登录
11.(2024·杭州上城)一段路程分为平路和上坡两段,平路和上坡的路程之比为2:1,总路程为S,汽车在平路和上坡的速度分别为$v_1,v_2$,总用时可表示为$t=\frac{2S}{3v_1}+\frac{S}{3v_2}$,把这个公式变形为已知$v_1$,$v_2$,$t$,求$S$,可得$S=\underline{\hspace{3em}}$。
答案
$\frac{3v_1v_2t}{2v_2+v_1}$
解析
【分析】本题是含字母系数的方程变形问题，解题思路是将给定公式看作关于S的一元一次方程，先合并右边含S的同类项，再通过通分计算系数，最后将S的系数化为1，从而得到S的表达式。
【解析】已知公式为 $ t = \frac{2S}{3v_1} + \frac{S}{3v_2} $，对右边提取公因式S得：
$ t = S( \frac{2}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} ) $
对括号内的分式通分求和：
$ \frac{2}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} = \frac{2v_2 + v_1}{3v_1v_2} $
代入原式得：
$ t = S · \frac{2v_2 + v_1}{3v_1v_2} $
两边同时乘以 $ \frac{3v_1v_2}{2v_2 + v_1} $，系数化为1得：
$ S = \frac{3v_1v_2 t}{2v_2 + v_1} $
【答案】$\frac{3v_1v_2t}{2v_2+v_1}$
【知识点】分式运算、方程变形
【点评】本题考查含字母系数的方程变形，核心是分式的通分与合并，属于基础代数运算题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】已知公式为 $ t = \frac{2S}{3v_1} + \frac{S}{3v_2} $，对右边提取公因式S得：
$ t = S( \frac{2}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} ) $
对括号内的分式通分求和：
$ \frac{2}{3v_1} + \frac{1}{3v_2} = \frac{2v_2 + v_1}{3v_1v_2} $
代入原式得：
$ t = S · \frac{2v_2 + v_1}{3v_1v_2} $
两边同时乘以 $ \frac{3v_1v_2}{2v_2 + v_1} $，系数化为1得：
$ S = \frac{3v_1v_2 t}{2v_2 + v_1} $
【答案】$\frac{3v_1v_2t}{2v_2+v_1}$
【知识点】分式运算、方程变形
【点评】本题考查含字母系数的方程变形，核心是分式的通分与合并，属于基础代数运算题，难度适中。
【难度系数】0.7
12.(2024·绍兴柯桥)若分式方程$\frac{4}{(x+1)(x-1)} - \frac{a}{x-1}=1$有增根,则它的增根是
$x=1$
。答案
解析:去分母,得$4-a(x+1)=(x+1)(x-1)$,由分式方程有增根,得到$x+1=0$或$x-1=0$,即$x=-1$或$x=1$,把$x=-1$代入整式方程,可得$4=0$,此式不成立,所以$x=-1$不是原分式方程的增根,所以它的增根是$x=1$。
解析
【分析】
要解决分式方程增根的问题，需明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母为0，导致原分式无意义。解题思路如下：
1. 先找出原分式方程中所有分母，令分母为0，得到可能的增根候选值；
2. 将分式方程两边同乘最简公分母，去分母转化为整式方程；
3. 把候选的增根分别代入整式方程，若能使整式方程成立，则该候选值就是原方程的增根，反之则不是。
【解析】
原分式方程的分母为$(x+1)(x-1)$和$x-1$，令分母为0，可得$x+1=0$或$x-1=0$，即可能的增根为$x=-1$或$x=1$。
将原方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$去分母，得整式方程：$4 - a(x+1) = (x+1)(x-1)$。
分别代入候选增根验证：
当$x=-1$时，代入整式方程左边：$4 - a(-1+1)=4$，右边：$(-1+1)(-1-1)=0$，左边≠右边，故$x=-1$不是增根；
当$x=1$时，代入整式方程左边：$4 - a(1+1)=4-2a$，右边：$(1+1)(1-1)=0$，此时整式方程成立，故$x=1$是原分式方程的增根。
【答案】
$x=1$
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题核心考查分式方程增根的概念，需牢记增根的两个关键特征：一是使原分式分母为0，二是满足去分母后的整式方程，解题时需对候选增根逐一验证，避免错误判断。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程增根的问题，需明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但该根会使原分式方程的分母为0，导致原分式无意义。解题思路如下：
1. 先找出原分式方程中所有分母，令分母为0，得到可能的增根候选值；
2. 将分式方程两边同乘最简公分母，去分母转化为整式方程；
3. 把候选的增根分别代入整式方程，若能使整式方程成立，则该候选值就是原方程的增根，反之则不是。
【解析】
原分式方程的分母为$(x+1)(x-1)$和$x-1$，令分母为0，可得$x+1=0$或$x-1=0$，即可能的增根为$x=-1$或$x=1$。
将原方程两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$去分母，得整式方程：$4 - a(x+1) = (x+1)(x-1)$。
分别代入候选增根验证：
当$x=-1$时，代入整式方程左边：$4 - a(-1+1)=4$，右边：$(-1+1)(-1-1)=0$，左边≠右边，故$x=-1$不是增根；
当$x=1$时，代入整式方程左边：$4 - a(1+1)=4-2a$，右边：$(1+1)(1-1)=0$，此时整式方程成立，故$x=1$是原分式方程的增根。
【答案】
$x=1$
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题核心考查分式方程增根的概念，需牢记增根的两个关键特征：一是使原分式分母为0，二是满足去分母后的整式方程，解题时需对候选增根逐一验证，避免错误判断。
【难度系数】
0.5
三、解答题
13.(2024·宁波市南三县)先化简$(x+2-\dfrac{5}{x-2})÷\dfrac{2x-6}{x-2}$，然后在2,3,4中选择一个合适的值作为$x$的值并代入求值。
13.(2024·宁波市南三县)先化简$(x+2-\dfrac{5}{x-2})÷\dfrac{2x-6}{x-2}$，然后在2,3,4中选择一个合适的值作为$x$的值并代入求值。
答案
原式$=\frac{x+3}{2}$,$x$不能取2,3,所以当$x=4$时,原式$=\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}$。
解析
【分析】
要解决这道分式化简求值题，需按以下思路进行：第一步，对括号内的异分母分式加减运算通分，转化为同分母分式合并；第二步，将除法转化为乘法（乘以除式的倒数）；第三步，通过分解因式和约分得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母、除式均不为0）确定x的合适取值，代入计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x+2-\frac{5}{x-2})÷\frac{2x-6}{x-2}\\=&[\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2}]·\frac{x-2}{2(x-3)}\quad \mathrm{（通分，将除法转化为乘法）}\\=&\frac{x^2-4-5}{x-2}·\frac{x-2}{2(x-3)}\quad \mathrm{（计算分子，利用平方差公式）}\\=&\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x-2}{2(x-3)}\\=&\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x-2}{2(x-3)}\quad \mathrm{（分解因式）}\\=&\frac{x+3}{2}\quad \mathrm{（约分，得到最简结果）}\end{aligned}$
确定x的取值：要使原式有意义，需满足$x-2≠0$且$2x-6≠0$，即$x≠2$且$x≠3$，因此只能选择$x=4$。
将$x=4$代入化简后的式子：
$\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的化简、分式的求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通分、约分的正确运用，需注意分式有意义的条件（分母、除式均不为0），避免因忽略取值限制选错x的值，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道分式化简求值题，需按以下思路进行：第一步，对括号内的异分母分式加减运算通分，转化为同分母分式合并；第二步，将除法转化为乘法（乘以除式的倒数）；第三步，通过分解因式和约分得到最简结果；最后根据分式有意义的条件（分母、除式均不为0）确定x的合适取值，代入计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}&(x+2-\frac{5}{x-2})÷\frac{2x-6}{x-2}\\=&[\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}-\frac{5}{x-2}]·\frac{x-2}{2(x-3)}\quad \mathrm{（通分，将除法转化为乘法）}\\=&\frac{x^2-4-5}{x-2}·\frac{x-2}{2(x-3)}\quad \mathrm{（计算分子，利用平方差公式）}\\=&\frac{x^2-9}{x-2}·\frac{x-2}{2(x-3)}\\=&\frac{(x+3)(x-3)}{x-2}·\frac{x-2}{2(x-3)}\quad \mathrm{（分解因式）}\\=&\frac{x+3}{2}\quad \mathrm{（约分，得到最简结果）}\end{aligned}$
确定x的取值：要使原式有意义，需满足$x-2≠0$且$2x-6≠0$，即$x≠2$且$x≠3$，因此只能选择$x=4$。
将$x=4$代入化简后的式子：
$\frac{4+3}{2}=\frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
分式的化简、分式的求值
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通分、约分的正确运用，需注意分式有意义的条件（分母、除式均不为0），避免因忽略取值限制选错x的值，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
14.(2024·绍兴柯桥)如果两个分式$M$和$N$满足$M-N=k$($k$为整数),则称$M,N$为“兄弟分式”,整数$k$称$M$为$N$的“信度值”。如分式$M=\frac{2x}{x-1},N=\frac{2}{x-1}$,满足$M-N=\frac{2x}{x-1}-\frac{2}{x-1}=2$,则称$\frac{2x}{x-1},\frac{2}{x-1}$为“兄弟分式”,整数$2$称$\frac{2x}{x-1}$为$\frac{2}{x-1}$的“信度值”。
(1)已知分式$M=\frac{3x+2}{x+2},N=\frac{x-2}{x+2}$,判断$M,N$是否为“兄弟分式”,若不是,说明理由;若是,请求出$M$为$N$的“信度值”$k$。
(2)已知$x,y$均为非零实数,分式$\frac{2x^2}{x^2-4y^2},\frac{x}{x+2y}$属于“兄弟分式”,且两个分式的“信度值”为$3$,求分式$\frac{2x-y}{x+2y}$的值。
(3)已知“兄弟分式”$M,N$,分式$M=\frac{P}{x^2-4}$为分式$N=\frac{2x}{x-2}$的“信度值”是$-2$。
①求$P$(用含$x$的代数式表示);
②若$M$的值为正整数,$x$为正整数,求$x$的值。
(1)已知分式$M=\frac{3x+2}{x+2},N=\frac{x-2}{x+2}$,判断$M,N$是否为“兄弟分式”,若不是,说明理由;若是,请求出$M$为$N$的“信度值”$k$。
(2)已知$x,y$均为非零实数,分式$\frac{2x^2}{x^2-4y^2},\frac{x}{x+2y}$属于“兄弟分式”,且两个分式的“信度值”为$3$,求分式$\frac{2x-y}{x+2y}$的值。
(3)已知“兄弟分式”$M,N$,分式$M=\frac{P}{x^2-4}$为分式$N=\frac{2x}{x-2}$的“信度值”是$-2$。
①求$P$(用含$x$的代数式表示);
②若$M$的值为正整数,$x$为正整数,求$x$的值。
答案
14.(1)因为$M-N=\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{3x+2-x+2}{x+2}=\frac{2x+4}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}=2$,所以$M,N$是“兄弟分式”,所以$M$为$N$的“信度值”$k=2$。(2)由题意,得$\frac{2x^2}{x^2-4y^2}-\frac{x}{x+2y}=3$,所以$\frac{2x^2}{(x+2y)(x-2y)}-\frac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}=3$,所以$2x^2-x(x-2y)=3(x+2y)(x-2y)$,所以$2x^2-x^2+2xy=3x^2-12y^2$,移项、合并同类项,得$x^2-xy-6y^2=0$,所以$(x+2y)(x-3y)=0$,因为$x+2y≠0$,所以$x-3y=0$,所以$x=3y$,所以$\frac{2x-y}{x+2y}=\frac{2×3y-y}{3y+2y}=\frac{5y}{5y}=1$。(3)①由题意,得$\frac{P}{x^2-4}-\frac{2x}{x-2}=-2$,所以$\frac{P}{x^2-4}-\frac{2x(x+2)}{x^2-4}=-2$,所以$P-2x(x+2)=-2(x^2-4)$,去括号,得$P-2x^2-4x=-2x^2+8$,移项、合并同类项,得$P=4x+8$。②由①得$P=4x+8$,所以$M=\frac{4x+8}{x^2-4}=\frac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{4}{x-2}$,因为$M$的值为正整数,$x$为正整数,所以$x-2=1$或$x-2=2$或$x-2=4$,所以$x=3$或4或6。
解析
【分析】
首先明确“兄弟分式”的定义：若两个分式M、N满足M-N为整数k，则称它们为兄弟分式，k为信度值。解题时，每一问都需根据定义列出分式差的等式，通过分式通分、化简，结合题目给出的条件（如分母不为0、x为正整数等）逐步推导求解。
【解析】
(1) 根据“兄弟分式”定义，计算M-N：
$M-N=\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{(3x+2)-(x-2)}{x+2}=\frac{2x+4}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}=2$
结果为整数，故M、N是“兄弟分式”，信度值k=2。
(2) 由题意，两个分式的信度值为3，即：
$\frac{2x^2}{x^2-4y^2}-\frac{x}{x+2y}=3$
对分母因式分解：$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，通分后：
$\frac{2x^2}{(x+2y)(x-2y)}-\frac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}=3$
分子相等：
$2x^2 - x(x-2y)=3(x+2y)(x-2y)$
展开化简：
$2x^2 -x^2 +2xy=3x^2 -12y^2 \implies x^2 +2xy=3x^2 -12y^2$
移项合并：
$2x^2 -2xy -12y^2=0 \implies x^2 -xy -6y^2=0$
因式分解：
$(x+2y)(x-3y)=0$
因x、y非零且$x+2y≠0$（分母不为0），故$x-3y=0 \implies x=3y$。代入所求分式：
$\frac{2x-y}{x+2y}=\frac{2×3y - y}{3y +2y}=\frac{5y}{5y}=1$
(3) ① 根据定义，M-N=-2，即：
$\frac{P}{x^2-4}-\frac{2x}{x-2}=-2$
分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，通分后：
$\frac{P}{(x+2)(x-2)}-\frac{2x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-2$
分子等式：
$P -2x(x+2)=-2(x^2-4)$
展开计算：
$P -2x^2 -4x=-2x^2 +8 \implies P=4x+8$
② 代入P得：
$M=\frac{4x+8}{x^2-4}=\frac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{4}{x-2}$
因M为正整数，x为正整数，故$x-2$是4的正约数，即$x-2=1,2,4$，解得$x=3,4,6$。
【答案】
(1) M、N是“兄弟分式”，信度值k=2；
(2) 分式的值为1；
(3) ① $P=4x+8$；② x的值为3、4、6。
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题为新定义题型，需先准确理解“兄弟分式”的定义，再结合分式通分、因式分解等代数运算解决问题，重点考察学生的阅读理解能力与代数运算能力，是分式章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
首先明确“兄弟分式”的定义：若两个分式M、N满足M-N为整数k，则称它们为兄弟分式，k为信度值。解题时，每一问都需根据定义列出分式差的等式，通过分式通分、化简，结合题目给出的条件（如分母不为0、x为正整数等）逐步推导求解。
【解析】
(1) 根据“兄弟分式”定义，计算M-N：
$M-N=\frac{3x+2}{x+2}-\frac{x-2}{x+2}=\frac{(3x+2)-(x-2)}{x+2}=\frac{2x+4}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}=2$
结果为整数，故M、N是“兄弟分式”，信度值k=2。
(2) 由题意，两个分式的信度值为3，即：
$\frac{2x^2}{x^2-4y^2}-\frac{x}{x+2y}=3$
对分母因式分解：$x^2-4y^2=(x+2y)(x-2y)$，通分后：
$\frac{2x^2}{(x+2y)(x-2y)}-\frac{x(x-2y)}{(x+2y)(x-2y)}=3$
分子相等：
$2x^2 - x(x-2y)=3(x+2y)(x-2y)$
展开化简：
$2x^2 -x^2 +2xy=3x^2 -12y^2 \implies x^2 +2xy=3x^2 -12y^2$
移项合并：
$2x^2 -2xy -12y^2=0 \implies x^2 -xy -6y^2=0$
因式分解：
$(x+2y)(x-3y)=0$
因x、y非零且$x+2y≠0$（分母不为0），故$x-3y=0 \implies x=3y$。代入所求分式：
$\frac{2x-y}{x+2y}=\frac{2×3y - y}{3y +2y}=\frac{5y}{5y}=1$
(3) ① 根据定义，M-N=-2，即：
$\frac{P}{x^2-4}-\frac{2x}{x-2}=-2$
分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，通分后：
$\frac{P}{(x+2)(x-2)}-\frac{2x(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-2$
分子等式：
$P -2x(x+2)=-2(x^2-4)$
展开计算：
$P -2x^2 -4x=-2x^2 +8 \implies P=4x+8$
② 代入P得：
$M=\frac{4x+8}{x^2-4}=\frac{4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{4}{x-2}$
因M为正整数，x为正整数，故$x-2$是4的正约数，即$x-2=1,2,4$，解得$x=3,4,6$。
【答案】
(1) M、N是“兄弟分式”，信度值k=2；
(2) 分式的值为1；
(3) ① $P=4x+8$；② x的值为3、4、6。
【知识点】
分式的加减运算、因式分解、分式化简求值
【点评】
本题为新定义题型，需先准确理解“兄弟分式”的定义，再结合分式通分、因式分解等代数运算解决问题，重点考察学生的阅读理解能力与代数运算能力，是分式章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6
