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1. 下列各式：$\frac{a-b}{2},\frac{x+3}{x},\frac{5-y}{π},\frac{a+b}{a-b},\frac{ab}{a},\frac{1}{m}(x+y)$中，是分式的有 ……………………（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
D
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.D
解析
【分析】首先明确分式的定义：若式子$\frac{A}{B}$中，A、B是整式，且B中含有字母（B≠0），则该式子为分式。解题时需逐个判断每个式子的分母是否含有字母（注意π是常数，不属于字母），统计符合条件的式子数量即可。
【解析】根据分式的定义，逐一分析各选项中的式子：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式；
2. $\frac{x+3}{x}$：分母含字母x，是分式；
3. $\frac{5-y}{π}$：分母π是常数，不含字母，是整式，不是分式；
4. $\frac{a+b}{a-b}$：分母含字母a、b，是分式；
5. $\frac{ab}{a}$：分母含字母a，是分式；
6. $\frac{1}{m}(x+y)=\frac{x+y}{m}$：分母含字母m，是分式；
综上，分式共有4个，故选D。
【答案】D
【知识点】分式的定义
【点评】本题考查分式的概念，核心是区分整式与分式，需注意π是常数，不是字母，避免误判分母是否含字母。
【难度系数】0.6
【解析】根据分式的定义，逐一分析各选项中的式子：
1. $\frac{a-b}{2}$：分母为常数2，不含字母，是整式，不是分式；
2. $\frac{x+3}{x}$：分母含字母x，是分式；
3. $\frac{5-y}{π}$：分母π是常数，不含字母，是整式，不是分式；
4. $\frac{a+b}{a-b}$：分母含字母a、b，是分式；
5. $\frac{ab}{a}$：分母含字母a，是分式；
6. $\frac{1}{m}(x+y)=\frac{x+y}{m}$：分母含字母m，是分式；
综上，分式共有4个，故选D。
【答案】D
【知识点】分式的定义
【点评】本题考查分式的概念，核心是区分整式与分式，需注意π是常数，不是字母，避免误判分母是否含字母。
【难度系数】0.6
2. 下列各式中,是最简分式的是 …………………………………………………………………………（
A.$\frac{2a}{3a^2b}$
B.$\frac{a+1}{a^2+1}$
C.$\frac{a}{a^2+3a}$
D.$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$
B
）A.$\frac{2a}{3a^2b}$
B.$\frac{a+1}{a^2+1}$
C.$\frac{a}{a^2+3a}$
D.$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断最简分式，需依据定义：分子与分母没有公因式的分式是最简分式。解题时，需对每个选项的分子、分母进行因式分解，再检查是否存在公因式，若不存在则为最简分式，反之则不是。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：$\frac{2a}{3a^2b}$，分子为$2a$，分母为$3a^2b$，公因式为$a$，约分后得$\frac{2}{3ab}$，不是最简分式；
选项B：$\frac{a+1}{a^2+1}$，分子为$a+1$，分母$a^2+1$无法分解出与分子相同的因式，无公因式，是最简分式；
选项C：$\frac{a}{a^2+3a}$，分母因式分解为$a(a+3)$，分子与分母的公因式为$a$，约分后得$\frac{1}{a+3}$，不是最简分式；
选项D：$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$，分子因式分解为$a(a+b)$，分母因式分解为$(a+b)(a-b)$，公因式为$(a+b)$，约分后得$\frac{a}{a-b}$，不是最简分式。
综上，最简分式是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判断，因式分解（分式约分）
【点评】
本题考查最简分式的概念，核心是通过因式分解找分子分母的公因式，属于分式章节的基础题，难度适中，需掌握因式分解的基本方法。
【难度系数】
0.7
要判断最简分式，需依据定义：分子与分母没有公因式的分式是最简分式。解题时，需对每个选项的分子、分母进行因式分解，再检查是否存在公因式，若不存在则为最简分式，反之则不是。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：$\frac{2a}{3a^2b}$，分子为$2a$，分母为$3a^2b$，公因式为$a$，约分后得$\frac{2}{3ab}$，不是最简分式；
选项B：$\frac{a+1}{a^2+1}$，分子为$a+1$，分母$a^2+1$无法分解出与分子相同的因式，无公因式，是最简分式；
选项C：$\frac{a}{a^2+3a}$，分母因式分解为$a(a+3)$，分子与分母的公因式为$a$，约分后得$\frac{1}{a+3}$，不是最简分式；
选项D：$\frac{a^2+ab}{a^2-b^2}$，分子因式分解为$a(a+b)$，分母因式分解为$(a+b)(a-b)$，公因式为$(a+b)$，约分后得$\frac{a}{a-b}$，不是最简分式。
综上，最简分式是选项B。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判断，因式分解（分式约分）
【点评】
本题考查最简分式的概念，核心是通过因式分解找分子分母的公因式，属于分式章节的基础题，难度适中，需掌握因式分解的基本方法。
【难度系数】
0.7
3. 计算$(-\dfrac{2a}{b^2})^2 · (\dfrac{2b}{a})^2 ÷ (-\dfrac{2b^2}{a})$的结果是……………………………………………………………………（
A.$-\dfrac{8a}{b^4}$
B.$\dfrac{8a}{b^4}$
C.$-\dfrac{16a}{b^4}$
D.$\dfrac{16a}{b^4}$
A
）A.$-\dfrac{8a}{b^4}$
B.$\dfrac{8a}{b^4}$
C.$-\dfrac{16a}{b^4}$
D.$\dfrac{16a}{b^4}$
答案
3.A
解析
【分析】本题是分式的乘方与乘除混合运算，解题思路为：先根据分式乘方法则计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后依据分式乘法法则进行约分计算，得出结果后对应选项即可。
【解析】解：先计算分式的乘方：
$(-\dfrac{2a}{b^2})^2 = \dfrac{(2a)^2}{(b^2)^2} = \dfrac{4a^2}{b^4}$，
$(\dfrac{2b}{a})^2 = \dfrac{(2b)^2}{a^2} = \dfrac{4b^2}{a^2}$；
再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} ÷ (-\dfrac{2b^2}{a}) = \dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{a}{2b^2})$；
然后进行约分计算：
分子：$4a^2 × 4b^2 × (-a) = -16a^3b^2$，
分母：$b^4 × a^2 × 2b^2 = 2a^2b^6$，
约分后得：$\dfrac{-16a^3b^2}{2a^2b^6} = -\dfrac{8a}{b^4}$，
所以结果为$-\dfrac{8a}{b^4}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的乘方、分式的乘除运算
【点评】本题考查分式的混合运算，需熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，运算中要注意符号的处理和约分的彻底性，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
【解析】解：先计算分式的乘方：
$(-\dfrac{2a}{b^2})^2 = \dfrac{(2a)^2}{(b^2)^2} = \dfrac{4a^2}{b^4}$，
$(\dfrac{2b}{a})^2 = \dfrac{(2b)^2}{a^2} = \dfrac{4b^2}{a^2}$；
再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} ÷ (-\dfrac{2b^2}{a}) = \dfrac{4a^2}{b^4} · \dfrac{4b^2}{a^2} · (-\dfrac{a}{2b^2})$；
然后进行约分计算：
分子：$4a^2 × 4b^2 × (-a) = -16a^3b^2$，
分母：$b^4 × a^2 × 2b^2 = 2a^2b^6$，
约分后得：$\dfrac{-16a^3b^2}{2a^2b^6} = -\dfrac{8a}{b^4}$，
所以结果为$-\dfrac{8a}{b^4}$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式的乘方、分式的乘除运算
【点评】本题考查分式的混合运算，需熟练掌握分式乘方、乘除的运算法则，运算中要注意符号的处理和约分的彻底性，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
4.(2024·绍兴柯桥)光明口罩厂近期因市场需求量降低,决定减产。现在每天少生产4万个,已知现在生产60万个口罩所需的时间与原来生产100万个口罩所需的时间相同,问口罩厂现在每天生产多少个口罩?设原来每天生产$x$万个口罩,则由题意可列出方程 ……………………（
A.$\dfrac{100}{x-4}=\dfrac{60}{x}$
B.$\dfrac{100}{x+4}=\dfrac{60}{x}$
C.$\dfrac{60}{x-4}=\dfrac{100}{x}$
D.$\dfrac{60}{x+4}=\dfrac{100}{x}$
C
）A.$\dfrac{100}{x-4}=\dfrac{60}{x}$
B.$\dfrac{100}{x+4}=\dfrac{60}{x}$
C.$\dfrac{60}{x-4}=\dfrac{100}{x}$
D.$\dfrac{60}{x+4}=\dfrac{100}{x}$
答案
4.C
解析
【分析】
本题是分式方程应用的基础题，解题思路为：先根据题意表示出现在的生产效率，再利用“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“现在生产60万个的时间与原来生产100万个的时间相同”这一等量关系，列出对应方程，最后匹配选项即可。
【解析】
设原来每天生产$x$万个口罩，因为现在每天少生产4万个，所以现在每天生产$(x-4)$万个口罩。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
原来生产100万个口罩所需时间为$\frac{100}{x}$天；
现在生产60万个口罩所需时间为$\frac{60}{x-4}$天。
由于两者时间相同，因此可列方程：$\frac{60}{x-4}=\frac{100}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、列代数式
【点评】
本题考查分式方程实际应用的基础题型，核心是找准等量关系，正确表示两种生产情况的时间，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
本题是分式方程应用的基础题，解题思路为：先根据题意表示出现在的生产效率，再利用“工作时间=工作总量÷工作效率”，结合“现在生产60万个的时间与原来生产100万个的时间相同”这一等量关系，列出对应方程，最后匹配选项即可。
【解析】
设原来每天生产$x$万个口罩，因为现在每天少生产4万个，所以现在每天生产$(x-4)$万个口罩。
根据“工作时间=工作总量÷工作效率”：
原来生产100万个口罩所需时间为$\frac{100}{x}$天；
现在生产60万个口罩所需时间为$\frac{60}{x-4}$天。
由于两者时间相同，因此可列方程：$\frac{60}{x-4}=\frac{100}{x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、列代数式
【点评】
本题考查分式方程实际应用的基础题型，核心是找准等量关系，正确表示两种生产情况的时间，难度较低，属于易得分题。
【难度系数】
0.7
5. 解分式方程 $1-\dfrac{1}{3x-1}=-\dfrac{5}{2-6x}$ 时，去分母变形正确的是 ………………………………………（
A.$2-6x+2=-5$
B.$6x-2-2=-5$
C.$2-6x-1=5$
D.$6x-2+1=5$
A
）A.$2-6x+2=-5$
B.$6x-2-2=-5$
C.$2-6x-1=5$
D.$6x-2+1=5$
答案
5.A
解析
【分析】
解分式方程去分母时，需先确定最简公分母，同时注意分母的符号变形，且方程的每一项都要乘以最简公分母，避免漏乘或符号错误。本题中，观察分母$3x-1$和$2-6x$，可将$2-6x$变形为$-2(3x-1)$，因此选择最简公分母为$(2-6x)$，方程两边同乘该公分母，即可得到去分母后的式子，再与选项对比得出答案。
【解析】
原方程为$1-\dfrac{1}{3x-1}=-\dfrac{5}{2-6x}$，先将分母$2-6x$变形为$-2(3x-1)$，确定最简公分母为$(2-6x)$。
方程两边同时乘以$(2-6x)$，每一项均需乘该公分母：
左边第一项：$1×(2-6x)=2-6x$；
左边第二项：$-\dfrac{1}{3x-1}×(2-6x)=-\dfrac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)]=2$；
右边：$-\dfrac{5}{2-6x}×(2-6x)=-5$；
因此去分母后变形为$2-6x+2=-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程去分母的基础变形，核心是正确处理分母符号、避免漏乘，属于分式方程的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
解分式方程去分母时，需先确定最简公分母，同时注意分母的符号变形，且方程的每一项都要乘以最简公分母，避免漏乘或符号错误。本题中，观察分母$3x-1$和$2-6x$，可将$2-6x$变形为$-2(3x-1)$，因此选择最简公分母为$(2-6x)$，方程两边同乘该公分母，即可得到去分母后的式子，再与选项对比得出答案。
【解析】
原方程为$1-\dfrac{1}{3x-1}=-\dfrac{5}{2-6x}$，先将分母$2-6x$变形为$-2(3x-1)$，确定最简公分母为$(2-6x)$。
方程两边同时乘以$(2-6x)$，每一项均需乘该公分母：
左边第一项：$1×(2-6x)=2-6x$；
左边第二项：$-\dfrac{1}{3x-1}×(2-6x)=-\dfrac{1}{3x-1}×[-2(3x-1)]=2$；
右边：$-\dfrac{5}{2-6x}×(2-6x)=-5$；
因此去分母后变形为$2-6x+2=-5$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母、解分式方程
【点评】
本题考查分式方程去分母的基础变形，核心是正确处理分母符号、避免漏乘，属于分式方程的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
6.若分式$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，则分式$\frac{4x + 5xy - 4y}{x - 3xy - y}$的值等于 ………………………………………（
A.$-\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$-\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
B
）A.$-\frac{3}{5}$
B.$\frac{3}{5}$
C.$-\frac{4}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
6.B
解析
【分析】首先对已知等式$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$通分化简，得到$x-y$与$xy$的关系；再将所求分式的分子、分母整理为含$x-y$和$xy$的形式，最后代入关系约分计算即可。
【解析】
1. 化简已知条件：
对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$通分，得$\frac{y-x}{xy}=2$，即$y-x=2xy$，变形为$x-y=-2xy$（$xy≠0$，否则原分式无意义）。
2. 整理所求分式：
分子：$4x+5xy-4y=4(x-y)+5xy$；
分母：$x-3xy-y=(x-y)-3xy$。
3. 代入计算：
将$x-y=-2xy$代入，
分子：$4×(-2xy)+5xy=-8xy+5xy=-3xy$；
分母：$-2xy-3xy=-5xy$；
则原式$=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$（$xy≠0$，可约去）。
【答案】B
【知识点】分式化简求值、通分变形
【点评】本题通过整体变形已知条件，将所求分式转化为用$x-y$和$xy$表示的形式，避免单独求解$x$、$y$，简化了运算过程。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 化简已知条件：
对$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=2$通分，得$\frac{y-x}{xy}=2$，即$y-x=2xy$，变形为$x-y=-2xy$（$xy≠0$，否则原分式无意义）。
2. 整理所求分式：
分子：$4x+5xy-4y=4(x-y)+5xy$；
分母：$x-3xy-y=(x-y)-3xy$。
3. 代入计算：
将$x-y=-2xy$代入，
分子：$4×(-2xy)+5xy=-8xy+5xy=-3xy$；
分母：$-2xy-3xy=-5xy$；
则原式$=\frac{-3xy}{-5xy}=\frac{3}{5}$（$xy≠0$，可约去）。
【答案】B
【知识点】分式化简求值、通分变形
【点评】本题通过整体变形已知条件，将所求分式转化为用$x-y$和$xy$表示的形式，避免单独求解$x$、$y$，简化了运算过程。
【难度系数】0.5
7.(2024·丽水莲都、缙云)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱。根据题意可列方程$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，其中$x$表示………………………………………………（
A.剩余椽的数量
B.剩余椽的运费
C.这批椽的数量
D.每株椽的价钱
C
）A.剩余椽的数量
B.剩余椽的运费
C.这批椽的数量
D.每株椽的价钱
答案
7.C
解析
【分析】
要确定未知数x的意义，需梳理题目中各量的对应关系：设x为某一数量，少拿1株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，结合每株运费3文，可得剩余椽的总运费为$3(x-1)$文；这批椽总价钱6210文，因此每株椽的价钱为$\frac{6210}{x}$文。题目明确“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，对应方程$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，由此可确定x的实际意义。
【解析】
根据题意分析各量与x的关系：
1. 若x表示这批椽的数量，则少拿1株后，剩余椽的数量为$(x-1)$株；
2. 每株椽运费3文，因此剩余椽的总运费为$3(x-1)$文；
3. 这批椽总价钱6210文，因此每株椽的价钱为$\frac{6210}{x}$文；
4. 由“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，与题目给出的方程一致，故x表示这批椽的数量。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、实际问题的量的分析
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查分式方程在实际问题中的应用，核心是理清各量的对应关系，明确未知数的实际意义，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要确定未知数x的意义，需梳理题目中各量的对应关系：设x为某一数量，少拿1株椽后，剩余椽的数量为$(x-1)$株，结合每株运费3文，可得剩余椽的总运费为$3(x-1)$文；这批椽总价钱6210文，因此每株椽的价钱为$\frac{6210}{x}$文。题目明确“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，对应方程$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，由此可确定x的实际意义。
【解析】
根据题意分析各量与x的关系：
1. 若x表示这批椽的数量，则少拿1株后，剩余椽的数量为$(x-1)$株；
2. 每株椽运费3文，因此剩余椽的总运费为$3(x-1)$文；
3. 这批椽总价钱6210文，因此每株椽的价钱为$\frac{6210}{x}$文；
4. 由“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程$3(x-1)=\frac{6210}{x}$，与题目给出的方程一致，故x表示这批椽的数量。
【答案】
C
【知识点】
分式方程的应用、实际问题的量的分析
【点评】
本题以古代数学问题为背景，考查分式方程在实际问题中的应用，核心是理清各量的对应关系，明确未知数的实际意义，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
8. 如图,甲、乙两位同学玩数字游戏,甲同学提供 $ m $ 和 $ n $ 两个数值,乙同学根据 $ m,n $ 的情况求出 $ x $ 的值,由图可知本轮游戏 $ x $ 的值为 …………………………………………………（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.B
解析
【分析】首先根据题目给出的m=3、n=1，比较两者大小确定适用的公式；再将m、n的值代入对应公式，解分式方程求出x，最后验证解的合理性。
【解析】已知m=3，n=1，因为3＞1，所以选用公式$\frac{2}{x - n}=m - n$，代入得：
$\frac{2}{x - 1}=3 - 1=2$
两边同乘$(x - 1)$得：$2=2(x - 1)$
两边除以2得：$1=x - 1$
移项解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x - 1=1≠0$，故$x=2$是原方程的解。
【答案】B
【知识点】分式方程、代数式求值
【点评】本题需先判断m与n的大小关系选对应公式，再正确解分式方程并检验，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】已知m=3，n=1，因为3＞1，所以选用公式$\frac{2}{x - n}=m - n$，代入得：
$\frac{2}{x - 1}=3 - 1=2$
两边同乘$(x - 1)$得：$2=2(x - 1)$
两边除以2得：$1=x - 1$
移项解得：$x=2$
检验：当$x=2$时，分母$x - 1=1≠0$，故$x=2$是原方程的解。
【答案】B
【知识点】分式方程、代数式求值
【点评】本题需先判断m与n的大小关系选对应公式，再正确解分式方程并检验，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
