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12. 如图,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张$(a≠b)$,如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形(拼接时不可重叠,不可有缝隙),且3类卡片全部用上,写出两种不同的方案:
①1张A类卡片,6张C类卡片,5张B类卡片
②5张A类卡片,6张C类卡片,1张B类卡片(答案不唯一)
答案
12. ①1张A类卡片,6张C类卡片,5张B类卡片;②5张A类卡片,6张C类卡片,1张B类卡片(答案不唯一) 解析:因为$(a+b)(a+5b)=a^2+6ab+5b^2$,所以1张A类卡片,6张C类卡片,5张B类卡片,共12张;因为$(a+b)(5a+b)=5a^2+6ab+b^2$,所以5张A类卡片,6张C类卡片,1张B类卡片,共12张;其余符合条件的方案均可。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确三类卡片的面积：A类卡片面积为$a^2$，B类为$b^2$，C类为$ab$。拼成的大长方形面积等于三类卡片的面积之和，且该面积需能分解为两个整式的乘积（即大长方形的长×宽），同时三类卡片总数量为12张，且三类都要用到。因此需要找到满足“A类数量$x$ + B类数量$y$ + C类数量$z$=12（$x,y,z≥1$）”，且面积表达式$xa^2 + yb^2 + zab$可分解为两个一次因式乘积的正整数解。
【解析】
根据整式乘法与因式分解的对应关系，将面积表达式转化为两个一次因式的乘积，结合总数量要求：
1. 计算$(a+b)(a+5b)=a^2 +6ab +5b^2$，对应A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张，总数量$1+5+6=12$，符合要求；
2. 计算$(5a+b)(a+b)=5a^2 +6ab +b^2$，对应A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张，总数量$5+1+6=12$，符合要求。
【答案】
1张A类卡片，6张C类卡片，5张B类卡片；5张A类卡片，6张C类卡片，1张B类卡片（答案不唯一）
【知识点】
因式分解应用、整式乘法、长方形面积计算
【点评】
本题结合拼图场景考查代数知识的实际应用，需将几何面积与整式运算结合，找到满足条件的整数组合，锻炼代数变形与逻辑推理能力，是中等难度的代数应用题。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先明确三类卡片的面积：A类卡片面积为$a^2$，B类为$b^2$，C类为$ab$。拼成的大长方形面积等于三类卡片的面积之和，且该面积需能分解为两个整式的乘积（即大长方形的长×宽），同时三类卡片总数量为12张，且三类都要用到。因此需要找到满足“A类数量$x$ + B类数量$y$ + C类数量$z$=12（$x,y,z≥1$）”，且面积表达式$xa^2 + yb^2 + zab$可分解为两个一次因式乘积的正整数解。
【解析】
根据整式乘法与因式分解的对应关系，将面积表达式转化为两个一次因式的乘积，结合总数量要求：
1. 计算$(a+b)(a+5b)=a^2 +6ab +5b^2$，对应A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张，总数量$1+5+6=12$，符合要求；
2. 计算$(5a+b)(a+b)=5a^2 +6ab +b^2$，对应A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张，总数量$5+1+6=12$，符合要求。
【答案】
1张A类卡片，6张C类卡片，5张B类卡片；5张A类卡片，6张C类卡片，1张B类卡片（答案不唯一）
【知识点】
因式分解应用、整式乘法、长方形面积计算
【点评】
本题结合拼图场景考查代数知识的实际应用，需将几何面积与整式运算结合，找到满足条件的整数组合，锻炼代数变形与逻辑推理能力，是中等难度的代数应用题。
【难度系数】
0.4
三、解答题
13. (2024·绍兴越城、上虞)【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
①$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；②$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，我们把“$a+b$”“$a-b$”“$a^2+b^2$”“$ab$”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个。
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
(1)已知$x-y=5$，$xy=2$，求$x^2+y^2$的值。
(2)已知$x-\frac{1}{x}=3$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值。
【问题解决】若$(2023-m)^2+(m-2024)^2=7$，则$(2023-m)(m-2024)$的值为________。
13. (2024·绍兴越城、上虞)【夯实基础】本学期我们学了两个完全平方公式：
①$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；②$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
【联想延伸】对这两个公式稍作变形即为$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$，$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$，我们把“$a+b$”“$a-b$”“$a^2+b^2$”“$ab$”看成两公式中的四个“结构性元件”，这样已知四个“结构性元件”中的任何两个，就能通过推理计算求出另外两个。
【初步运用】请你根据以上联想得到的问题解决思路进行解答：
(1)已知$x-y=5$，$xy=2$，求$x^2+y^2$的值。
(2)已知$x-\frac{1}{x}=3$，求$x^2+\frac{1}{x^2}$的值。
【问题解决】若$(2023-m)^2+(m-2024)^2=7$，则$(2023-m)(m-2024)$的值为________。
答案
13.【初步运用】(1)因为 $x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$,且 $x-y=5$,$xy=2$,所以 $x^2+y^2=5^2+2×2=29$。(2)$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2=3^2+2=11$。【问题解决】$-3$
解析
【分析】
本题核心是利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为已知条件的组合形式，通过整体代入法求解。对于(1)，需将$x^2+y^2$转化为$(x-y)^2$与$xy$的和；对于(2)，将$x^2+\frac{1}{x^2}$转化为$(x-\frac{1}{x})^2$与2的和；问题解决部分通过设元，将$(2023-m)$和$(m-2024)$视为整体，利用完全平方公式变形求乘积。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，移项得$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$。
已知$x-y=5$，$xy=2$，代入得：$x^2+y^2=5^2+2×2=25+4=29$。
(2) 同理，$(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$，移项得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$。
已知$x-\frac{1}{x}=3$，代入得：$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+2=9+2=11$。
【问题解决】设$A=2023-m$，$B=m-2024$，则$A+B=(2023-m)+(m-2024)=-1$，已知$A^2+B^2=7$。
根据完全平方公式变形：$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$，移项得$AB=\frac{(A+B)^2-(A^2+B^2)}{2}$。
代入得：$AB=\frac{(-1)^2-7}{2}=\frac{1-7}{2}=-3$，即$(2023-m)(m-2024)=-3$。
【答案】
(1)29；(2)11；-3
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过公式变形将未知量转化为已知条件的组合，运用整体代入简化计算，属于基础题型，需熟练掌握公式的变形逻辑。
【难度系数】
0.6
本题核心是利用完全平方公式的变形，将所求代数式转化为已知条件的组合形式，通过整体代入法求解。对于(1)，需将$x^2+y^2$转化为$(x-y)^2$与$xy$的和；对于(2)，将$x^2+\frac{1}{x^2}$转化为$(x-\frac{1}{x})^2$与2的和；问题解决部分通过设元，将$(2023-m)$和$(m-2024)$视为整体，利用完全平方公式变形求乘积。
【解析】
(1) 根据完全平方公式变形：$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$，移项得$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$。
已知$x-y=5$，$xy=2$，代入得：$x^2+y^2=5^2+2×2=25+4=29$。
(2) 同理，$(x-\frac{1}{x})^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}$，移项得$x^2+\frac{1}{x^2}=(x-\frac{1}{x})^2+2$。
已知$x-\frac{1}{x}=3$，代入得：$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+2=9+2=11$。
【问题解决】设$A=2023-m$，$B=m-2024$，则$A+B=(2023-m)+(m-2024)=-1$，已知$A^2+B^2=7$。
根据完全平方公式变形：$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$，移项得$AB=\frac{(A+B)^2-(A^2+B^2)}{2}$。
代入得：$AB=\frac{(-1)^2-7}{2}=\frac{1-7}{2}=-3$，即$(2023-m)(m-2024)=-3$。
【答案】
(1)29；(2)11；-3
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，通过公式变形将未知量转化为已知条件的组合，运用整体代入简化计算，属于基础题型，需熟练掌握公式的变形逻辑。
【难度系数】
0.6
14.(2024·杭州上城)我们规定两数$a,b$之间的一种运算,记作$[a,b]$:如果$a^c=b$,那么$[a,b]=c$;例如$2^3=8$,记作$[2,8]=3$。
(1)根据以上规定求出:$[4,64]=\_\_\_\_\_\_;[2024,1]=\_\_\_\_\_\_$。
(2)小明发现$[5,3]+[5,4]=[5,12]$也成立,理由如下:
设$[5,3]=x,[5,4]=y$,所以$5^x=3,5^y=4$。因为$5^x·5^y=5^{x+y}=12$,所以$[5,12]=x+y$,所以$[5,3]+[5,4]=x+y=[5,12]$。
根据以上说明,请计算$[2024,6]+[2024,7]=[2024,\_\_\_\_\_\_]$。
(3)猜想$[4,14]-[4,7]=[4,\_\_\_\_\_\_]$,并说明理由。
(1)根据以上规定求出:$[4,64]=\_\_\_\_\_\_;[2024,1]=\_\_\_\_\_\_$。
(2)小明发现$[5,3]+[5,4]=[5,12]$也成立,理由如下:
设$[5,3]=x,[5,4]=y$,所以$5^x=3,5^y=4$。因为$5^x·5^y=5^{x+y}=12$,所以$[5,12]=x+y$,所以$[5,3]+[5,4]=x+y=[5,12]$。
根据以上说明,请计算$[2024,6]+[2024,7]=[2024,\_\_\_\_\_\_]$。
(3)猜想$[4,14]-[4,7]=[4,\_\_\_\_\_\_]$,并说明理由。
答案
14.(1)设$[4,64]=x$,则$4^x=64$,所以$x=3$,设$[2024,1]=y$,则$2024^y=1$,所以$y=0$。故答案为 3;0。(2)设$[2024,6]=m$,$[2024,7]=n$,则$2024^m=6,2024^n=7$,所以$2024^m·2024^n=2024^{m+n}=42$,所以$[2024,42]=m+n$,所以$[2024,6]+[2024,7]=[2024,42]$。故答案为 42。(3)2 理由如下:设$[4,14]=a$,$[4,7]=b$,所以$4^a=14,4^b=7$,所以$4^a÷4^b=4^{a-b}=14÷7=2$,所以$[4,2]=a-b$,所以$[4,14]-[4,7]=[4,2]$。
解析
【分析】
本题是新定义运算题，核心是理解运算规则：若$a^c = b$，则$[a,b] = c$。解题时，(1)直接根据定义，将求$[a,b]$转化为求满足$a^c = b$的指数$c$；(2)(3)类比题目给出的示例，利用同底数幂的乘、除法法则，将新运算的和、差转化为指数的加、减，进而求出对应的新运算结果。
【解析】
(1) 设$[4,64] = x$，根据新运算定义，得$4^x = 64$。因为$4^3 = 64$，所以$x = 3$；
设$[2024,1] = y$，根据定义得$2024^y = 1$，由非零数的0次幂为1，得$y = 0$。
(2) 设$[2024,6] = m$，$[2024,7] = n$，根据定义得$2024^m = 6$，$2024^n = 7$。
根据同底数幂乘法法则：$2024^m · 2024^n = 2024^{m+n} = 6 × 7 = 42$，
所以$[2024,42] = m + n$，即$[2024,6] + [2024,7] = [2024,42]$。
(3) 设$[4,14] = a$，$[4,7] = b$，根据定义得$4^a = 14$，$4^b = 7$。
根据同底数幂除法法则：$4^a ÷ 4^b = 4^{a-b} = 14 ÷ 7 = 2$，
所以$[4,2] = a - b$，即$[4,14] - [4,7] = [4,2]$。
【答案】
(1) $3$；$0$ (2) $42$ (3) $2$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题通过新定义运算考查指数运算的核心法则，解题关键是准确将新运算转化为指数的求解，类比示例的思路推导运算规律，注重对学生逻辑迁移能力的考查，属于中等难度的新定义题型。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算题，核心是理解运算规则：若$a^c = b$，则$[a,b] = c$。解题时，(1)直接根据定义，将求$[a,b]$转化为求满足$a^c = b$的指数$c$；(2)(3)类比题目给出的示例，利用同底数幂的乘、除法法则，将新运算的和、差转化为指数的加、减，进而求出对应的新运算结果。
【解析】
(1) 设$[4,64] = x$，根据新运算定义，得$4^x = 64$。因为$4^3 = 64$，所以$x = 3$；
设$[2024,1] = y$，根据定义得$2024^y = 1$，由非零数的0次幂为1，得$y = 0$。
(2) 设$[2024,6] = m$，$[2024,7] = n$，根据定义得$2024^m = 6$，$2024^n = 7$。
根据同底数幂乘法法则：$2024^m · 2024^n = 2024^{m+n} = 6 × 7 = 42$，
所以$[2024,42] = m + n$，即$[2024,6] + [2024,7] = [2024,42]$。
(3) 设$[4,14] = a$，$[4,7] = b$，根据定义得$4^a = 14$，$4^b = 7$。
根据同底数幂除法法则：$4^a ÷ 4^b = 4^{a-b} = 14 ÷ 7 = 2$，
所以$[4,2] = a - b$，即$[4,14] - [4,7] = [4,2]$。
【答案】
(1) $3$；$0$ (2) $42$ (3) $2$
【知识点】
新定义运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法
【点评】
本题通过新定义运算考查指数运算的核心法则，解题关键是准确将新运算转化为指数的求解，类比示例的思路推导运算规律，注重对学生逻辑迁移能力的考查，属于中等难度的新定义题型。
【难度系数】
0.6
