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23.(14分)阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中,如果任意交换两个字母的位置,式子的值都不变,这样的式子就叫作对称式。例如:$a+b+c,abc,a^{2}+b^{2},···$
含有两个字母$a,b$的对称式的基本对称式是$a+b$和$ab$,像$a^{2}+b^{2},(a+2)(b+2)$等对称式都可以用$a+b,ab$表示,例如:$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$。
请根据以上材料解决下列问题:
(1)式子①$a^{2}b^{2}$;②$a^{2}-b^{2}$;③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$中,属于对称式的是
(2)已知$(x+a)(x+b)=x^{2}+mx+n$。
①若$m=-2,n=\frac{1}{2}$,求对称式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值;
②若$n=-4$,直接写出对称式$\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$的最小值。
一个含有多个字母的式子中,如果任意交换两个字母的位置,式子的值都不变,这样的式子就叫作对称式。例如:$a+b+c,abc,a^{2}+b^{2},···$
含有两个字母$a,b$的对称式的基本对称式是$a+b$和$ab$,像$a^{2}+b^{2},(a+2)(b+2)$等对称式都可以用$a+b,ab$表示,例如:$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab$。
请根据以上材料解决下列问题:
(1)式子①$a^{2}b^{2}$;②$a^{2}-b^{2}$;③$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$中,属于对称式的是
①③
(填序号)。(2)已知$(x+a)(x+b)=x^{2}+mx+n$。
①若$m=-2,n=\frac{1}{2}$,求对称式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$的值;
②若$n=-4$,直接写出对称式$\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$的最小值。
答案
23.(1)①③ (2)因为 $x^2+(a+b)x+ab=x^2+mx+n$ 所以 $a+b=m,ab=n$。 ①由题意得 $a+b=-2,ab=\frac{1}{2}$,$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\frac{(-2)^2-2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=6$。 ②$\frac{a^4+1}{a^2}+\frac{b^4+1}{b^2}=a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}=(a+b)^2-2ab+\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}=m^2+8+\frac{m^2+8}{16}=\frac{17}{16}m^2+\frac{17}{2}$,因为 $\frac{17}{16}m^2≥0$,所以 $\frac{a^4+1}{a^2}+\frac{b^4+1}{b^2}$ 的最小值为$\frac{17}{2}$。
解析
【分析】
首先明确对称式的定义：交换式子中任意两个字母的位置，式子的值不变。解决第(1)问时，只需判断交换a、b后各式子是否保持值不变即可；第(2)问先将已知等式展开，对应系数得到$a+b=m$、$ab=n$，再利用完全平方公式等将所求对称式转化为用$a+b$、$ab$表示的形式，进而代入计算或求最值。
【解析】
(1) 对三个式子逐一判断：
① $a^2b^2$，交换a、b后得$b^2a^2=a^2b^2$，值不变，是对称式；
② $a^2 - b^2$，交换a、b后得$b^2 - a^2$，与原式不一定相等，不是对称式；
③ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，交换a、b后得$\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$，值不变，是对称式；
故属于对称式的是①③。
(2) 展开$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，对比$x^2+mx+n$，得$a+b=m$，$ab=n$。
① 已知$m=-2$，$n=\frac{1}{2}$，则$a+b=-2$，$ab=\frac{1}{2}$；
$\begin{aligned}\frac{b}{a}+\frac{a}{b}&=\frac{a^2 + b^2}{ab}\\&=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}\\&=\frac{(-2)^2 - 2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{4 - 1}{\frac{1}{2}}\\&=6\end{aligned}$
② 化简所求式子：
$\begin{aligned}\frac{a^4 +1}{a^2}+\frac{b^4 +1}{b^2}&=a^2 + \frac{1}{a^2} + b^2 + \frac{1}{b^2}\\&=(a^2 + b^2) + (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2})\\&=(a+b)^2 - 2ab + \frac{(a+b)^2 - 2ab}{(ab)^2}\end{aligned}$
代入$ab=n=-4$，得：
$\begin{aligned}&=m^2 - 2×(-4) + \frac{m^2 - 2×(-4)}{(-4)^2}\\&=m^2 +8 + \frac{m^2 +8}{16}\\&=\frac{17}{16}m^2 + \frac{17}{2}\end{aligned}$
因为$\frac{17}{16}m^2≥0$，所以当$m=0$时，式子取得最小值$\frac{17}{2}$。
【答案】(1)①③；(2)①6；②$\frac{17}{2}$
【知识点】对称式的概念，代数式化简求值，完全平方公式的应用
【点评】本题围绕新定义“对称式”展开，考查学生对新定义的理解能力，以及代数式变形、利用非负数性质求最值的能力，需掌握基本代数变形技巧，难度适中。
【难度系数】0.6
首先明确对称式的定义：交换式子中任意两个字母的位置，式子的值不变。解决第(1)问时，只需判断交换a、b后各式子是否保持值不变即可；第(2)问先将已知等式展开，对应系数得到$a+b=m$、$ab=n$，再利用完全平方公式等将所求对称式转化为用$a+b$、$ab$表示的形式，进而代入计算或求最值。
【解析】
(1) 对三个式子逐一判断：
① $a^2b^2$，交换a、b后得$b^2a^2=a^2b^2$，值不变，是对称式；
② $a^2 - b^2$，交换a、b后得$b^2 - a^2$，与原式不一定相等，不是对称式；
③ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，交换a、b后得$\frac{1}{b}+\frac{1}{a}$，值不变，是对称式；
故属于对称式的是①③。
(2) 展开$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$，对比$x^2+mx+n$，得$a+b=m$，$ab=n$。
① 已知$m=-2$，$n=\frac{1}{2}$，则$a+b=-2$，$ab=\frac{1}{2}$；
$\begin{aligned}\frac{b}{a}+\frac{a}{b}&=\frac{a^2 + b^2}{ab}\\&=\frac{(a+b)^2 - 2ab}{ab}\\&=\frac{(-2)^2 - 2×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\\&=\frac{4 - 1}{\frac{1}{2}}\\&=6\end{aligned}$
② 化简所求式子：
$\begin{aligned}\frac{a^4 +1}{a^2}+\frac{b^4 +1}{b^2}&=a^2 + \frac{1}{a^2} + b^2 + \frac{1}{b^2}\\&=(a^2 + b^2) + (\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2})\\&=(a+b)^2 - 2ab + \frac{(a+b)^2 - 2ab}{(ab)^2}\end{aligned}$
代入$ab=n=-4$，得：
$\begin{aligned}&=m^2 - 2×(-4) + \frac{m^2 - 2×(-4)}{(-4)^2}\\&=m^2 +8 + \frac{m^2 +8}{16}\\&=\frac{17}{16}m^2 + \frac{17}{2}\end{aligned}$
因为$\frac{17}{16}m^2≥0$，所以当$m=0$时，式子取得最小值$\frac{17}{2}$。
【答案】(1)①③；(2)①6；②$\frac{17}{2}$
【知识点】对称式的概念，代数式化简求值，完全平方公式的应用
【点评】本题围绕新定义“对称式”展开，考查学生对新定义的理解能力，以及代数式变形、利用非负数性质求最值的能力，需掌握基本代数变形技巧，难度适中。
【难度系数】0.6
