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11.(2024·绍兴越城、上虞)计算$(-6a^{2}+3a)÷(3a)$的结果为
$-2a+1$
。答案
11.$-2a+1$
解析
【分析】本题考查多项式除以单项式的运算，解题思路是依据多项式除以单项式的法则：将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加，逐步计算得出结果。
【解析】根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分为两项分别除以单项式：
$\begin{aligned}(-6a^{2}+3a)÷(3a)&=(-6a^{2})÷(3a)+3a÷(3a)\\&=-2a + 1\end{aligned}$
【答案】-2a+1
【知识点】多项式除以单项式
【点评】本题属于基础整式运算题，直接运用多项式除以单项式的基本法则即可求解，侧重考查学生对整式运算规则的掌握情况。
【难度系数】0.8
【解析】根据多项式除以单项式的运算法则，将原式拆分为两项分别除以单项式：
$\begin{aligned}(-6a^{2}+3a)÷(3a)&=(-6a^{2})÷(3a)+3a÷(3a)\\&=-2a + 1\end{aligned}$
【答案】-2a+1
【知识点】多项式除以单项式
【点评】本题属于基础整式运算题，直接运用多项式除以单项式的基本法则即可求解，侧重考查学生对整式运算规则的掌握情况。
【难度系数】0.8
12. 一块长方形铁皮,长为$(5a^{2}+4b^{2})m$,宽为$6a^{4}m$,在它的四个角上都剪去一个边长为$\frac{3}{2}a^{3}m$的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,这个无盖盒子的表面积是$\_\_\_\_\_\_m^{2}$。
答案
12.$21a^6+24a^4b^2$
解析
【分析】要计算无盖盒子的表面积，需明确其等于原长方形铁皮的面积减去四个剪去的小正方形的面积，分别计算这两部分的面积后作差即可得到结果。
【解析】1. 计算原长方形铁皮的面积：根据长方形面积公式，面积=长×宽，代入已知长和宽得：
$(5a^2 + 4b^2)×6a^4 = 5a^2×6a^4 + 4b^2×6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2$；
2. 计算四个小正方形的总面积：先算单个小正方形面积，根据正方形面积公式，单个面积为$(\frac{3}{2}a^3)^2 = \frac{9}{4}a^6$，则四个的总面积为$4×\frac{9}{4}a^6 = 9a^6$；
3. 计算无盖盒子的表面积：用原长方形面积减去四个小正方形的总面积，即：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 9a^6 = 21a^6 + 24a^4b^2$。
【答案】$21a^6 + 24a^4b^2$
【知识点】整式的乘法、几何图形面积计算
【点评】本题结合几何图形考查整式运算，核心是理解无盖盒子表面积的计算逻辑，熟练掌握单项式乘多项式、幂的乘方运算法则即可求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】1. 计算原长方形铁皮的面积：根据长方形面积公式，面积=长×宽，代入已知长和宽得：
$(5a^2 + 4b^2)×6a^4 = 5a^2×6a^4 + 4b^2×6a^4 = 30a^6 + 24a^4b^2$；
2. 计算四个小正方形的总面积：先算单个小正方形面积，根据正方形面积公式，单个面积为$(\frac{3}{2}a^3)^2 = \frac{9}{4}a^6$，则四个的总面积为$4×\frac{9}{4}a^6 = 9a^6$；
3. 计算无盖盒子的表面积：用原长方形面积减去四个小正方形的总面积，即：
$(30a^6 + 24a^4b^2) - 9a^6 = 21a^6 + 24a^4b^2$。
【答案】$21a^6 + 24a^4b^2$
【知识点】整式的乘法、几何图形面积计算
【点评】本题结合几何图形考查整式运算，核心是理解无盖盒子表面积的计算逻辑，熟练掌握单项式乘多项式、幂的乘方运算法则即可求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
三、解答题
13. 计算下列各式：
(1)$(2024· 绍兴柯桥)(3x - 8)(x + 1) - 3(x - 4)(x + 4)$；
(2)$(2024· 宁波市南三县)(2a + 1)^2 - (4a^3 + a) ÷ a$。
13. 计算下列各式：
(1)$(2024· 绍兴柯桥)(3x - 8)(x + 1) - 3(x - 4)(x + 4)$；
(2)$(2024· 宁波市南三县)(2a + 1)^2 - (4a^3 + a) ÷ a$。
答案
13.(1)原式＝－5x＋40。(2)原式＝4a。
解析
【分析】
整式混合运算需遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的顺序，同时运用多项式乘法法则、平方差公式、完全平方公式简化计算。第(1)题先分别计算多项式乘法和平方差公式的乘积，再去括号合并同类项；第(2)题先计算完全平方和多项式除以单项式，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 先计算多项式乘法与平方差公式：
$\begin{aligned}&(3x - 8)(x + 1) - 3(x - 4)(x + 4)\\=&3x^2 + 3x - 8x - 8 - 3(x^2 - 16)\\=&3x^2 -5x -8 -3x^2 +48\\=&-5x +40\end{aligned}$
(2) 先计算完全平方与多项式除以单项式：
$\begin{aligned}&(2a + 1)^2 - (4a^3 + a) ÷ a\\=&4a^2 +4a +1 - (4a^2 +1)\\=&4a^2 +4a +1 -4a^2 -1\\=&4a\end{aligned}$
【答案】
13.(1) 原式＝－5x＋40；(2) 原式＝4a。
【知识点】
整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的基础运算，核心考查公式应用与合并同类项，需注意去括号时的符号变化，避免计算失误，属于整式运算的常规题型。
【难度系数】
0.3
整式混合运算需遵循“先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内”的顺序，同时运用多项式乘法法则、平方差公式、完全平方公式简化计算。第(1)题先分别计算多项式乘法和平方差公式的乘积，再去括号合并同类项；第(2)题先计算完全平方和多项式除以单项式，再去括号合并同类项。
【解析】
(1) 先计算多项式乘法与平方差公式：
$\begin{aligned}&(3x - 8)(x + 1) - 3(x - 4)(x + 4)\\=&3x^2 + 3x - 8x - 8 - 3(x^2 - 16)\\=&3x^2 -5x -8 -3x^2 +48\\=&-5x +40\end{aligned}$
(2) 先计算完全平方与多项式除以单项式：
$\begin{aligned}&(2a + 1)^2 - (4a^3 + a) ÷ a\\=&4a^2 +4a +1 - (4a^2 +1)\\=&4a^2 +4a +1 -4a^2 -1\\=&4a\end{aligned}$
【答案】
13.(1) 原式＝－5x＋40；(2) 原式＝4a。
【知识点】
整式的混合运算、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的基础运算，核心考查公式应用与合并同类项，需注意去括号时的符号变化，避免计算失误，属于整式运算的常规题型。
【难度系数】
0.3
14.(2024·湖州德清)某小区要修建一个长为$(3a-b)$米,宽为$(a+2b)$米的长方形休闲场所$ABCD$。长方形内建一个正方形活动区$EFGH$和连结活动区到长方形四边的四条笔直小路(如图),正方形活动区的边长为$(a-b)$米,小路的宽均为$\frac{1}{2}b$米。活动区与小路铺设鹅卵石,其他地方铺设草坪。
(1)求四条小路的面积(用含$a,b$的代数式表示)。
(2)求铺设草坪的面积(用含$a,b$的代数式表示)。
(1)求四条小路的面积(用含$a,b$的代数式表示)。
(2)求铺设草坪的面积(用含$a,b$的代数式表示)。
答案
14.(1)“横路”的长为$(3a-b)-(a-b)=2a$米,宽为$\frac{1}{2}b$米,因此面积为$2a×\frac{1}{2}b=ab$(平方米),“竖路”的长为$(a+2b)-(a-b)=3b$米,宽为$\frac{1}{2}b$米,因此面积为$3b×\frac{1}{2}b=\frac{3}{2}b^2$(平方米),所以四条小路的面积为$(ab+\frac{3}{2}b^2)$平方米。(2)由题意得,$S_{草坪}=S_{大长方形}-S_{小路}-S_{活动区}=(3a-b)(a+2b)-(ab+\frac{3}{2}b^2)-(a-b)^2=(2a^2+6ab-\frac{9}{2}b^2)$平方米。答:铺设草坪的面积为$(2a^2+6ab-\frac{9}{2}b^2)$平方米。
解析
【分析】
要解决本题，需先明确各部分图形的边长关系：计算四条小路面积时，先分别求出横、竖小路的长（大长方形边长减去正方形活动区边长），结合小路宽计算单条小路面积，再求和；计算草坪面积时，利用“总面积减去小路和活动区面积”的思路，结合整式运算法则化简即可。
【解析】
(1) 横小路的长为大长方形的长减去正方形活动区的边长：$(3a-b)-(a-b)=2a$米，横小路宽为$\frac{1}{2}b$米，因此横小路面积为$2a×\frac{1}{2}b=ab$平方米；
竖小路的长为大长方形的宽减去正方形活动区的边长：$(a+2b)-(a-b)=3b$米，竖小路宽为$\frac{1}{2}b$米，因此竖小路面积为$3b×\frac{1}{2}b=\frac{3}{2}b^2$平方米；
四条小路总面积为：$ab+\frac{3}{2}b^2$平方米。
(2) 大长方形面积：$(3a-b)(a+2b)=3a^2+6ab-ab-2b^2=3a^2+5ab-2b^2$平方米；
正方形活动区面积：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$平方米；
草坪面积 = 大长方形面积 - 小路面积 - 活动区面积，代入化简：
$3a^2+5ab-2b^2 - (ab+\frac{3}{2}b^2) - (a^2-2ab+b^2)$
$=3a^2+5ab-2b^2 -ab-\frac{3}{2}b^2 -a^2+2ab -b^2$
$=2a^2+6ab-\frac{9}{2}b^2$平方米。
【答案】
(1) 四条小路的面积为$(ab+\frac{3}{2}b^2)$平方米；(2) 铺设草坪的面积为$(2a^2+6ab-\frac{9}{2}b^2)$平方米。
【知识点】
整式的运算、代数式应用
【点评】
本题结合几何图形考查整式的加减乘运算，核心是理清各图形边长的数量关系，正确运用整式运算法则合并同类项，属于基础应用类题目，需注意面积计算时的重叠部分处理。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需先明确各部分图形的边长关系：计算四条小路面积时，先分别求出横、竖小路的长（大长方形边长减去正方形活动区边长），结合小路宽计算单条小路面积，再求和；计算草坪面积时，利用“总面积减去小路和活动区面积”的思路，结合整式运算法则化简即可。
【解析】
(1) 横小路的长为大长方形的长减去正方形活动区的边长：$(3a-b)-(a-b)=2a$米，横小路宽为$\frac{1}{2}b$米，因此横小路面积为$2a×\frac{1}{2}b=ab$平方米；
竖小路的长为大长方形的宽减去正方形活动区的边长：$(a+2b)-(a-b)=3b$米，竖小路宽为$\frac{1}{2}b$米，因此竖小路面积为$3b×\frac{1}{2}b=\frac{3}{2}b^2$平方米；
四条小路总面积为：$ab+\frac{3}{2}b^2$平方米。
(2) 大长方形面积：$(3a-b)(a+2b)=3a^2+6ab-ab-2b^2=3a^2+5ab-2b^2$平方米；
正方形活动区面积：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$平方米；
草坪面积 = 大长方形面积 - 小路面积 - 活动区面积，代入化简：
$3a^2+5ab-2b^2 - (ab+\frac{3}{2}b^2) - (a^2-2ab+b^2)$
$=3a^2+5ab-2b^2 -ab-\frac{3}{2}b^2 -a^2+2ab -b^2$
$=2a^2+6ab-\frac{9}{2}b^2$平方米。
【答案】
(1) 四条小路的面积为$(ab+\frac{3}{2}b^2)$平方米；(2) 铺设草坪的面积为$(2a^2+6ab-\frac{9}{2}b^2)$平方米。
【知识点】
整式的运算、代数式应用
【点评】
本题结合几何图形考查整式的加减乘运算，核心是理清各图形边长的数量关系，正确运用整式运算法则合并同类项，属于基础应用类题目，需注意面积计算时的重叠部分处理。
【难度系数】
0.5
