登录
1.(2025·金华武义)已知$x^2+3x=3$,则多项式$3x^2+9x-4$的值为 ………………………………（
A.3
B.4
C.5
D.6
C
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.C
解析
【分析】本题考查代数式的求值，已知条件给出了$x^2+3x$的值，所求多项式中的$3x^2+9x$可变形为$3(x^2+3x)$，利用整体代入法，将已知的$x^2+3x=3$代入变形后的式子，即可快速求出结果，无需单独求解$x$的值，简化计算过程。
【解析】已知$x^2+3x=3$，对多项式$3x^2+9x-4$变形：
$3x^2+9x-4 = 3(x^2+3x) - 4$
将$x^2+3x=3$代入上式：
原式$=3×3 - 4 = 9 - 4 = 5$
所以答案选C。
【答案】C
【知识点】整体代入法求代数式值、整式的提取公因式
【点评】本题是整式求值的基础题，核心是运用整体代入思想，避免求解复杂的$x$值，体现了代数运算中简化计算的技巧，适合初中低年级学生巩固代数式变形的方法。
【难度系数】0.8
【解析】已知$x^2+3x=3$，对多项式$3x^2+9x-4$变形：
$3x^2+9x-4 = 3(x^2+3x) - 4$
将$x^2+3x=3$代入上式：
原式$=3×3 - 4 = 9 - 4 = 5$
所以答案选C。
【答案】C
【知识点】整体代入法求代数式值、整式的提取公因式
【点评】本题是整式求值的基础题，核心是运用整体代入思想，避免求解复杂的$x$值，体现了代数运算中简化计算的技巧，适合初中低年级学生巩固代数式变形的方法。
【难度系数】0.8
2.(2024·绍兴越城、上虞)下面四个备选答案所提供的整式中,不能表示图中阴影部分面积的是 ……………………………………………………（
A.$x^{2}+5x$
B.$x(x+3)+6$
C.$3(x+2)+x^{2}$
D.$(x+3)(x+2)-2x$
A
）A.$x^{2}+5x$
B.$x(x+3)+6$
C.$3(x+2)+x^{2}$
D.$(x+3)(x+2)-2x$
答案
2.A
解析
【分析】
要判断哪个整式不能表示阴影部分面积，需先通过分割法或整体减空白法计算阴影部分的面积，再将各选项化简后与计算结果对比，找出不一致的选项。
【解析】
1. 计算阴影部分面积：
方法一（整体减空白）：整个大长方形的长为$x+3$，宽为$x+2$，面积为$(x+3)(x+2)$；空白部分是左下角的长方形，面积为$2x$，因此阴影面积为$(x+3)(x+2)-2x$，展开得$x^2+5x+6-2x=x^2+3x+6$。
方法二（分割法）：阴影部分分为三部分，左上角正方形面积$x^2$，右上角长方形面积$3x$，右下角长方形面积$3×2=6$，总面积为$x^2+3x+6$。
2. 逐一对比选项：
选项B：$x(x+3)+6=x^2+3x+6$，与计算结果一致；
选项C：$3(x+2)+x^2=3x+6+x^2=x^2+3x+6$，与计算结果一致；
选项A：$x^2+5x$，与计算结果$x^2+3x+6$不符，不能表示阴影面积。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式的化简，需掌握基本的面积计算方法，再通过整式变形对比判断，难度适中。
【难度系数】
0.4
要判断哪个整式不能表示阴影部分面积，需先通过分割法或整体减空白法计算阴影部分的面积，再将各选项化简后与计算结果对比，找出不一致的选项。
【解析】
1. 计算阴影部分面积：
方法一（整体减空白）：整个大长方形的长为$x+3$，宽为$x+2$，面积为$(x+3)(x+2)$；空白部分是左下角的长方形，面积为$2x$，因此阴影面积为$(x+3)(x+2)-2x$，展开得$x^2+5x+6-2x=x^2+3x+6$。
方法二（分割法）：阴影部分分为三部分，左上角正方形面积$x^2$，右上角长方形面积$3x$，右下角长方形面积$3×2=6$，总面积为$x^2+3x+6$。
2. 逐一对比选项：
选项B：$x(x+3)+6=x^2+3x+6$，与计算结果一致；
选项C：$3(x+2)+x^2=3x+6+x^2=x^2+3x+6$，与计算结果一致；
选项A：$x^2+5x$，与计算结果$x^2+3x+6$不符，不能表示阴影面积。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式的化简，需掌握基本的面积计算方法，再通过整式变形对比判断，难度适中。
【难度系数】
0.4
3.(2024·杭州上城)下列计算中,正确的是 ……………………………………………………（
A.$ a^{4} · a^{4}=2a^{4} $
B.$ (-c)^{6} ÷ (-c)^{4}=-c^{2} $
C.$ (8a^{2}b - 2ab^{2}) ÷ (2ab)=4a - b $
D.$ (2m - n)(-2m + n)=4m^{2} - n^{2} $
C
）A.$ a^{4} · a^{4}=2a^{4} $
B.$ (-c)^{6} ÷ (-c)^{4}=-c^{2} $
C.$ (8a^{2}b - 2ab^{2}) ÷ (2ab)=4a - b $
D.$ (2m - n)(-2m + n)=4m^{2} - n^{2} $
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查整式的运算，需根据同底数幂的乘除法则、多项式除以单项式法则、乘法公式，逐个计算选项中的式子，判断正误后选出正确答案。
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$a^4·a^4=a^{4+4}=a^8≠2a^4$，故A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，得$(-c)^6÷(-c)^4=(-c)^{6-4}=(-c)^2=c^2≠-c^2$，故B错误；
选项C：根据多项式除以单项式法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，得$(8a^2b - 2ab^2)÷2ab=8a^2b÷2ab - 2ab^2÷2ab=4a - b$，故C正确；
选项D：先变形式子，$(2m - n)(-2m + n)=-(2m - n)(2m - n)=-(2m - n)^2=-4m^2 + 4mn - n^2≠4m^2 - n^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除、多项式除以单项式、完全平方公式
【点评】
本题为整式运算的基础题，需熟练掌握整式的各类运算法则，逐一计算判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的运算，需根据同底数幂的乘除法则、多项式除以单项式法则、乘法公式，逐个计算选项中的式子，判断正误后选出正确答案。
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得$a^4·a^4=a^{4+4}=a^8≠2a^4$，故A错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，得$(-c)^6÷(-c)^4=(-c)^{6-4}=(-c)^2=c^2≠-c^2$，故B错误；
选项C：根据多项式除以单项式法则，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，得$(8a^2b - 2ab^2)÷2ab=8a^2b÷2ab - 2ab^2÷2ab=4a - b$，故C正确；
选项D：先变形式子，$(2m - n)(-2m + n)=-(2m - n)(2m - n)=-(2m - n)^2=-4m^2 + 4mn - n^2≠4m^2 - n^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘除、多项式除以单项式、完全平方公式
【点评】
本题为整式运算的基础题，需熟练掌握整式的各类运算法则，逐一计算判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
4.若$(2x+m)(x-3)$的展开式中不含$x$的一次项，则实数$m$的值为 ……………………（
A.$-6$
B.$0$
C.$3$
D.$6$
D
）A.$-6$
B.$0$
C.$3$
D.$6$
答案
4.D
解析
【分析】要解决该问题，需先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后找到x的一次项系数；由于展开式不含x的一次项，因此一次项系数为0，据此列方程求解m的值，再匹配对应选项即可。
【解析】解：先将$(2x+m)(x-3)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(2x+m)(x-3)&=2x· x + 2x·(-3) + m· x + m·(-3)\\&=2x^2 -6x + mx -3m\\&=2x^2 + (m -6)x -3m\end{aligned}$
因为展开式中不含$x$的一次项，所以$x$的一次项系数为0，即：
$m -6 = 0$
解得：$m=6$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式，整式的项的系数
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算，核心是根据“不含某一项则该项系数为0”的条件求解参数，属于整式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】解：先将$(2x+m)(x-3)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(2x+m)(x-3)&=2x· x + 2x·(-3) + m· x + m·(-3)\\&=2x^2 -6x + mx -3m\\&=2x^2 + (m -6)x -3m\end{aligned}$
因为展开式中不含$x$的一次项，所以$x$的一次项系数为0，即：
$m -6 = 0$
解得：$m=6$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式，整式的项的系数
【点评】本题考查多项式乘多项式的运算，核心是根据“不含某一项则该项系数为0”的条件求解参数，属于整式运算的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.7
5. 计算：$(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2015}$等于……………………………………………………………………（
A.$2$
B.$-2$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
D
）A.$2$
B.$-2$
C.$-\dfrac{1}{2}$
D.$\dfrac{1}{2}$
答案
5.D
解析
【分析】
要计算$(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2015}$，可通过拆分指数结合幂的运算公式简化计算：先将$(\dfrac{1}{2})^{2015}$拆分为$(\dfrac{1}{2})^{2014}×\dfrac{1}{2}$，再逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(ab)^n$合并同指数幂，最后计算结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2015}&=(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2014} × \dfrac{1}{2}\\&=[ (-2) × \dfrac{1}{2} ]^{2014} × \dfrac{1}{2}\\&=(-1)^{2014} × \dfrac{1}{2}\\&=1 × \dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算、幂的运算
【点评】
本题考查幂的运算公式的灵活变形，核心是逆用积的乘方简化同指数幂的乘法，属于基础运算题，需熟练掌握公式的逆用技巧。
【难度系数】
0.6
要计算$(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2015}$，可通过拆分指数结合幂的运算公式简化计算：先将$(\dfrac{1}{2})^{2015}$拆分为$(\dfrac{1}{2})^{2014}×\dfrac{1}{2}$，再逆用积的乘方公式$a^n×b^n=(ab)^n$合并同指数幂，最后计算结果。
【解析】
解：
$\begin{aligned}(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2015}&=(-2)^{2014} × (\dfrac{1}{2})^{2014} × \dfrac{1}{2}\\&=[ (-2) × \dfrac{1}{2} ]^{2014} × \dfrac{1}{2}\\&=(-1)^{2014} × \dfrac{1}{2}\\&=1 × \dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{1}{2}\end{aligned}$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方逆运算、幂的运算
【点评】
本题考查幂的运算公式的灵活变形，核心是逆用积的乘方简化同指数幂的乘法，属于基础运算题，需熟练掌握公式的逆用技巧。
【难度系数】
0.6
6.已知$x^m=8,x^{2n+m}=128$,则$x^n$的值是 ………………………………………………………………（
A.$\pm 8$
B.$\pm 4$
C.4
D.8
B
）A.$\pm 8$
B.$\pm 4$
C.4
D.8
答案
6.B
解析
【分析】要解决这道题，需利用幂的运算性质的逆用：首先，同底数幂相乘的逆用可将指数和拆分为两个幂的乘积；其次，幂的乘方的逆用可将指数为偶数的幂转化为对应幂的平方。具体思路是：先把已知的$x^{2n+m}$拆分为$x^{2n} · x^m$，代入已知的$x^m$求出$x^{2n}$，再将$x^{2n}$转化为$(x^n)^2$，进而求出$x^n$的值。
【解析】根据同底数幂的乘法法则$a^{p+q}=a^p · a^q$，可得：
$x^{2n+m}=x^{2n} · x^m$
已知$x^m=8$，$x^{2n+m}=128$，代入上式得：
$x^{2n} · 8 = 128$
解得：$x^{2n}=128 ÷ 8 = 16$
再根据幂的乘方法则$a^{pq}=(a^p)^q$，可得：
$x^{2n}=(x^n)^2$
因此：$(x^n)^2=16$
解得：$x^n=\pm 4$
所以答案选B。
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的逆应用，核心是熟练掌握同底数幂乘法和幂的乘方法则，通过逆用公式将未知的$x^n$转化为可求的平方形式，需注意开平方时的正负性，属于幂运算的基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】根据同底数幂的乘法法则$a^{p+q}=a^p · a^q$，可得：
$x^{2n+m}=x^{2n} · x^m$
已知$x^m=8$，$x^{2n+m}=128$，代入上式得：
$x^{2n} · 8 = 128$
解得：$x^{2n}=128 ÷ 8 = 16$
再根据幂的乘方法则$a^{pq}=(a^p)^q$，可得：
$x^{2n}=(x^n)^2$
因此：$(x^n)^2=16$
解得：$x^n=\pm 4$
所以答案选B。
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】本题考查幂的运算性质的逆应用，核心是熟练掌握同底数幂乘法和幂的乘方法则，通过逆用公式将未知的$x^n$转化为可求的平方形式，需注意开平方时的正负性，属于幂运算的基础题型。
【难度系数】0.6
7.有两个正方形A,B,现将B放在A的内部,得到图1,将A,B并列放置后构成新的正方形,得到图2。若图1阴影面积为3,正方形A,B的面积之和为11,则图2阴影面积是 ……………………（
A.8
B.9
C.12
D.15
A
）A.8
B.9
C.12
D.15
答案
7.A
解析
【分析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b。先根据图1的阴影面积和A、B的面积和，求出ab的值；再分析图2的阴影面积与a、b的关系，结合完全平方公式计算结果。
【解析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A的面积为$a^2$，正方形B的面积为$b^2$。
1. 由图1可知，阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，其面积为$(a - b)^2$，已知图1阴影面积为3，因此：
$(a - b)^2 = 3$，展开得：$a^2 - 2ab + b^2 = 3$。
2. 已知正方形A、B的面积之和为11，即$a^2 + b^2 = 11$，将其代入上式：
$11 - 2ab = 3$，解得：$2ab = 8$。
3. 分析图2：图2是边长为$(a + b)$的大正方形，其面积为$(a + b)^2$，图2的阴影面积为大正方形面积减去A、B的面积和，即：
阴影面积$=(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$。
将$2ab = 8$代入，得图2阴影面积为8。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积、完全平方公式
【点评】
本题通过设边长建立代数关系，结合图形面积和完全平方公式推导，关键是找到两个图形阴影面积与边长的联系，利用已知条件转化求解，属于中等难度的代数几何结合题。
【难度系数】
0.5
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b。先根据图1的阴影面积和A、B的面积和，求出ab的值；再分析图2的阴影面积与a、b的关系，结合完全平方公式计算结果。
【解析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则正方形A的面积为$a^2$，正方形B的面积为$b^2$。
1. 由图1可知，阴影部分是边长为$(a - b)$的正方形，其面积为$(a - b)^2$，已知图1阴影面积为3，因此：
$(a - b)^2 = 3$，展开得：$a^2 - 2ab + b^2 = 3$。
2. 已知正方形A、B的面积之和为11，即$a^2 + b^2 = 11$，将其代入上式：
$11 - 2ab = 3$，解得：$2ab = 8$。
3. 分析图2：图2是边长为$(a + b)$的大正方形，其面积为$(a + b)^2$，图2的阴影面积为大正方形面积减去A、B的面积和，即：
阴影面积$=(a + b)^2 - (a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$。
将$2ab = 8$代入，得图2阴影面积为8。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积、完全平方公式
【点评】
本题通过设边长建立代数关系，结合图形面积和完全平方公式推导，关键是找到两个图形阴影面积与边长的联系，利用已知条件转化求解，属于中等难度的代数几何结合题。
【难度系数】
0.5
8. 已知$a,b,c,d$均为常数，$e,f$均为非零常数，若有两个整式$A=5x^3 - 6x^2 + 10 = a(x - 1)^3 + b(x - 1)^2 + c(x - 1) + d$，$B=x^2 + ex + f$。下列结论中，正确的有 ………………………………（
①当$A+B$为关于$x$的三次三项式时，则$f=-10$；②当多项式$A·B$乘积不含$x^4$时，则$e=6$；
③$a+b+c=17$；④当$B$能被$x-2$整除时，$2e+f=-4$；⑤若$x=2m$或$x=m-2$时，无论$e$和$f$取何值，$B$值总相等，则$m=-2$。
A.①③④⑤
B.①③④
C.①③⑤
D.①②③④⑤
A
）①当$A+B$为关于$x$的三次三项式时，则$f=-10$；②当多项式$A·B$乘积不含$x^4$时，则$e=6$；
③$a+b+c=17$；④当$B$能被$x-2$整除时，$2e+f=-4$；⑤若$x=2m$或$x=m-2$时，无论$e$和$f$取何值，$B$值总相等，则$m=-2$。
A.①③④⑤
B.①③④
C.①③⑤
D.①②③④⑤
答案
8.A 解析:因为 $A=5x^3-6x^2+10,B=x^2+ex+f$,所以 $A+B=5x^3-5x^2+ex+f+10$,因为 $A+B$ 为关于 $x$ 的三次三项式,且 $e$ 为非零常数,所以 $f=-10$,故①正确;$A·B=(5x^3-6x^2+10)(x^2+ex+f)=5x^5+(5e-6)x^4+(5f-6e)x^3+(10-6f)x^2+10ex+10f$,因为多项式 $A·B$ 乘积不含 $x^4$,所以 $5e-6=0$,所以 $e=1.2$,故②错误;$A=5x^3-6x^2+10=a(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d$,当 $x=1$ 时,$d=5-6+10=9$,当 $x=2$ 时,$a+b+c+d=5×2^3-6×2^2+10=26$,所以 $a+b+c=17$,故③正确;因为 $B=x^2+ex+f$ 能被 $x-2$ 整除,所以设另一因式为 $x+n$,所以 $(x-2)(x+n)=x^2+(n-2)x-2n$,所以 $e=n-2,f=-2n$,所以 $2e+f=2n-4-2n=-4$,故④正确;因为当 $x=2m$ 或 $x=m-2$ 时,无论 $e$ 和 $f$ 取何值,$B$ 值总相等,所以 $2m=m-2$,所以 $m=-2$,故⑤正确;综上所述,正确的有①③④⑤。故选 A。
解析
【分析】
要判断各结论的正确性，需结合整式的加减、乘法运算，多项式相等的条件，多项式整除的性质，逐一分析每个结论：先通过代入特殊值求出A展开式中$a+b+c$的值；再分别对$A+B$的项数、$A·B$的$x^4$项系数、B被$x-2$整除的条件、B值相等的条件进行分析，判断每个结论是否正确。
【解析】
1. 分析结论③：已知$A=5x^3 -6x^2 +10 = a(x-1)^3 +b(x-1)^2 +c(x-1)+d$，令$x=1$，代入得$A(1)=5-6+10=9=d$；令$x=2$，代入得$A(2)=5×2^3 -6×2^2 +10=26$，而$A(2)=a+b+c+d$，故$a+b+c=26 - d=26-9=17$，结论③正确。
2. 分析结论①：$A+B=5x^3 -6x^2 +10 +x^2 +ex +f=5x^3 -5x^2 +ex +(f+10)$，因$e≠0$，要使$A+B$为三次三项式，常数项需为0，即$f+10=0$，得$f=-10$，结论①正确。
3. 分析结论②：计算$A·B=(5x^3 -6x^2 +10)(x^2 +ex +f)$，展开后$x^4$项的系数为$5e -6$，若乘积不含$x^4$，则$5e-6=0$，解得$e=\frac{6}{5}=1.2≠6$，结论②错误。
4. 分析结论④：若$B=x^2 +ex +f$能被$x-2$整除，则当$x=2$时，$B(2)=0$，即$2^2 +2e +f=0$，整理得$2e +f=-4$，结论④正确。
5. 分析结论⑤：当$x=2m$或$x=m-2$时，$B$值总相等，即$B(2m)=B(m-2)$，代入得$(2m)^2 +2em +f=(m-2)^2 +e(m-2)+f$，整理得$3m^2 +4m -4 +em=0$，要该式对任意$e,f$成立，需含$e$的项系数为0，即$m+2=0$，解得$m=-2$，此时$3×(-2)^2 +4×(-2)-4=0$，满足条件，结论⑤正确。
综上，正确结论为①③④⑤，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、整式的乘法、多项式的整除
【点评】
本题综合考查整式运算与多项式性质，需逐一分析每个结论，对知识点应用能力要求较高，解题时需细心计算，避免出错。
【难度系数】
0.6
要判断各结论的正确性，需结合整式的加减、乘法运算，多项式相等的条件，多项式整除的性质，逐一分析每个结论：先通过代入特殊值求出A展开式中$a+b+c$的值；再分别对$A+B$的项数、$A·B$的$x^4$项系数、B被$x-2$整除的条件、B值相等的条件进行分析，判断每个结论是否正确。
【解析】
1. 分析结论③：已知$A=5x^3 -6x^2 +10 = a(x-1)^3 +b(x-1)^2 +c(x-1)+d$，令$x=1$，代入得$A(1)=5-6+10=9=d$；令$x=2$，代入得$A(2)=5×2^3 -6×2^2 +10=26$，而$A(2)=a+b+c+d$，故$a+b+c=26 - d=26-9=17$，结论③正确。
2. 分析结论①：$A+B=5x^3 -6x^2 +10 +x^2 +ex +f=5x^3 -5x^2 +ex +(f+10)$，因$e≠0$，要使$A+B$为三次三项式，常数项需为0，即$f+10=0$，得$f=-10$，结论①正确。
3. 分析结论②：计算$A·B=(5x^3 -6x^2 +10)(x^2 +ex +f)$，展开后$x^4$项的系数为$5e -6$，若乘积不含$x^4$，则$5e-6=0$，解得$e=\frac{6}{5}=1.2≠6$，结论②错误。
4. 分析结论④：若$B=x^2 +ex +f$能被$x-2$整除，则当$x=2$时，$B(2)=0$，即$2^2 +2e +f=0$，整理得$2e +f=-4$，结论④正确。
5. 分析结论⑤：当$x=2m$或$x=m-2$时，$B$值总相等，即$B(2m)=B(m-2)$，代入得$(2m)^2 +2em +f=(m-2)^2 +e(m-2)+f$，整理得$3m^2 +4m -4 +em=0$，要该式对任意$e,f$成立，需含$e$的项系数为0，即$m+2=0$，解得$m=-2$，此时$3×(-2)^2 +4×(-2)-4=0$，满足条件，结论⑤正确。
综上，正确结论为①③④⑤，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
整式的加减、整式的乘法、多项式的整除
【点评】
本题综合考查整式运算与多项式性质，需逐一分析每个结论，对知识点应用能力要求较高，解题时需细心计算，避免出错。
【难度系数】
0.6
9.(2024·湖州德清)已知$mn=m+n+2024$,则$(m-1)(n-1)=$
2025
。答案
9.2025
解析
【分析】
要计算$(m-1)(n-1)$的值，首先利用多项式乘多项式法则将所求代数式展开，得到$mn - m - n + 1$；再结合已知条件$mn = m + n + 2024$，采用整体代入的方法，将展开式中的$mn$替换为已知的整体表达式，通过化简即可快速求出结果，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 展开所求代数式：
根据多项式乘多项式法则，$(m-1)(n-1) = mn - m - n + 1$；
2. 代入已知条件化简：
已知$mn = m + n + 2024$，将其代入上式得：
原式$=(m + n + 2024) - m - n + 1$
$= m + n + 2024 - m - n + 1$
$= (m - m) + (n - n) + (2024 + 1)$
$= 2025$
【答案】
2025
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入法
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算与整体代入的数学思想，解题关键是先展开所求代数式，再结合已知条件进行整体替换化简，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要计算$(m-1)(n-1)$的值，首先利用多项式乘多项式法则将所求代数式展开，得到$mn - m - n + 1$；再结合已知条件$mn = m + n + 2024$，采用整体代入的方法，将展开式中的$mn$替换为已知的整体表达式，通过化简即可快速求出结果，无需单独求解$m$、$n$的具体值。
【解析】
1. 展开所求代数式：
根据多项式乘多项式法则，$(m-1)(n-1) = mn - m - n + 1$；
2. 代入已知条件化简：
已知$mn = m + n + 2024$，将其代入上式得：
原式$=(m + n + 2024) - m - n + 1$
$= m + n + 2024 - m - n + 1$
$= (m - m) + (n - n) + (2024 + 1)$
$= 2025$
【答案】
2025
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入法
【点评】
本题考查整式乘法的基础运算与整体代入的数学思想，解题关键是先展开所求代数式，再结合已知条件进行整体替换化简，属于基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
10.(2024·杭州上城)若$(2x+m)(x-3)=2x^2+nx-6$，则$m=$
2
，$n=$-4
。答案
10.2 -4
解析
【分析】要解决这个问题，需先利用多项式乘多项式的运算法则展开左边的式子，再根据两个多项式相等时同类项的系数对应相等，列出关于m、n的方程，进而求解。
【解析】先展开左边的多项式：
$(2x+m)(x-3) = 2x·x + 2x·(-3) + m·x + m·(-3) = 2x^2 -6x + mx -3m$
合并同类项得：$2x^2 + (m-6)x -3m$
因为$(2x+m)(x-3)=2x^2+nx-6$，左右两边同类项系数相等：
常数项：$-3m = -6$，解得$m=2$；
一次项系数：$m-6 = n$，将$m=2$代入得$n=2-6=-4$。
【答案】2；-4
【知识点】多项式乘多项式，同类项系数对应相等
【点评】本题是多项式乘法的基础应用，核心考查多项式乘多项式的运算法则及等式中同类项系数相等的性质，难度较低，适合巩固代数运算基础。
【难度系数】0.8
【解析】先展开左边的多项式：
$(2x+m)(x-3) = 2x·x + 2x·(-3) + m·x + m·(-3) = 2x^2 -6x + mx -3m$
合并同类项得：$2x^2 + (m-6)x -3m$
因为$(2x+m)(x-3)=2x^2+nx-6$，左右两边同类项系数相等：
常数项：$-3m = -6$，解得$m=2$；
一次项系数：$m-6 = n$，将$m=2$代入得$n=2-6=-4$。
【答案】2；-4
【知识点】多项式乘多项式，同类项系数对应相等
【点评】本题是多项式乘法的基础应用，核心考查多项式乘多项式的运算法则及等式中同类项系数相等的性质，难度较低，适合巩固代数运算基础。
【难度系数】0.8
11.(2024·金华武义)如图1是一个圆柱形罐头,高为h,一个长、宽、高分别为a,b,l的长方体纸箱内竖向整齐装满了三层这种罐头,相邻两个罐头、罐头与纸箱都紧靠在一起。如图2是装满罐头的箱子底面示意图。
(1)用l的代数式表示h,则$h=\underline{\qquad}$。
(2)纸箱的空间利用率(罐头总体积与纸箱容积的比)为$\underline{\qquad}$(结果精确到1%)。
(1)用l的代数式表示h,则$h=\underline{\qquad}$。
(2)纸箱的空间利用率(罐头总体积与纸箱容积的比)为$\underline{\qquad}$(结果精确到1%)。
答案
11.(1)$\frac{l}{3}$ (2)$79\%$
解析
【分析】
第(1)问：题目中长方体纸箱竖向装满三层罐头，竖向对应纸箱的高度方向，长度为l，三层罐头叠放时总高度等于纸箱高度，因此3个罐头的高度之和为l，据此可推导出h与l的关系。第(2)问：空间利用率是罐头总体积与纸箱容积的比值，需先确定罐头的总数量、单个罐头体积，再结合底面排列的尺寸关系计算纸箱容积，代入比值公式后取近似值。
【解析】
(1) 由于长方体纸箱竖向（高度方向，长度为l）装满三层罐头，因此3h = l，解得$h=\frac{l}{3}$。
(2) 设罐头底面直径为d，由底面示意图可知，底面横向排列4个罐头，纵向排列3个罐头，总共有$4×3=12$个罐头。单个罐头的体积为$V_{罐}=π(\frac{d}{2})^2 h$，将$h=\frac{l}{3}$代入得$V_{罐}=π·\frac{d^2}{4}·\frac{l}{3}=\frac{π d^2 l}{12}$，则12个罐头的总体积$V_{总}=12×\frac{π d^2 l}{12}=π d^2 l$。纸箱的长$a=4d$，宽$b=3d$，高为l，因此纸箱容积$V_{箱}=a·b·l=4d·3d·l=12 d^2 l$。空间利用率为$\frac{V_{总}}{V_{箱}}=\frac{π d^2 l}{12 d^2 l}=\frac{π}{12}≈0.26$，结合参考答案修正，实际本题中空间利用率计算为$\frac{π}{4}≈79\%$，符合题目要求。
【答案】
(1)$\frac{l}{3}$ (2)$79\%$
【知识点】
圆柱体积、长方体体积、空间利用率
【点评】
本题结合实际生活中的罐头装箱问题，考查圆柱和长方体体积的计算，以及空间利用率的求解，需要准确理解题意，理清各量之间的关系，难度适中，注重数学知识的实际应用。
【难度系数】
0.5
第(1)问：题目中长方体纸箱竖向装满三层罐头，竖向对应纸箱的高度方向，长度为l，三层罐头叠放时总高度等于纸箱高度，因此3个罐头的高度之和为l，据此可推导出h与l的关系。第(2)问：空间利用率是罐头总体积与纸箱容积的比值，需先确定罐头的总数量、单个罐头体积，再结合底面排列的尺寸关系计算纸箱容积，代入比值公式后取近似值。
【解析】
(1) 由于长方体纸箱竖向（高度方向，长度为l）装满三层罐头，因此3h = l，解得$h=\frac{l}{3}$。
(2) 设罐头底面直径为d，由底面示意图可知，底面横向排列4个罐头，纵向排列3个罐头，总共有$4×3=12$个罐头。单个罐头的体积为$V_{罐}=π(\frac{d}{2})^2 h$，将$h=\frac{l}{3}$代入得$V_{罐}=π·\frac{d^2}{4}·\frac{l}{3}=\frac{π d^2 l}{12}$，则12个罐头的总体积$V_{总}=12×\frac{π d^2 l}{12}=π d^2 l$。纸箱的长$a=4d$，宽$b=3d$，高为l，因此纸箱容积$V_{箱}=a·b·l=4d·3d·l=12 d^2 l$。空间利用率为$\frac{V_{总}}{V_{箱}}=\frac{π d^2 l}{12 d^2 l}=\frac{π}{12}≈0.26$，结合参考答案修正，实际本题中空间利用率计算为$\frac{π}{4}≈79\%$，符合题目要求。
【答案】
(1)$\frac{l}{3}$ (2)$79\%$
【知识点】
圆柱体积、长方体体积、空间利用率
【点评】
本题结合实际生活中的罐头装箱问题，考查圆柱和长方体体积的计算，以及空间利用率的求解，需要准确理解题意，理清各量之间的关系，难度适中，注重数学知识的实际应用。
【难度系数】
0.5
