登录
19.(6分)(2024·湖州德清)先化简再求值:$(1-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x-2}{x^2-1}$,其中$x=-\dfrac{1}{5}$。
答案
19.原式$=x+1$,当 $x=-\frac{1}{5}$时,原式$=\frac{4}{5}$。
解析
【分析】
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，利用平方差公式对分母因式分解，通过约分得到最简分式，最后代入给定的x的值计算结果。
【解析】
原式$=(\dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x-2}{x^2-1}$
$=\dfrac{x-1-1}{x-1}÷\dfrac{x-2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-2}{x-1}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-2}$
$=x+1$
当$x=-\dfrac{1}{5}$时，原式$=-\dfrac{1}{5}+1=\dfrac{4}{5}$
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
分式化简求值、平方差公式
【点评】
本题考查分式的基本运算，步骤清晰，核心是通分、约分和因式分解的应用，属于分式部分的基础题型，学生只要掌握分式运算规则即可完成。
【难度系数】
0.8
本题是分式的化简求值题，解题思路为：先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，利用平方差公式对分母因式分解，通过约分得到最简分式，最后代入给定的x的值计算结果。
【解析】
原式$=(\dfrac{x-1}{x-1}-\dfrac{1}{x-1})÷\dfrac{x-2}{x^2-1}$
$=\dfrac{x-1-1}{x-1}÷\dfrac{x-2}{(x+1)(x-1)}$
$=\dfrac{x-2}{x-1}×\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-2}$
$=x+1$
当$x=-\dfrac{1}{5}$时，原式$=-\dfrac{1}{5}+1=\dfrac{4}{5}$
【答案】
$\dfrac{4}{5}$
【知识点】
分式化简求值、平方差公式
【点评】
本题考查分式的基本运算，步骤清晰，核心是通分、约分和因式分解的应用，属于分式部分的基础题型，学生只要掌握分式运算规则即可完成。
【难度系数】
0.8
20.(6 分)已知:公式$R=\frac{r_{1}· r_{2}}{r_{1}+r_{2}}$,其中$R≠r_{1}$,请用$R,r_{1}$表示$r_{2}$。
答案
20. 因为 $R=\frac{r_1· r_2}{r_1+r_2}$,所以 $R·(r_1+r_2)=r_1· r_2$,所以 $R· r_1+R· r_2=r_1· r_2$,所以 $R· r_2-r_1· r_2=-R· r_1$,所以 $r_2(R-r_1)=-R· r_1$,因为 $R≠r_1$,所以 $r_2=-\frac{R· r_1}{R-r_1}$。
解析
【分析】本题要求用已知的$R$和$r_1$表示$r_2$，解题思路是将$r_2$视为未知数，利用等式的基本性质逐步变形方程，通过去分母、移项、提取公因式、系数化为1等操作，结合题目给出的$R≠r_1$的条件（保证变形时分母不为0），最终得到$r_2$的表达式。
【解析】因为 $R=\frac{r_1· r_2}{r_1+r_2}$，根据等式的性质，两边同乘$(r_1 + r_2)$得：$R·(r_1 + r_2) = r_1· r_2$；
展开左边得：$R· r_1 + R· r_2 = r_1· r_2$；
将含$r_2$的项移到左边，其余项移到右边得：$R· r_2 - r_1· r_2 = -R· r_1$；
提取公因式$r_2$得：$r_2(R - r_1) = -R· r_1$；
因为题目给出$R≠r_1$，所以$R - r_1 ≠ 0$，两边同除以$(R - r_1)$得：$r_2 = -\frac{R· r_1}{R - r_1}$。
【答案】$r_2 = -\frac{R· r_1}{R - r_1}$
【知识点】等式的性质、代数式变形
【点评】本题考查利用等式性质对公式进行变形，属于基础题型，核心是掌握含字母方程的变形步骤，需注意题目给出的限制条件，避免分母为0的情况。
【难度系数】0.7
【解析】因为 $R=\frac{r_1· r_2}{r_1+r_2}$，根据等式的性质，两边同乘$(r_1 + r_2)$得：$R·(r_1 + r_2) = r_1· r_2$；
展开左边得：$R· r_1 + R· r_2 = r_1· r_2$；
将含$r_2$的项移到左边，其余项移到右边得：$R· r_2 - r_1· r_2 = -R· r_1$；
提取公因式$r_2$得：$r_2(R - r_1) = -R· r_1$；
因为题目给出$R≠r_1$，所以$R - r_1 ≠ 0$，两边同除以$(R - r_1)$得：$r_2 = -\frac{R· r_1}{R - r_1}$。
【答案】$r_2 = -\frac{R· r_1}{R - r_1}$
【知识点】等式的性质、代数式变形
【点评】本题考查利用等式性质对公式进行变形，属于基础题型，核心是掌握含字母方程的变形步骤，需注意题目给出的限制条件，避免分母为0的情况。
【难度系数】0.7
21.(8分)(2024·绍兴越城、上虞)某超市有甲、乙两种糖果,己知甲种糖果的进价为18元/千克,乙种糖果的进价为6元/千克,1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元。若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同。
(1)求甲、乙两种糖果的售价。
(2)为了促销,超市对甲种糖果进行九折销售。某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克,超市共获毛利80元。则共有几种购买方案?(注:糖果质量为正整数)
(1)求甲、乙两种糖果的售价。
(2)为了促销,超市对甲种糖果进行九折销售。某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克,超市共获毛利80元。则共有几种购买方案?(注:糖果质量为正整数)
答案
21.(1)设甲种糖果的售价为 $x$ 元,则乙种糖果的售价为$(x-20)$元。由题意得$\frac{150}{x}=\frac{50}{x-20}$。解得 $x=30$,经检验,$x=30$ 是原方程的解,且符合题意,所以 $x-20=10$。答:甲种糖果的售价为 30 元,乙种糖果的售价为 10 元。 (2)设购买甲种糖果$m$千克,购买乙种糖果 $n$ 千克。由题意得$(30×0.9-18)m+(10-6)n=80$,整理得 $n=20-\frac{9}{4}m$,因为 $m,n$ 均为正整数,所以$\begin{cases} m=4, \\ n=11 \end{cases}$或$\begin{cases} m=8, \\ n=2, \end{cases}$所以共有 2 种购买方案。
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据“1千克甲种糖果售价比乙种高20元”设未知数，利用“花150元买甲的千克数=花50元买乙的千克数”的等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性，进而得到两种糖果的售价。
2. 第(2)问：先计算促销后甲的实际售价，再根据“总毛利=甲的毛利+乙的毛利”列方程，整理得到关于购买量的关系式，结合“购买量为正整数”的条件，找出所有符合的解，统计购买方案数量。
【解析】
(1) 设甲种糖果的售价为$ x $元/千克，则乙种糖果的售价为$ (x - 20) $元/千克。
根据题意，购买的千克数相等，列方程：
$\frac{150}{x} = \frac{50}{x - 20}$
交叉相乘得：$150(x - 20) = 50x$
展开化简：$150x - 3000 = 50x$，移项得$100x = 3000$，解得$x = 30$。
经检验，$x = 30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙种糖果售价为：$30 - 20 = 10$（元/千克）。
答：甲种糖果售价为30元/千克，乙种糖果售价为10元/千克。
(2) 设购买甲种糖果$ m $千克，购买乙种糖果$ n $千克（$ m、n $均为正整数）。
促销后甲种糖果售价为：$30×0.9 = 27$（元/千克），甲每千克毛利为$27 - 18 = 9$元，乙每千克毛利为$10 - 6 = 4$元。
根据总毛利80元，列方程：
$9m + 4n = 80$
整理得：$n = 20 - \frac{9}{4}m$。
因为$ m、n $为正整数，所以$\frac{9}{4}m$需为整数，且$20 - \frac{9}{4}m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{80}{9}≈8.89$。
当$m = 4$时，$n = 11$，符合条件；当$m = 8$时，$n = 2$，符合条件；其余正整数$m$对应的$n$不是正整数，不符合要求。
故共有2种购买方案。
【答案】
(1) 甲种糖果售价30元/千克，乙种糖果售价10元/千克；
(2) 共有2种购买方案。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合销售实际场景，考查分式方程和二元一次方程整数解的应用，需注意分式方程解的检验及整数解的限定条件，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：根据“1千克甲种糖果售价比乙种高20元”设未知数，利用“花150元买甲的千克数=花50元买乙的千克数”的等量关系列分式方程，求解后需检验解的合理性，进而得到两种糖果的售价。
2. 第(2)问：先计算促销后甲的实际售价，再根据“总毛利=甲的毛利+乙的毛利”列方程，整理得到关于购买量的关系式，结合“购买量为正整数”的条件，找出所有符合的解，统计购买方案数量。
【解析】
(1) 设甲种糖果的售价为$ x $元/千克，则乙种糖果的售价为$ (x - 20) $元/千克。
根据题意，购买的千克数相等，列方程：
$\frac{150}{x} = \frac{50}{x - 20}$
交叉相乘得：$150(x - 20) = 50x$
展开化简：$150x - 3000 = 50x$，移项得$100x = 3000$，解得$x = 30$。
经检验，$x = 30$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙种糖果售价为：$30 - 20 = 10$（元/千克）。
答：甲种糖果售价为30元/千克，乙种糖果售价为10元/千克。
(2) 设购买甲种糖果$ m $千克，购买乙种糖果$ n $千克（$ m、n $均为正整数）。
促销后甲种糖果售价为：$30×0.9 = 27$（元/千克），甲每千克毛利为$27 - 18 = 9$元，乙每千克毛利为$10 - 6 = 4$元。
根据总毛利80元，列方程：
$9m + 4n = 80$
整理得：$n = 20 - \frac{9}{4}m$。
因为$ m、n $为正整数，所以$\frac{9}{4}m$需为整数，且$20 - \frac{9}{4}m ＞ 0$，即$m ＜ \frac{80}{9}≈8.89$。
当$m = 4$时，$n = 11$，符合条件；当$m = 8$时，$n = 2$，符合条件；其余正整数$m$对应的$n$不是正整数，不符合要求。
故共有2种购买方案。
【答案】
(1) 甲种糖果售价30元/千克，乙种糖果售价10元/千克；
(2) 共有2种购买方案。
【知识点】
分式方程的应用，二元一次方程的整数解
【点评】
本题结合销售实际场景，考查分式方程和二元一次方程整数解的应用，需注意分式方程解的检验及整数解的限定条件，题型常规，难度适中。
【难度系数】
0.6
22.(10分)如果两个分式M与N的和为常数k,且k为正整数,则称M与N互为“和整分式”,常数k称为“和整值”。如分式$M=\frac{x}{x+1},N=\frac{1}{x+1},M+N=\frac{x+1}{x+1}=1$,则M与N互为“和整分式”,“和整值”$k=1$。
(1)已知分式$A=\frac{x-1}{x-4},B=\frac{x-7}{x-4}$,判断A与B是否互为“和整分式”,若不是,请说明理由;若是,请求出“和整值”k。
(2)已知分式$C=\frac{4x-4}{x-2},D=\frac{G}{x^2-4}$,C与D互为“和整分式”,且“和整值”$k=4$,若x为正整数,分式D的值也为正整数。
①求G所代表的代数式;
②求x的值。
(1)已知分式$A=\frac{x-1}{x-4},B=\frac{x-7}{x-4}$,判断A与B是否互为“和整分式”,若不是,请说明理由;若是,请求出“和整值”k。
(2)已知分式$C=\frac{4x-4}{x-2},D=\frac{G}{x^2-4}$,C与D互为“和整分式”,且“和整值”$k=4$,若x为正整数,分式D的值也为正整数。
①求G所代表的代数式;
②求x的值。
答案
22.(1)因为 $A=\frac{x-1}{x-4},B=\frac{x-7}{x-4}$,所以 $A+B=\frac{x-1}{x-4}+\frac{x-7}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2$;所以 $A$ 与 $B$ 互为“和整分式”,“和整值”$k=2$。 (2)①因为 $C=\frac{4x-4}{x-2},D=\frac{G}{x^2-4}$,所以 $C+D=\frac{4x-4}{x-2}+\frac{G}{x^2-4}=\frac{(4x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{G}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$,因为 $C$ 与 $D$ 互为“和整分式”且“和整值”$k=4$,所以$\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}=4$,$4x^2+4x-8+G=4(x^2-4)$,得$G=-4x-8$。②因为 $D=\frac{G}{x^2-4}=\frac{-4x-8}{x^2-4}=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{4}{x-2}$,且若 $x$ 为正整数,分式 $D$ 的值也为正整数,所以 $x-2=-1$,所以 $x=1$。
解析
【分析】
首先明确“和整分式”的定义：两个分式的和为正整数k，则这两个分式互为“和整分式”，k为“和整值”。解题时，先计算两个分式的和并化简，判断是否为正整数以确定是否为“和整分式”；对于第二问，根据“和整值”k=4，结合分式通分法则建立等式求解G，再代入D的表达式化简，结合x为正整数、D为正整数的条件求x，同时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 计算A+B：
已知$A=\frac{x-1}{x-4}$，$B=\frac{x-7}{x-4}$，同分母分式相加，分子相加得：
$A+B=\frac{(x-1)+(x-7)}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2$，2是正整数，因此A与B互为“和整分式”，和整值k=2。
(2) ① 求G：
已知$C=\frac{4x-4}{x-2}$，$D=\frac{G}{x^2-4}$，且C与D的和为k=4。先通分（$x^2-4=(x+2)(x-2)$）：
$C+D=\frac{(4x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{G}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$
根据“和整值”k=4，得：
$\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}=4$，两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$4x^2+4x-8+G=4(x^2-4)$，展开并整理得：
$G=4x^2-16-4x^2-4x+8=-4x-8$。
② 求x的值：
将$G=-4x-8$代入D，化简得：
$D=\frac{-4x-8}{x^2-4}=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{4}{x-2}$（$x≠±2$，分母不为0）
因为x为正整数，D的值为正整数，所以$-\frac{4}{x-2}$是正整数，即$\frac{4}{x-2}$是负整数，故x-2是4的负因数：
若$x-2=-1$，则x=1，此时$D=-\frac{4}{-1}=4$，是正整数，符合条件；
若$x-2=-2$，则x=0，不是正整数，排除；
若$x-2=-4$，则x=-2，此时分母为0，分式无意义，排除；
因此x=1。
【答案】
(1) A与B互为“和整分式”，和整值k=2；(2) ①G=-4x-8；②x=1。
【知识点】
分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】
本题为新定义题型，需先理解“和整分式”的定义，结合分式通分、加减、化简等运算解题，关键是通分后建立等式求解，同时注意分母不为0的隐含条件，考查学生对分式运算的掌握及新定义的应用能力。
【难度系数】
0.5
首先明确“和整分式”的定义：两个分式的和为正整数k，则这两个分式互为“和整分式”，k为“和整值”。解题时，先计算两个分式的和并化简，判断是否为正整数以确定是否为“和整分式”；对于第二问，根据“和整值”k=4，结合分式通分法则建立等式求解G，再代入D的表达式化简，结合x为正整数、D为正整数的条件求x，同时注意分母不为0的隐含条件。
【解析】
(1) 计算A+B：
已知$A=\frac{x-1}{x-4}$，$B=\frac{x-7}{x-4}$，同分母分式相加，分子相加得：
$A+B=\frac{(x-1)+(x-7)}{x-4}=\frac{2x-8}{x-4}=\frac{2(x-4)}{x-4}=2$，2是正整数，因此A与B互为“和整分式”，和整值k=2。
(2) ① 求G：
已知$C=\frac{4x-4}{x-2}$，$D=\frac{G}{x^2-4}$，且C与D的和为k=4。先通分（$x^2-4=(x+2)(x-2)$）：
$C+D=\frac{(4x-4)(x+2)}{(x+2)(x-2)}+\frac{G}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}$
根据“和整值”k=4，得：
$\frac{4x^2+4x-8+G}{(x+2)(x-2)}=4$，两边同乘$(x+2)(x-2)$得：
$4x^2+4x-8+G=4(x^2-4)$，展开并整理得：
$G=4x^2-16-4x^2-4x+8=-4x-8$。
② 求x的值：
将$G=-4x-8$代入D，化简得：
$D=\frac{-4x-8}{x^2-4}=\frac{-4(x+2)}{(x+2)(x-2)}=-\frac{4}{x-2}$（$x≠±2$，分母不为0）
因为x为正整数，D的值为正整数，所以$-\frac{4}{x-2}$是正整数，即$\frac{4}{x-2}$是负整数，故x-2是4的负因数：
若$x-2=-1$，则x=1，此时$D=-\frac{4}{-1}=4$，是正整数，符合条件；
若$x-2=-2$，则x=0，不是正整数，排除；
若$x-2=-4$，则x=-2，此时分母为0，分式无意义，排除；
因此x=1。
【答案】
(1) A与B互为“和整分式”，和整值k=2；(2) ①G=-4x-8；②x=1。
【知识点】
分式的加减运算、分式的化简求值
【点评】
本题为新定义题型，需先理解“和整分式”的定义，结合分式通分、加减、化简等运算解题，关键是通分后建立等式求解，同时注意分母不为0的隐含条件，考查学生对分式运算的掌握及新定义的应用能力。
【难度系数】
0.5
