即tan30°=h/CE=√3/3,
∴CE=√3 h=DN,
∴AN=AD-DN=(4+√3 -√3 h)千米.
∵在Rt△MAN中,∠MAN=60°,
∴tan∠MAN=MN/AN,即tan60°=(h+1)/(4+√3 -√3 h)=√3,
解得h=$\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}$,
∴MN=h+1=$(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3})$千米,
∴此时飞机的高度为$(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3})$千米.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的已知量（AB长度、斜坡BC的坡比与长度、两处仰角）转化为几何图形的边角关系；其次利用坡比和勾股定理求出点C的竖直高度与水平偏移长度；再设未知数表示相关线段长度，结合两个直角三角形的三角函数关系列方程求解，最终得到飞机的高度。
【解析】
如图，过点M作MN⊥AB于点N，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，作CE⊥MN于点E，设ME=h千米。
∵BC=2千米，坡比$i=1:\sqrt{3}$，即$CD:BD=1:\sqrt{3}$，
∴在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：$CD^2+(\sqrt{3}CD)^2=2^2$，
解得$CD=1$千米，
∴$EN=CD=1$千米，$BD=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}$千米。
又
∵$AB=4$千米，
∴$AD=AB+BD=(4+\sqrt{3})$千米。
∵在$Rt△ MCE$中，$∠ MCE=30°$，$ME=h$千米，
∴$\tan∠ MCE=\frac{ME}{CE}$，即$\tan30°=\frac{h}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得$CE=\sqrt{3}h$，由矩形CDNE的性质得$DN=CE=\sqrt{3}h$，
∴$AN=AD-DN=(4+\sqrt{3}-\sqrt{3}h)$千米。
∵在$Rt△ MAN$中，$∠ MAN=60°$，$MN=ME+EN=(h+1)$千米，
∴$\tan∠ MAN=\frac{MN}{AN}$，即$\tan60°=\frac{h+1}{4+\sqrt{3}-\sqrt{3}h}=\sqrt{3}$，
解方程得$h=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，
∴$MN=h+1=\frac{1}{2}+\sqrt{3}+1=(\frac{3}{2}+\sqrt{3})$千米。
【答案】
此时飞机的高度为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3})}$千米。
【知识点】
解直角三角形应用，坡比的概念，矩形的性质
【点评】
本题将实际测量问题与几何知识结合，核心是通过合理作辅助线整合已知条件，利用三角函数建立方程求解，解题时需准确理解坡比、仰角的含义，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的已知量（AB长度、斜坡BC的坡比与长度、两处仰角）转化为几何图形的边角关系；其次利用坡比和勾股定理求出点C的竖直高度与水平偏移长度；再设未知数表示相关线段长度，结合两个直角三角形的三角函数关系列方程求解，最终得到飞机的高度。
【解析】
如图，过点M作MN⊥AB于点N，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，作CE⊥MN于点E，设ME=h千米。
∵BC=2千米，坡比$i=1:\sqrt{3}$，即$CD:BD=1:\sqrt{3}$，
∴在$Rt△ BCD$中，由勾股定理得：$CD^2+(\sqrt{3}CD)^2=2^2$，
解得$CD=1$千米，
∴$EN=CD=1$千米，$BD=\sqrt{3}CD=\sqrt{3}$千米。
又
∵$AB=4$千米，
∴$AD=AB+BD=(4+\sqrt{3})$千米。
∵在$Rt△ MCE$中，$∠ MCE=30°$，$ME=h$千米，
∴$\tan∠ MCE=\frac{ME}{CE}$，即$\tan30°=\frac{h}{CE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得$CE=\sqrt{3}h$，由矩形CDNE的性质得$DN=CE=\sqrt{3}h$，
∴$AN=AD-DN=(4+\sqrt{3}-\sqrt{3}h)$千米。
∵在$Rt△ MAN$中，$∠ MAN=60°$，$MN=ME+EN=(h+1)$千米，
∴$\tan∠ MAN=\frac{MN}{AN}$，即$\tan60°=\frac{h+1}{4+\sqrt{3}-\sqrt{3}h}=\sqrt{3}$，
解方程得$h=\frac{1}{2}+\sqrt{3}$，
∴$MN=h+1=\frac{1}{2}+\sqrt{3}+1=(\frac{3}{2}+\sqrt{3})$千米。
【答案】
此时飞机的高度为$\boldsymbol{(\dfrac{3}{2}+\sqrt{3})}$千米。
【知识点】
解直角三角形应用，坡比的概念，矩形的性质
【点评】
本题将实际测量问题与几何知识结合，核心是通过合理作辅助线整合已知条件，利用三角函数建立方程求解，解题时需准确理解坡比、仰角的含义，理清各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
