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9. 已知点A,B在数轴上且点A在点B的右侧,它们所对应的数分别是$\frac{6}{x-2}$和$\frac{x-1}{2-x}$,若AB的长为整数,则整数$x$的值为 …………………………………………………………………………………………（
A.1
B.9
C.3或9
D.1或7
C
）A.1
B.9
C.3或9
D.1或7
答案
9.C 解析:因为在数轴上点 A,B 所对应的数分别是$\frac{6}{x-2}$和$\frac{x-1}{2-x}$,且点 A 在点 B 的右侧,所以 $AB=\frac{6}{x-2}-\frac{x-1}{2-x}=\frac{6}{x-2}+\frac{x-1}{x-2}=\frac{x-5}{x-2}=\frac{x-2+7}{x-2}=1+\frac{7}{x-2}$,因为 AB 的长为整数,所以$x=3$或 9。故选 C。
解析
【分析】
首先根据数轴上点的位置关系，点A在点B右侧，因此AB的长度等于A对应的数减去B对应的数；接着将B对应的分式转化为同分母分式，化简AB的表达式；再结合AB为整数的条件，确定x-2是7的因数，最后根据点A在右侧的要求筛选出符合条件的整数x。
【解析】
解：因为点A在点B的右侧，所以AB的长度 = A对应的数 - B对应的数，即：
AB = $\frac{6}{x-2} - \frac{x-1}{2-x}$
将$\frac{x-1}{2-x}$变形为同分母分式：$\frac{x-1}{2-x} = -\frac{x-1}{x-2}$，因此：
AB = $\frac{6}{x-2} - (-\frac{x-1}{x-2}) = \frac{6 + x -1}{x-2} = \frac{x+5}{x-2}$
对分式拆分变形：$\frac{x+5}{x-2} = \frac{(x-2)+7}{x-2} = 1 + \frac{7}{x-2}$
因为AB的长为整数，所以$\frac{7}{x-2}$必须为整数，即$x-2$是7的因数，7的因数为±1、±7，因此：
$x-2=1$→$x=3$；$x-2=7$→$x=9$；$x-2=-1$→$x=1$；$x-2=-7$→$x=-5$；
又因为点A在点B的右侧，需验证：
$x=1$时，A对应数为-6，B对应数为0，A在左侧，不符合；
$x=-5$时，A、B对应数均为$-\frac{6}{7}$，重合，不符合；
$x=3$时，A对应数为6，B对应数为-2，A在右侧，AB=8（整数），符合；
$x=9$时，A对应数为$\frac{6}{7}$，B对应数为$-\frac{8}{7}$，A在右侧，AB=2（整数），符合；
故整数x的值为3或9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
数轴上的距离计算、分式化简
【点评】
本题结合数轴位置考查分式化简与整数性质，核心是利用“右侧点对应数更大”确定AB的表达式，需注意筛选符合位置要求的解，避免遗漏或错误。
【难度系数】
0.5
首先根据数轴上点的位置关系，点A在点B右侧，因此AB的长度等于A对应的数减去B对应的数；接着将B对应的分式转化为同分母分式，化简AB的表达式；再结合AB为整数的条件，确定x-2是7的因数，最后根据点A在右侧的要求筛选出符合条件的整数x。
【解析】
解：因为点A在点B的右侧，所以AB的长度 = A对应的数 - B对应的数，即：
AB = $\frac{6}{x-2} - \frac{x-1}{2-x}$
将$\frac{x-1}{2-x}$变形为同分母分式：$\frac{x-1}{2-x} = -\frac{x-1}{x-2}$，因此：
AB = $\frac{6}{x-2} - (-\frac{x-1}{x-2}) = \frac{6 + x -1}{x-2} = \frac{x+5}{x-2}$
对分式拆分变形：$\frac{x+5}{x-2} = \frac{(x-2)+7}{x-2} = 1 + \frac{7}{x-2}$
因为AB的长为整数，所以$\frac{7}{x-2}$必须为整数，即$x-2$是7的因数，7的因数为±1、±7，因此：
$x-2=1$→$x=3$；$x-2=7$→$x=9$；$x-2=-1$→$x=1$；$x-2=-7$→$x=-5$；
又因为点A在点B的右侧，需验证：
$x=1$时，A对应数为-6，B对应数为0，A在左侧，不符合；
$x=-5$时，A、B对应数均为$-\frac{6}{7}$，重合，不符合；
$x=3$时，A对应数为6，B对应数为-2，A在右侧，AB=8（整数），符合；
$x=9$时，A对应数为$\frac{6}{7}$，B对应数为$-\frac{8}{7}$，A在右侧，AB=2（整数），符合；
故整数x的值为3或9，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
数轴上的距离计算、分式化简
【点评】
本题结合数轴位置考查分式化简与整数性质，核心是利用“右侧点对应数更大”确定AB的表达式，需注意筛选符合位置要求的解，避免遗漏或错误。
【难度系数】
0.5
10.已知$a,b$为实数且满足$a≠-1,b≠-1$，设$M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1},N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$，则下列两个结论
……………………………………………………………………………………………………（
①$ab=1$时，$M=N$，$ab＞1$时，$M＞N$；$ab＜1$时，$M＜N$；②若$a+b=0$，则$M· N≤0$。
A.①②都对
B.①对②错
C.①错②对
D.①②都错
……………………………………………………………………………………………………（
C
）①$ab=1$时，$M=N$，$ab＞1$时，$M＞N$；$ab＜1$时，$M＜N$；②若$a+b=0$，则$M· N≤0$。
A.①②都对
B.①对②错
C.①错②对
D.①②都错
答案
10.C 解析:因为 $M=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1},N=\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}$,所以 $M-N=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}=\frac{2ab-2}{(a+1)(b+1)}$,①当 $ab=1$时，$M-N=0$,所以 $M=N$,当 $ab＞1$ 时,所以 $2ab＞2$,所以 $2ab-2＞0$,$a,b$ 可能同正或同负,$(a+1)(b+1)＞0$ 或 $(a+1)(b+1)＜0$,所以 $M-N＞0$ 或 $M-N＜0$,所以 $M＞N$ 或 $M＜N$;当$ab＜1$时,$a,b$ 可能同号,也可能异号,所以$(a+1)(b+1)＞0$ 或$(a+1)(b+1)＜0$,因为 $2ab-2＜0$,所以 $M＞N$ 或 $M＜N$;所以①不正确;②$M· N=(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})· (\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^2}$,因为 $a+b=0$,所以原式$=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{a(b+1)^2+b(a+1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2}=\frac{4ab}{(a+1)^2(b+1)^2}$。因为 $a≠-1,b≠-1$,所以 $(a+1)^2(b+1)^2＞0$,因为 $a+b=0$,所以 $ab≤0$,$M· N≤0$。所以②对。故选 C。
解析
【分析】要判断两个结论的正确性，需通过作差法计算$M-N$，根据结果的符号分析$M$与$N$的大小关系；对于结论②，代入$a+b=0$的条件化简$M·N$，结合$ab$的取值范围判断符号。具体步骤：1. 通分化简$M-N$，得到关于$ab$和$(a+1)(b+1)$的表达式；2. 分情况讨论$ab=1$、$ab＞1$、$ab＜1$时$M-N$的符号，判断结论①；3. 计算$M·N$，代入$a+b=0$化简，结合$ab≤0$判断$M·N$的符号，判断结论②；4. 综合两个结论的对错，选出正确选项。
【解析】
1. 计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\\&=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}\\&=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{ab+a-b-1+ab+b-a-1}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{2ab-2}{(a+1)(b+1)}\end{aligned}$
分析结论①：
当$ab=1$时，分子$2ab-2=0$，故$M-N=0$，即$M=N$；
当$ab＞1$时，分子$2ab-2＞0$，但$(a+1)(b+1)$的符号不确定（如$a=-0.5,b=-3$时，$ab=1.5＞1$，$(a+1)(b+1)=-1＜0$，此时$M-N=-1＜0$，即$M＜N$），故$ab＞1$时$M$不一定大于$N$；
当$ab＜1$时，分子$2ab-2＜0$，$(a+1)(b+1)$符号仍不确定，故$M$与$N$大小关系不确定；因此结论①错误。
2. 计算$M·N$并分析结论②：
$\begin{aligned}M·N&=(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\\&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^2}\end{aligned}$
因为$a+b=0$，代入得：
$M·N=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{a(b+1)^2+b(a+1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2}$
展开分子：$a(b²+2b+1)+b(a²+2a+1)=ab²+2ab+a+ba²+2ab+b=ab(a+b)+4ab+(a+b)$，因$a+b=0$，故分子化简为$4ab$，即：
$M·N=\frac{4ab}{(a+1)^2(b+1)^2}$
又$a+b=0$，则$b=-a$，故$ab=-a²≤0$；且$a≠-1,b≠-1$，则$(a+1)^2(b+1)^2＞0$，因此$M·N≤0$，结论②正确。
综上，①错②对，故选C。
【答案】C
【知识点】分式运算、代数式化简、不等式判断
【点评】本题通过作差法比较分式大小，代入条件化简代数式，考查分式通分、化简及符号判断，需注意分析$(a+1)(b+1)$的符号变化，易因忽略符号导致结论错误，是一道中等难度的代数综合题。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}-(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\\&=\frac{a-1}{a+1}+\frac{b-1}{b+1}\\&=\frac{(a-1)(b+1)+(b-1)(a+1)}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{ab+a-b-1+ab+b-a-1}{(a+1)(b+1)}\\&=\frac{2ab-2}{(a+1)(b+1)}\end{aligned}$
分析结论①：
当$ab=1$时，分子$2ab-2=0$，故$M-N=0$，即$M=N$；
当$ab＞1$时，分子$2ab-2＞0$，但$(a+1)(b+1)$的符号不确定（如$a=-0.5,b=-3$时，$ab=1.5＞1$，$(a+1)(b+1)=-1＜0$，此时$M-N=-1＜0$，即$M＜N$），故$ab＞1$时$M$不一定大于$N$；
当$ab＜1$时，分子$2ab-2＜0$，$(a+1)(b+1)$符号仍不确定，故$M$与$N$大小关系不确定；因此结论①错误。
2. 计算$M·N$并分析结论②：
$\begin{aligned}M·N&=(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1})(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1})\\&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+b}{(a+1)(b+1)}+\frac{b}{(b+1)^2}\end{aligned}$
因为$a+b=0$，代入得：
$M·N=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{b}{(b+1)^2}=\frac{a(b+1)^2+b(a+1)^2}{(a+1)^2(b+1)^2}$
展开分子：$a(b²+2b+1)+b(a²+2a+1)=ab²+2ab+a+ba²+2ab+b=ab(a+b)+4ab+(a+b)$，因$a+b=0$，故分子化简为$4ab$，即：
$M·N=\frac{4ab}{(a+1)^2(b+1)^2}$
又$a+b=0$，则$b=-a$，故$ab=-a²≤0$；且$a≠-1,b≠-1$，则$(a+1)^2(b+1)^2＞0$，因此$M·N≤0$，结论②正确。
综上，①错②对，故选C。
【答案】C
【知识点】分式运算、代数式化简、不等式判断
【点评】本题通过作差法比较分式大小，代入条件化简代数式，考查分式通分、化简及符号判断，需注意分析$(a+1)(b+1)$的符号变化，易因忽略符号导致结论错误，是一道中等难度的代数综合题。
【难度系数】0.5
二、填空题(每题4分,共24分)
11.(2024·衢州开化、江山)若分式$\frac{3}{m-2}$有意义,则实数$m$的取值范围是
11.(2024·衢州开化、江山)若分式$\frac{3}{m-2}$有意义,则实数$m$的取值范围是
$m≠2$
。答案
11.$m≠2$
解析
【分析】要确定分式有意义时实数m的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此对于给定的分式$\frac{3}{m-2}$，只需保证其分母$m-2≠0$，解该不等式就能得到m的取值范围。
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，所以对于分式$\frac{3}{m-2}$，可列不等式：$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
【答案】$m≠2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的条件，属于基础题型，直接考查分式的基本性质，学生只需掌握核心知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】分式有意义的条件是分母不为0，所以对于分式$\frac{3}{m-2}$，可列不等式：$m - 2 ≠ 0$，解得$m ≠ 2$。
【答案】$m≠2$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的条件，属于基础题型，直接考查分式的基本性质，学生只需掌握核心知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
12.(2024·丽水莲都、缙云)分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，则$x=$
3
。答案
12.3
解析
【分析】要解决“分式的值为零”的问题，需牢记分式值为零的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件必须同时成立，缺一不可。解题时先令分子为0，解出可能的x值，再代入分母检验，排除使分母为0的x，剩余的即为正确答案。
【解析】
解：分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，需同时满足：
1. 分子为0：$x^2 - 9 = 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 3) = 0$，
解得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不为0：$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$。
综上，同时满足两个条件的$x$值为$x = 3$。
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件，平方差公式
【点评】本题考查分式值为零的核心知识点，易错点是忽略“分母不为零”的限制，需学生明确分式有意义与值为零的区别，属于基础题型。
【难度系数】0.4
【解析】
解：分式$\frac{x^2 - 9}{x + 3}$的值为零，需同时满足：
1. 分子为0：$x^2 - 9 = 0$，
因式分解得$(x + 3)(x - 3) = 0$，
解得$x = 3$或$x = -3$；
2. 分母不为0：$x + 3 ≠ 0$，即$x ≠ -3$。
综上，同时满足两个条件的$x$值为$x = 3$。
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件，平方差公式
【点评】本题考查分式值为零的核心知识点，易错点是忽略“分母不为零”的限制，需学生明确分式有意义与值为零的区别，属于基础题型。
【难度系数】0.4
13. 已知$\dfrac{3x-2}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{M}{x-1}-\dfrac{N}{x+2}$，其中$M,N$是常数，则$M-2N=$______。
答案
13.$\frac{17}{3}$
解析
【分析】
本题是分式拆分问题，需利用分式通分将等式右边合并，再根据分子对应项系数相等建立方程组，求出常数M、N后计算M-2N的值。解题思路：先对等式右边通分，结合左右分母相同得分子相等，整理后通过同类项系数对应相等列方程组，解出M、N后代入目标式计算。
【解析】
对等式右边通分：
$\frac{M}{x-1}-\frac{N}{x+2}=\frac{M(x+2)-N(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
因左右两边分母相同，故分子相等：
$3x - 2 = M(x+2) - N(x-1)$
展开右边并整理：
$3x - 2 = (M - N)x + (2M + N)$
根据同类项系数相等，得方程组：
$\begin{cases} M - N = 3 \\ 2M + N = -2 \end{cases}$
解方程组：两式相加得$3M=1$，即$M=\frac{1}{3}$；代入$M - N=3$，得$N=\frac{1}{3}-3=-\frac{8}{3}$。
计算$M-2N$：
$M-2N=\frac{1}{3}-2×(-\frac{8}{3})=\frac{1}{3}+\frac{16}{3}=\frac{17}{3}$
【答案】
$\frac{17}{3}$
【知识点】
分式通分、待定系数法、二元一次方程组
【点评】
本题考查分式运算中的待定系数法应用，核心是利用通分后分子对应相等建立方程，计算时需注意系数对应关系，属于分式基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是分式拆分问题，需利用分式通分将等式右边合并，再根据分子对应项系数相等建立方程组，求出常数M、N后计算M-2N的值。解题思路：先对等式右边通分，结合左右分母相同得分子相等，整理后通过同类项系数对应相等列方程组，解出M、N后代入目标式计算。
【解析】
对等式右边通分：
$\frac{M}{x-1}-\frac{N}{x+2}=\frac{M(x+2)-N(x-1)}{(x-1)(x+2)}$
因左右两边分母相同，故分子相等：
$3x - 2 = M(x+2) - N(x-1)$
展开右边并整理：
$3x - 2 = (M - N)x + (2M + N)$
根据同类项系数相等，得方程组：
$\begin{cases} M - N = 3 \\ 2M + N = -2 \end{cases}$
解方程组：两式相加得$3M=1$，即$M=\frac{1}{3}$；代入$M - N=3$，得$N=\frac{1}{3}-3=-\frac{8}{3}$。
计算$M-2N$：
$M-2N=\frac{1}{3}-2×(-\frac{8}{3})=\frac{1}{3}+\frac{16}{3}=\frac{17}{3}$
【答案】
$\frac{17}{3}$
【知识点】
分式通分、待定系数法、二元一次方程组
【点评】
本题考查分式运算中的待定系数法应用，核心是利用通分后分子对应相等建立方程，计算时需注意系数对应关系，属于分式基础应用题型，难度适中。
【难度系数】
0.5
14. 式子$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则二阶行列式$\begin{vmatrix} a^2 - a & 1 \\ a & \dfrac{1}{a^2 - 1} \end{vmatrix}=$______。
答案
14.$-\frac{a^2}{a+1}$
解析
【分析】首先明确二阶行列式的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，据此确定本题行列式中对应位置的元素，代入法则得到表达式，再通过因式分解、约分、通分等分式化简步骤计算结果。
【解析】根据二阶行列式的运算法则，得：
原式$=(a^2 - a) · \frac{1}{a^2 - 1} - 1 · a$
对分子分母因式分解：$a^2 - a = a(a - 1)$，$a^2 -1=(a-1)(a+1)$，代入得：
$=\frac{a(a -1)}{(a -1)(a +1)} - a$（$a≠±1$，分母不为0）
约去公因式$(a-1)$，得：
$=\frac{a}{a +1} - a$
通分计算：
$=\frac{a}{a +1} - \frac{a(a +1)}{a +1}$
$=\frac{a - a(a +1)}{a +1}$
展开分子并化简：
$=\frac{a - a^2 - a}{a +1} = \frac{-a^2}{a +1}$
【答案】$-\frac{a^2}{a+1}$
【知识点】二阶行列式运算、分式化简、因式分解
【点评】本题考查二阶行列式运算法则的应用及分式化简，关键是正确运用行列式法则列出表达式，再熟练进行因式分解和约分，注意隐含的分母不为0的条件，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
【解析】根据二阶行列式的运算法则，得：
原式$=(a^2 - a) · \frac{1}{a^2 - 1} - 1 · a$
对分子分母因式分解：$a^2 - a = a(a - 1)$，$a^2 -1=(a-1)(a+1)$，代入得：
$=\frac{a(a -1)}{(a -1)(a +1)} - a$（$a≠±1$，分母不为0）
约去公因式$(a-1)$，得：
$=\frac{a}{a +1} - a$
通分计算：
$=\frac{a}{a +1} - \frac{a(a +1)}{a +1}$
$=\frac{a - a(a +1)}{a +1}$
展开分子并化简：
$=\frac{a - a^2 - a}{a +1} = \frac{-a^2}{a +1}$
【答案】$-\frac{a^2}{a+1}$
【知识点】二阶行列式运算、分式化简、因式分解
【点评】本题考查二阶行列式运算法则的应用及分式化简，关键是正确运用行列式法则列出表达式，再熟练进行因式分解和约分，注意隐含的分母不为0的条件，属于基础运算题。
【难度系数】0.6
15.(2024·宁波余姚)已知关于x的方程$\frac{1}{x-2}+\frac{t}{x+2}=0$无解,则t的值是
16.若$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}$,则$\frac{2a+2b+c}{a+b-3c}=$
$-1$或$0$
。16.若$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}$,则$\frac{2a+2b+c}{a+b-3c}=$
$\frac{1}{4}$或$-5$
。答案
15.$-1$或$0$ 解析:去分母,得 $x+2+t(x-2)=0$,整理,得$(t+1)x=2t-2$,当 $t=-1$ 时,整式方程无解;当 $t≠-1$ 时,分式方程有增根 $x=-2$ 或 $x=2$。当 $x=-2$ 时,$-2+2+t(-2-2)=0$,解得 $t=0$;当 $x=2$ 时,$2+2+t(2-2)=0$,此情况不存在。综上所述,$t$ 的值是$-1$ 或 $0$。故答案为$-1$ 或 $0$。
16.$\frac{1}{4}$或$-5$ 解析:设$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$,则 $a=k(b+c),b=k(c+a),c=k(a+b)$,$a+b+c=2k(a+b+c)$。当 $a+b+c≠0$时,$k=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$,即 $c=\frac{1}{2}(a+b)$,代入原式$=\frac{2a+2b+\frac{1}{2}(a+b)}{a+b-\frac{3}{2}(a+b)}=-5$;当 $a+b+c=0$ 时,$c=-(a+b)$,代入原式$=\frac{2a+2b-(a+b)}{a+b+3(a+b)}=\frac{1}{4}$。故答案为$\frac{1}{4}$或$-5$。
16.$\frac{1}{4}$或$-5$ 解析:设$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$,则 $a=k(b+c),b=k(c+a),c=k(a+b)$,$a+b+c=2k(a+b+c)$。当 $a+b+c≠0$时,$k=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}$,即 $c=\frac{1}{2}(a+b)$,代入原式$=\frac{2a+2b+\frac{1}{2}(a+b)}{a+b-\frac{3}{2}(a+b)}=-5$;当 $a+b+c=0$ 时,$c=-(a+b)$,代入原式$=\frac{2a+2b-(a+b)}{a+b+3(a+b)}=\frac{1}{4}$。故答案为$\frac{1}{4}$或$-5$。
解析
【分析】
15题思路：分式方程无解需考虑两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值）。先将分式方程去分母转化为整式方程，再分情况讨论t的取值。16题思路：对于连等的比例式，设比值为k，将a、b、c用k表示，结合等式变形得到a+b+c的关系，分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入所求式子计算，注意等比性质的适用条件（分母和不为0）。
【解析】
15题：原方程$\frac{1}{x-2}+\frac{t}{x+2}=0$，两边同乘最简公分母$(x-2)(x+2)$去分母，得$x+2 + t(x-2)=0$，整理为整式方程：$(t+1)x=2t-2$。
当$t+1=0$即$t=-1$时，整式方程变为$0·x=-4$，无解，故原分式方程无解；
当$t≠-1$时，整式方程的解为$x=\frac{2t-2}{t+1}$，原分式方程的增根为$x=2$或$x=-2$：
若$x=2$，代入整式方程得$2+2 + t(2-2)=4=0$，不成立，无解；
若$x=-2$，代入整式方程得$-2+2 + t(-2-2)=-4t=0$，解得$t=0$，此时解为增根，原方程无解。
综上，t的值为$-1$或$0$。
16题：设$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$，则$a=k(b+c)$，$b=k(c+a)$，$c=k(a+b)$，三式相加得$a+b+c=2k(a+b+c)$，整理为$(a+b+c)(1-2k)=0$，分两种情况：
若$a+b+c≠0$，则$1-2k=0$，即$k=\frac{1}{2}$，故$c=\frac{1}{2}(a+b)$，代入原式得：$\frac{2(a+b)+\frac{1}{2}(a+b)}{(a+b)-3×\frac{1}{2}(a+b)}=-5$；
若$a+b+c=0$，则$c=-(a+b)$，代入原式得：$\frac{2(a+b)-(a+b)}{(a+b)-3×(-(a+b))}=\frac{1}{4}$（$a+b≠0$，否则原式分母为0无意义）。
综上，所求值为$\frac{1}{4}$或$-5$。
【答案】
15.$-1$或$0$；16.$\frac{1}{4}$或$-5$
【知识点】
分式方程无解、比例的性质
【点评】
15题需明确分式方程无解的两种情形，易漏整式方程无解的情况；16题应用等比性质时需注意分母和不为0的前提，分情况讨论是解题关键，避免漏解。
【难度系数】
0.5
15题思路：分式方程无解需考虑两种情况：①去分母后得到的整式方程本身无解；②整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的x值）。先将分式方程去分母转化为整式方程，再分情况讨论t的取值。16题思路：对于连等的比例式，设比值为k，将a、b、c用k表示，结合等式变形得到a+b+c的关系，分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入所求式子计算，注意等比性质的适用条件（分母和不为0）。
【解析】
15题：原方程$\frac{1}{x-2}+\frac{t}{x+2}=0$，两边同乘最简公分母$(x-2)(x+2)$去分母，得$x+2 + t(x-2)=0$，整理为整式方程：$(t+1)x=2t-2$。
当$t+1=0$即$t=-1$时，整式方程变为$0·x=-4$，无解，故原分式方程无解；
当$t≠-1$时，整式方程的解为$x=\frac{2t-2}{t+1}$，原分式方程的增根为$x=2$或$x=-2$：
若$x=2$，代入整式方程得$2+2 + t(2-2)=4=0$，不成立，无解；
若$x=-2$，代入整式方程得$-2+2 + t(-2-2)=-4t=0$，解得$t=0$，此时解为增根，原方程无解。
综上，t的值为$-1$或$0$。
16题：设$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=k$，则$a=k(b+c)$，$b=k(c+a)$，$c=k(a+b)$，三式相加得$a+b+c=2k(a+b+c)$，整理为$(a+b+c)(1-2k)=0$，分两种情况：
若$a+b+c≠0$，则$1-2k=0$，即$k=\frac{1}{2}$，故$c=\frac{1}{2}(a+b)$，代入原式得：$\frac{2(a+b)+\frac{1}{2}(a+b)}{(a+b)-3×\frac{1}{2}(a+b)}=-5$；
若$a+b+c=0$，则$c=-(a+b)$，代入原式得：$\frac{2(a+b)-(a+b)}{(a+b)-3×(-(a+b))}=\frac{1}{4}$（$a+b≠0$，否则原式分母为0无意义）。
综上，所求值为$\frac{1}{4}$或$-5$。
【答案】
15.$-1$或$0$；16.$\frac{1}{4}$或$-5$
【知识点】
分式方程无解、比例的性质
【点评】
15题需明确分式方程无解的两种情形，易漏整式方程无解的情况；16题应用等比性质时需注意分母和不为0的前提，分情况讨论是解题关键，避免漏解。
【难度系数】
0.5
三、解答题(共56分)
17.(6分)解下列分式方程：
(1)$(2024·$绍兴越城、上虞$)\frac{2x-1}{x+6}=\frac{1}{3}$；
(2)$(2024·$宁波市南三县$)\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$。
17.(6分)解下列分式方程：
(1)$(2024·$绍兴越城、上虞$)\frac{2x-1}{x+6}=\frac{1}{3}$；
(2)$(2024·$宁波市南三县$)\frac{3-x}{x-4}+\frac{1}{4-x}=1$。
答案
17.(1)$x=\frac{9}{5}$。(2)$x=3$。
解析
【分析】解分式方程的核心是通过去分母将其转化为整式方程求解，具体步骤为：①确定各分母的最简公分母，方程两边同乘最简公分母消去分母，化为整式方程；②解该整式方程；③将整式方程的解代入原方程或最简公分母进行检验，排除使分母为0的增根。第(1)题的分母为$x+6$和$3$，最简公分母为$3(x+6)$；第(2)题中$4-x=-(x-4)$，分母统一为$x-4$，去分母时需注意符号变化。
【解析】(1) 去分母，两边同乘$3(x+6)$，得：$3(2x - 1) = x + 6$
展开得：$6x - 3 = x + 6$
移项合并同类项：$5x = 9$
解得：$x = \frac{9}{5}$
检验：当$x = \frac{9}{5}$时，$3(x+6)=3×(\frac{9}{5}+6)=\frac{117}{5}≠0$，故$x=\frac{9}{5}$是原方程的解。
(2) 原方程变形为：$\frac{3 - x}{x - 4} - \frac{1}{x - 4} = 1$
去分母，两边同乘$x - 4$，得：$3 - x - 1 = x - 4$
合并同类项：$2 - x = x - 4$
移项合并同类项：$-2x = -6$
解得：$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 4 = -1≠0$，故$x=3$是原方程的解。
【答案】(1)$x=\frac{9}{5}$；(2)$x=3$
【知识点】分式方程的解法，增根的检验
【点评】本题为分式方程的基础求解题，重点考查去分母时最简公分母的确定及符号处理，检验步骤是避免增根的关键，属于分式方程的常规应用，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】(1) 去分母，两边同乘$3(x+6)$，得：$3(2x - 1) = x + 6$
展开得：$6x - 3 = x + 6$
移项合并同类项：$5x = 9$
解得：$x = \frac{9}{5}$
检验：当$x = \frac{9}{5}$时，$3(x+6)=3×(\frac{9}{5}+6)=\frac{117}{5}≠0$，故$x=\frac{9}{5}$是原方程的解。
(2) 原方程变形为：$\frac{3 - x}{x - 4} - \frac{1}{x - 4} = 1$
去分母，两边同乘$x - 4$，得：$3 - x - 1 = x - 4$
合并同类项：$2 - x = x - 4$
移项合并同类项：$-2x = -6$
解得：$x = 3$
检验：当$x = 3$时，$x - 4 = -1≠0$，故$x=3$是原方程的解。
【答案】(1)$x=\frac{9}{5}$；(2)$x=3$
【知识点】分式方程的解法，增根的检验
【点评】本题为分式方程的基础求解题，重点考查去分母时最简公分母的确定及符号处理，检验步骤是避免增根的关键，属于分式方程的常规应用，难度适中。
【难度系数】0.7
18.(6分)(2024·金华浦江)已知分式方程$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$，框中是小明对该方程的解法，请判断他的解法正确与否，正确的在框内打√，错误的在框内打×，若解法错误，请给出正确解法。
小明:$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$。
解:去分母，得$2-x=1-2(x-3)$，
去括号，得$2-x=1-2x+6$，
化简，得$x=5$。
你的解法:
小明:$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$。
解:去分母，得$2-x=1-2(x-3)$，
去括号，得$2-x=1-2x+6$，
化简，得$x=5$。
你的解法:
答案
18. × 去分母,得 $2-x=-1-2(x-3)$,去括号,得 $2-x=-1-2x+6$,移项,得$x=-1+6-2$,化简,得 $x=3$,经检验,$x=3$是增根,所以原方程无解。
解析
【分析】
判断分式方程解法是否正确，需掌握分式方程的核心解法：去分母时要注意分母的符号变化（3-x与x-3互为相反数），且解分式方程后必须检验解是否使原分母为0（避免增根）。小明去分母时符号处理错误，且未检验解，因此解法错误。
【解析】
小明的解法错误，判断为×。
正确解法：
原方程：$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$
去分母（两边同乘最简公分母$x-3$），注意$\frac{1}{3-x} × (x-3) = -1$，得：
$2 - x = -1 - 2(x - 3)$
去括号：
$2 - x = -1 - 2x + 6$
移项、合并同类项：
$x = 3$
检验：将$x=3$代入原方程分母$x-3=0$，分母为0，$x=3$是增根，因此原分式方程无解。
【答案】
×；原方程无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的解法，核心易错点为去分母时的符号处理，以及解分式方程后必须检验解是否为增根，需强化符号意识和检验习惯。
【难度系数】
0.5
判断分式方程解法是否正确，需掌握分式方程的核心解法：去分母时要注意分母的符号变化（3-x与x-3互为相反数），且解分式方程后必须检验解是否使原分母为0（避免增根）。小明去分母时符号处理错误，且未检验解，因此解法错误。
【解析】
小明的解法错误，判断为×。
正确解法：
原方程：$\frac{2-x}{x-3}=\frac{1}{3-x}-2$
去分母（两边同乘最简公分母$x-3$），注意$\frac{1}{3-x} × (x-3) = -1$，得：
$2 - x = -1 - 2(x - 3)$
去括号：
$2 - x = -1 - 2x + 6$
移项、合并同类项：
$x = 3$
检验：将$x=3$代入原方程分母$x-3=0$，分母为0，$x=3$是增根，因此原分式方程无解。
【答案】
×；原方程无解
【知识点】
分式方程的解法；增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的解法，核心易错点为去分母时的符号处理，以及解分式方程后必须检验解是否为增根，需强化符号意识和检验习惯。
【难度系数】
0.5
